圓錐曲線參數范圍類題型求解策略

韋能

摘 要：圓錐曲線類題型是高中數學必考題型之一，而對含參圓錐曲線的參數范圍判定屬于此類題型考察的熱點和難點.解決此類問題的核心方法在于構建與目標函數相關的不等關系，但如何確定參數與圓錐曲線之間的不等關系才是解決此類題型的關鍵.通過對圓錐曲線參數類問題的求解應用，能夠幫助學生判定題眼、挖掘隱含條件，有助于學生建立條件關系，提升數學邏輯思維能力.

關鍵詞：圓錐曲線;參數;不等式;解題技巧

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0036-02

圍繞圓錐曲線參數范圍求解目標，結合常見參數范圍求解題型，本文從不等關系建立角度出發，將此類題型細分為四大類：題設條件類不等關系、圓錐曲線位置不等關系、圓錐曲線范圍類不等關系、基本判別式類不等關系.通過對上述四類圓錐曲線參數類題型求解的典型案例分析，從解題技巧上幫助學生掌握求解方法，從而實現靈活應用.

一、利用題設條件建立不等關系

利用題設條件求解圓錐曲線參數范圍類題型屬于較為直接和基礎類的題型，通過對題設條件中已有的不等關系進行直接應用，正向構建含參不等關系.在此類題型的求解過程中，需要緊密關注對應圓錐曲線的類型及取值范圍，并結合圓錐曲線的定義判定范圍.

例1 若雙曲線

x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上有一點P，P點橫坐標為3a2，點P至雙曲線右焦點的距離大于至左準線的距離，求雙曲線的離心率范圍.

解析 結合雙曲線定義及性質可知，點P至雙曲線右焦點的距離為e（3a2-a2c），點P至左準線的距離為（3a2+a2c），由點P至雙曲線右焦點的距離大于至左準線的距離得到目標函數的不等關系式為e（3a2-a2c）>3a2+a2c，化簡后得到3e2-5e-2>0，計算得到e>2或e<-1.此時，結合雙曲線離心率的范圍e>1，最終可知雙曲線離心率的范圍為e>2.

點評 利用題設條件建立不等式，求解圓錐曲線不等關系類題型屬于直接正向求解思維的應用.在實際求解過程中，切忌疏忽大意，必須緊密留意圓錐曲線自身的范圍，避免多解問題的出現.

二、利用位置關系建立不等關系

在圓錐曲線中利用位置關系建立不等式，需要深入挖掘潛在信息，建立圓錐曲線相關的目標函數與參數之間的不等關系，才能實現此類題型的求解.

例2 已知橢圓C的方程為

x24+y23=1，此時，有直線l：y=4x+m使得在橢圓C上有不同的兩點關于該直線對稱，試求m的取值范圍.

解析 設兩點A（x1，y1）、B（x2，y2）為橢圓C上關于直線

l對稱的兩點，點M（x，y）為弦AB的中點.由于點A、B均在橢圓C上，故可知3x1+4y1=12、3x2+4y2=12，

聯立兩式得到關系式

3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0

簡化后得到

y1-y2x1-x2=-34·x1+x2y1+y2.

結合點M與點A、B之間的位置關系可知，

x1+x2=2x、y1+y2=2y，

即可知

y1-y2x1-x2=k=-14.

所以得到-14=-34·yx，

即是3x-y=0，再與y=4x+m

聯立方程組得到交點M（-m，-3m）.由于點M在橢圓內，得到

（-m）24+（-3m）23<1，

化簡后可得m的取值范圍為-21313<m<21313.

點評 圓錐曲線位置關系類不等關系題型的求解，可以概括為先將已知條件中涉及的基本量轉化為圓錐曲線位置關系，本題再利用點與圓錐曲線的位置關系：點在圓錐曲線內、圓錐曲線上及圓錐曲線外，得到不等關系，進而判定參數范圍，順利實現求解.

三、利用曲線范圍建立不等關系

圓錐曲線自身范圍具備多種特征，針對橢圓、雙曲線等圓錐曲線，其定義域、值域、焦點、準線等等，都是此類題型常用的位置關系，求解此類題型的關鍵在于建立參數與曲線位置之間的不等關系.

例3 已知橢圓C的表達式為x216+y212=1，現有一點M（m，0）位于橢圓C的長軸上，點P為橢圓上的任意一點，當MP長度最短時，點P恰好位于橢圓的右頂點，試求實數m的取值范圍.

解析 設點P（x，y），由于點P位橢圓上的動點，故有-4≤x≤4.

由MP=（x-m，y）可知，

|MP|2=（x-m）2+y2=（x-m）2+12·（1-x216），

化簡后得到

|MP|2=14（x-4m）2+12-3m2.

由曲線范圍可知，當MP長度最短時，點P恰好位于橢圓的右頂點，即是x=4時，MP取得最小值.

結合-4≤x≤4，最終可知m≥1.

點評 利用圓錐曲線范圍建立不等關系求解參數范圍時，關鍵在于對圓錐曲線幾何特征的應用，這就要求學生必須熟練掌握圓錐曲線的基本特性，尤其是位置關系與函數表達式之間的轉化，只有建立相關聯系后才能準確判定參數范圍.

四、利用判別式建立不等關系

利用判別式確定不等關系類題型常出現于直線與圓錐曲線相交的題型中，通過直線方程與圓錐曲線方程聯立方程組，進而得到一元二次方程，最后結合判別式中所含有的參數不等式進行求解.

例4 在平面直角坐標系中，已知直線l斜率為k，且經過點（0，2），直線l與橢圓C：

x22+y2=1相較于兩不同的點P、Q，試求直線l斜率k的取值范圍.

解析 由于l斜率為k，且過點（0，2），故得到直線l的表達式為y=kx+2.

再將直線l的表達式帶入橢圓C的表達式，得到

x22+（kx+2）2=1，

化簡后得到（12+k2）x2+22kx+1=0.

此時利用判別式定理得到

Δ=8k2-4（12+k2）=4k2-2>0，

即可求得k<-22或k>22.

點評 當題中已知條件為直線與圓錐曲線之間的位置關系時，此時容易聯想到聯立直線與圓錐曲線之間的方程組，最終得到一個一元二次方程形式的含參表達式，結合判別式或基本不等式即可實現求解.

總之，求解圓錐曲線參數范圍類題型，最關鍵之處在于不等式關系的建立，再結合已知條件，利用圓錐曲線性質、幾何特征、判別式或基本不等式等方式，從而構建含參不等關系，最終實現參數范圍的判定.

參考文獻：

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[2]邢麗芳.圓錐曲線參數范圍的解題技巧[J].理科考試研究（高中版），2018（02）：16-17.

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[責任編輯：李 璟]