多元表征讓算理算法直觀顯現

【摘要】本文論述在小學數學課堂教學中運用多元表征呈現算理的策略，提出動作表征、圖形表征、語言表征和符號表征等四種教學方式，讓學生經歷由直觀算理到抽象算法過渡和演變的過程，突破教學的重難點。

【關鍵詞】小學數學 多元表征 算理 算法

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）09-0130-02

所謂數學多元表征，是指將數學學習對象進行心理多元認知編碼并與之建立對應、建構意義聯系的過程。新課標明確指出：“教師要根據學生的認知規律，引導學生進行有效的數學學習。”在數學學習領域，絕大部分學習對象都可以用實物情境、教具模型、圖表、言語、書寫符號等五種類型來表征，由此可見，數學多元表征，可以多維度建構算理，多層次抽象計算過程，多視角歸納計算方法，讓算理算法“看得見”。

在探究計算題時，需要運用多元表征對算理進行解釋，讓學生從多角度深入理解算理，通過多元化的表征方式，從不同的角度解釋算理，易于挖掘計算的核心，呈現算理，建構計算過程，凸顯計算的本質屬性。在小學數學低年段計算教學中，學生在探究計算算理和算法的過程中有四種表征方式，即動作表征、圖形表征、圖表表征和符號表征。如何幫助學生充分利用多元表征理解算理、掌握算法，這是筆者一直思考的問題。現根據自己在低年段計算教學中的實踐，談談思考和體會。

一、動作表征，讓學生經歷操作的過程，探究算理

根據教育心理學理論，在小學數學教學中，學生多感官的參與有利于數學知識的學習。在多元表征中，所謂動作表征，就是指學生通過動手操作挖掘數學知識的本質，構建數學模型的一種方式。數學計算具有抽象性，學生容易只關注算法，漠視算理，久而久之就變成“只知其然，不知其所以然”，只會簡單、機械地計算，導致只要題目有稍許變化，他們就無法理解和掌握。然而，正確理解算理是歸納算法的前提和基礎，因此，教師要提供充分的自主操作的機會，讓學生通過動手操作深入探究計算的本質，真正理解算理，掌握基本的數學知識和數學技能，積累豐富的數學活動經驗。

如在教學北師大版一年級上冊《9加幾》時，學生根據題意列出算式9+5，但不會計算，這是學生遇到的新困難。教學時，教師要引導學生探究9加幾的算理，并歸納出計算方法，而這正是教學的重點所在。為了幫助學生真正理解算理，從而歸納出計算方法，筆者引導學生分小組合作學習，讓學生借助事先準備的學具（小棒、計數器）嘗試計算9+5。學生通過擺小棒、撥計數器這些動作表征，得出不同的發現：有的學生發現左邊擺9根小棒，右邊擺5根小棒，合起來就是14根小棒;有的學生從5根小棒中拿出1根小棒放到左邊，與9根合在一起是10根，右邊還有4根，10+4=14;有的學生是利用計數器撥珠子，先在個位撥9，再一顆一顆地撥5顆，當個位10顆珠子撥滿了，就把個位的10顆換成在十位撥1顆，繼續在個位撥余下的4顆，得14顆，等等。通過這樣的動作表征，學生能自主發現并理解9+5的算理，再引導學生將剛才的過程用簡單的數學語言歸納出算法，實現了本節課的預設目標，有效地突破教學的重點和難點，培養學生借助學具自主學習的能力。

又如在教學北師大版三年級上冊《兩位數乘一位數口算》這部分內容時，教材呈現了一幅主題圖。（如圖1所示）

學生在理解題意后列出算式：12×3。本節課的教學重點是讓學生理解“將12分成10+2，再相乘”的過程，并且能夠理解將算式分為“10×3”和“2×3”計算的算理，歸納“兩位數乘一位數”的計算方法。如何才能突破這個教學難點，實現本節課的教學目標呢？筆者設計了小組合作動手操作環節：讓學生擺小棒進行操作，通過擺小棒幫助計算12×3，明白其中的算理。

學生先擺3個10，拿出3捆，表示3個10，即3×10=30;再拿出3個2根表示3×2=6;把兩部分合在一起30+6=36。這種擺小棒的過程，通過動作表征將算理直觀地呈現（如圖2）。在這個教學環節，教師通過小組合作的形式，讓學生動手擺小棒，形象地呈現“3個10+3個2”的過程，讓學生深刻地理解“兩位數乘一位數”的計算算理。一個小小的操作幫助學生深刻地理解了這一乘法計算的本質。通過動作表征，為學生接下來學習“多位數乘一位數”打下了良好的算理基礎。

二、圖表表征，將抽象內容具體化、直觀化，培養學生的數形結合思想

所謂圖表表征，是指學生利用已有的知識經驗，將文字內容在腦中“畫圖表”，用畫線段圖、示意圖、表格等形式表現出來。在小學數學教學中，有效地運用圖表表征，可以幫助學生理解算理，使學生學會學習，實現過程性目標。

如在教學北師大版三年級上冊《兩位數乘一位數的口算》例題“計算12×3”時，當學生通過操作表征初步感知“分別用十位和個位的數與3相乘，再將兩個積合起來”進行計算之后，筆者設計在小組合作中提供點子圖給學生圈一圈，讓他們通過圈圖，直觀地呈現“10×3+2×3”的算理，通過圖表表征經歷直觀形象的算理到抽象算法的演變過程。

方法一：（如圖3）學生通過圈圖不難發現：12=10+2，左邊10×3=30，右邊2×3=6，左右兩部分合起來是30+6=36。歸納得出算法：分別用十位的數與個位的數乘第二個乘數，再把兩次相乘的積合起來。

方法二：（如圖4）12=6+6，先將12分成2個6，用虛線分隔成左右兩部分，每個部分的點子數都是6×3，是我們的表內乘法，就可以算得出6×3=18，左右兩部分都是18，18+18=36。

方法三：（如圖5）12=3×4，將12分成4個3，每部分點子數都是3×3=9，有4個9，9×4=36。

方法四：（如圖6）也可以用表格幫助計算，將12分成10+2，分別與3相乘，填在相應的表格里，再將兩個積相加。

學生用圈圖形和畫表格分析算理，表述方式呈現多樣化。學生已經有了圖表表征的經驗，此時就可以很快得出兩位數乘一位數的算理，梳理出兩位數乘一位數正確的算法。

在這個教學環節中，教師由淺入深、由基礎知識到數學的本質，一步一步深入，引導學生通過圖表表征解析，讓學生充分經歷一個從抽象到形象的過程，不但掌握了“兩位數乘一位數”的算理，而且培養了學生的數感。

三、符號表征，讓學生經歷抽象的過程，歸納算法

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出：“教師要培養學生理解并運用符號表示數、數量關系和變化規律的能力，幫助學生運用數學符號進行數學表達和數學思考。”在小學數學教學中，數學符號表征具有準確性、抽象性和規律性的特點，能夠充分體現數學學習的特性。因此，教師要引導學生學會運用數學符號，經歷簡約抽象的數學表征過程，揭示數學規律。

例如，在教學“除加除減混合運算”時，為了讓學生自己理解運算順序的算理，在學生找出題中數學信息和問題后，筆者請學生說出計算時需要先算“一本作文本多少元”，再算“笑笑買一本作文本、一本英語本需要多少元”。為了讓學生進一步理解運算順序，筆者引導學生用數學符號表示題意。（如圖7）

在這個教學環節，利用符號表征“買3本作文本18元”可以先用18÷3=6（元）求出1本作文本6元，再用6+4=10元就能求出“笑笑買一本作文本、一本英語本需要10元”。用簡單的符號，清晰地呈現出“有除法又有加法要先算除法再算加法”的運算順序，進一步反映了思維的有序性。

學生在完成上面的練習題時也采用符號表征呈現運算順序，他們根據數學符號變化，直接提煉出計算順序：有除法又有加法要先算除法再算加法，讓數學運算順序的歸納自然而然、水到渠成。

四、語言表征，讓朗朗上口的語言幫助學生掌握計算方法

語言表征重在“說”，將計算算理轉化為朗朗上口的、合理的、可理解的語言，幫助學生掌握計算方法，促進學生計算能力的發展，同時訓練學生的思維更加靈活多樣，強化學生的數學表達能力。

如北師大版一年級《9加幾》一課，在學生經歷9+5的算理探究、歸納算法時，筆者引導學生歸納出算理：看大數9，分小數5，9和1湊成十，加剩下的4是14。通過這樣朗朗上口的口訣幫助學生理解算理，牢固掌握算法，提升學生的計算能力。又如，在教學用計數器幫助計算時，讓學生邊撥計數器，邊說出算理。如9+5，個位先撥9，9和1湊成十，個位滿十，向十位進1，個位再撥4，9+5=9+1+4=14。在學生經歷了實物的直觀，逐步發展到語言的直觀，由基于語言的表述描述來代替基于動作和形象的演示，可以幫助學生快速理解算理、熟練算法，提高效率。

總之，數學表征從內容上反映了數學學習對象信息的部分，但從形式上看是豐富的、互補的、變通的，合理運用數學多元表征，借助多元表征學習，能夠讓學生充分經歷由直觀算理到抽象算法的過渡，進而突破數學學習的難點，學會從數學的角度觀察、發現、分析算理，歸納算法，從而讓算理算法“看得見”。

【作者簡介】秦虹（1974— ），女，廣西桂林人，碩士研究生學歷，一級教師，主要研究方向為小學數學教學，目前研究課題是培養小學低年級學生運算能力的實踐研究。

（責編 林 劍）