借助操作，讓“剩余”合理

夏寧華

【摘要】《有余數的除法》是二年級上學期學過的《表內除法》的后續和擴展，這兩部分內容是相互聯系的，它們具有互補性，也是今后繼續學習多位數除法和小數除法的基礎，具有承上啟下的作用。教學中，應讓學生在動手操作中感知“余數”的產生，在自我探究中把問題符號化、表征化，通過自己的努力發現問題、解決問題，并切身感受到“余數比除數小”這一結論的合理性，從而自主構建新的知識體系。

【關鍵詞】操作 有余數 合理

一、操作中感悟、認識到“平均分有時會有剩余”

1.回顧舊知：把一些物體平均分用除法計算

師：請同學們先把10支鉛筆分給小朋友，每人分2支，可以分給幾人？在小組里擺一擺。

（1）說一說你是怎樣擺的。

（2）能把擺的過程用算式表示出來嗎？

10+2=5（人）。

師：這個算式是什么意思？

引導學生說出各個數字在除法算式里的名稱及讀法。

2.承上啟下：平均分后，有時會有剩余

師：如果把10支鉛筆分給小朋友，每人分3支、4支、5支，可以分給幾人呢？請同學們擺一擺，并小組交流：

（1）仔細觀察，你發現了什么？

（2）能把你的想法用算式表示出來嗎？

生1：10+3=3人余1支。

生2：10+4=2人余2支。

生3：10+5=2（人）。

筆者接著引導學生：“這里的數是有單位的，規范算式的寫法：10+3=3（人）……1（支），這種寫法既簡單又美觀。”

師：誰來說說這個算式表示的意思？

通過自己動手分鉛筆，學生們很容易理解這個算式表示的意思。從剛才的操作過程中，我們還抽象出一組算式，填寫在表格內。

3.感悟認識：初步認識有余數除法的意義

師：同學們，今天我們分了2次鉛筆，在這2次分配過程中有什么相同的地方，又有什么不同的地方呢？先小組同學討論，再回答。

觀察表格中的這些算式，引導學生自己做總結：“平均分”會出現兩種情況，一種是“沒有剩余”，比如：10+2=5，10+5=2;另一種是“有剩余”，比如：10+3=3……1，10+4=2……2，不夠分的那部分就是余數，“余數”這個概念的揭示就水到渠成了。

反思：教學中，筆者首先通過“將10支鉛筆平均分，每人分2支、3支、4支、5支，可以怎么分”的操作，讓學生在分東西的過程中形成：無論是按每幾個一份去分，還是平均分成幾份，都會出現“正好分完”和“有剩余”兩種情況。接著在這樣的圖像表征中逐步建立“余數”“有余數除法”的概念，引入有余數的除法，同時揭示“有余數的除法”算式，以及“余數”的概念。然后是有余數的除法橫式和沒有余數（表內）除法的橫式的對比，通過結合操作過程讓學生在對比中，理解有余數的除法的橫式中各部分的名稱，以及每個數表示的含義。通過這樣的對比，不僅可以喚起學生已有的知識經驗，加深學生對有余數除法的理解，還可以使學生感受到知識之間的聯系，實現對原有認知結構的擴展，為建構合理的知識結構提供有力的支撐。

二、操作中比較、歸納出“余數都比除數小”

1.列式填表：不同情況的平均分會怎樣

師：剛剛我們是把10支鉛筆平均分的，現在我們再試一試其他情況。我們知道，4根小棒擺1個正方形，8根小棒可以擺2個，像這樣用12、13、14、15、16根小棒擺正方形，結果會怎樣？

師：如果用17根小棒去擺，會得到怎樣一道算式呢？出現了這樣兩種情況：

2.比較歸納：余數都比除數小

師：你覺得哪道算式正確？為什么？在小組內交流一下。

通過交流，大家形成了統一的見解，“17+4=4（個）……1（根）”這道算式是正確的，他們認為：

生1：如果余5根，我們就可以再擺1個正方形了，所以余數不可能是5。

生2：17+4，最大可以商4，四四十六，所以應該是17+4=4（個）……1（根）。

生3：我們可以觀察前面已經得到的算式，會發現余數只有1、2、3這三種情況，也就是余數都會比除數小。

師：為什么“余數都比除數小”呢？

生：除數是4，如果余下的數又滿4根，表示剩下的小棒中還夠擺一個正方形，那就沒有分完，要繼續擺下去，直到不夠擺為止，那么余下的數只可能比4小。所以在有余數的除法里，余數都比除數小。

反思：在教學中，我們要從學生已有的生活經驗和數學知識入手，在具體的生活情境中去理解數學知識，利用具體、直觀、形象的活動材料，變知識傳授為學生動手探究，讓學生經歷把生活問題“數學化”的過程，在操作、觀察、猜測和歸納等活動中，不斷豐富學生的表象，不斷增強學生的感性認識，在相互交流、比較、吸引的基礎上逐步抽象出數學知識，形成學生的認知。在操作中得出一組算式，是順理成章的。重要的是接下來的觀察、比較活動，“余數為什么都比除數小？”這個結論不是教師強加給學生的，而是學生在自己的操作中觀察、思考、交流，有效地把握生成資源得出的結論，因此這個結論是“合理”的。在活潑、有序和高效的課堂中，讓學生在師生、生生互動中進一步辨清概念、理清思路，由原有的“一”個問題，再看到了引發的“眾”多問題，找到它們的相同之處，在自然而然中掌握了新知，突破了難點。

總評：對“余數的認識”“有余數除法算式的認識”以及“余數都比除數小”這一難點的理解，都是利用直觀操作完成的，從直觀的操作到符號的表征，讓學生從多方面、多角度去理解所學的知識，并在過程中順利實現“操作過程、語言表達和符號表征”之間的聯結，從而達到學生對數學概念的真正理解。因此，我們在教學中應豐富感性材料，讓學生在具體的情境中去體驗、去感悟，形成概括性的認識。在學生初步建立概念的過程中，往往需要大量的事實來做支持。本節課中筆者通過大量的操作活動，學生感悟、體驗出“平均分”時，如果沒有正好全部分完，就可以用“有余數的除法”來表示，“什么是余數、什么樣的算式是有余數的除法算式”合理生成。接著繼續在學生喜愛的操作活動中，比較、歸納出“余數都比除數小”這一結論。雖然在擺的過程和學生的交流中，課堂秩序有點難以把控，但我們只要合理分工、有序操作，學生的自主創造、自由發展就會有很大的提升。活動中，學生們經歷了由具體現象歸納出數學概念的過程，又經歷了利用具體實例說明數學結論的過程，使學生既獲得了數學知識，又增長了學習智慧。

為學生提供更多的操作、探索的平臺，使學生面對數學問題時，能用自己的親身實踐去感受、去體驗，從而歸納出數學的奧秘，這是每一位數學教師都應積極努力去做的一件事。