試論高中數學解題中構造法的應用

韓小彬

摘 要：在當前的素質教學環境下，如何進一步強化學生的數學解題思維，是教師需要肩負的一項重要任務，為了強化相關人員的教學認識，本文對高中數學解題中構造法的應用展開探究，希望能夠起到一些積極的參考作用.

關鍵詞：高中數學;構造法;解題應用;分析

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2021）13-0058-02

在調查中發現，高中階段的數學教育，已經擺脫了以往那種應試的思路，轉而對學生數理思維能力進行培養，因此，在解題教學的過程中，教師也需要拓展出一些新穎的教學方法，來完善學生的數學學習認識，建立出一個高效化的授課環境.為了強化學生對構造法的應用意識，教師不妨根據相關的教學內容，創設出一個理想化的授課環境，以此來強化學生的訓練認識.

一、利用已知條件構造函數

應用構造法的時候，主要是讓學生根據問題中出現的已知條件和已知結論，借助問題類型的特性，來分析已知條件的數學模型，進而讓問題的表現形式變得更為直觀化，這樣學生在解題的時候，思路能夠更加清晰，從而梳理出一個具體的解題思路.在實際操作的過程中，教師不妨試著借助一些題目中的已知條件，幫助學生構造相應的函數內容，深化學生解題認識.

例如，在對“解不等式”的內容進行訓練的時候，不少學生面對問題，恐怕都會采用傳統的思維方式，直接進行解題，雖然也可以得出答案，但是整個過程比較復雜，很可能出現錯誤，所以，為了避免這類情況，教師在教學訓練的過程中，可以借助構造法，幫助學生分析“不等式”的相關內容.不等式問題大都是以函數單調性為基礎，所以可以利用已知條件構造函數，證明不等式的單調性，同時引入圖形來深化論證過程.比如，已知x，y，z均在區間（0，1）上，在求證x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1時，便可以構造出一個相應的函數，即f（x）=（y+z-1）x+（yz-y-z+1），針對其進行分析，得出相應的證明過程，學生的解題思路將會更加明晰.

二、根據等量關系構造方程式

在一些比較復雜的數學問題中，時常會出現自變量和因變量的內容，學生一定要熟練掌握相關概念，教師可以在此基礎上，引導學生設計相應的解題框架，根據一些等量關系來構造方程式，無論問題中是二元二次方程式，亦或者是一元二次方程式，在解答的過程中，都要將解決未知量設定為解題的目的，另外，在針對定量關系的題目時，也可以根據等量關系構造出相應的方程式.

在學習一元二次方程式的內容時，有一類生活化的題目比較常見，如，玩具商店某款熱銷玩具的進價為50元，當按照50元的價格售賣時，可以賣出400件，并且單價每上漲1元，玩具的銷量便會降低10件，請問，玩具售價為多少時，商店能夠得到最大的利潤.解決這類問題時，不能使用傳統的解題思路，那樣反而會增大解題難度，不妨借助構造法，將利潤設置為W，增長的金額設定為x元，根據題目中的描述，可以得出下列這個方程式：W=（50+x）（400-10x）-50（400-10x）=x（400-10x）=-10x2+400x.最后，學生可以根據方程式進行求解，從而推出利潤最大值時x的數值.

三、借助題目內容構造平面圖形

針對一些代數問題，大家可能習慣于從代數的角度來進行解答，這樣解題的過程比較復雜，且具有一定的局限性，所以，大家不妨試著從構造法的角度來尋找解題的突破口.在訓練中，教師帶領學生在數形結合的基礎上，構建相應的數學模型，降低解題的難度，并且學生在構造平面圖形的時候，可以在圖形上完成解題訓練，將問題變得更為直觀，這樣解題思路更加清晰，大家也可以找準解題的突破口.

在解不等式的相關題目時，通過借助函數圖形，能夠降低解題難度，教師在講解這類題目的解題方法時，可能部分學生會出現一些認知誤區，如已知△ABC的頂點A和B在某個橢圓上，其方程是x2+3y2=4，而另一個頂點C在直線l上，其方程為y=x+2，且l∥AB，∠ABC

=90°，當斜邊AC的長度最大時，求AB所在直線的方程.在解題的時候，教師首先幫助學生把握題目中的一個關鍵信息——直線l，這時構造相應的圖形，并確定l在整個坐標空間里的位置，再將問題轉化為代數方程，這樣整個解題步驟能夠變得更為簡明化.

四、結合題設特征構造數列

高中數學教學中，等比數列、等差數列是重要的知識內容，有著很多數學性質，是高中數學教材的重點內容，也是高考必考的熱點內容.在解決數列問題時，可以借助構造法完成，提高學生解題效率和能力.在具體的構造法應用中，需要引導學生分析題設特征，通過替換或者聯想的方式，構建相應的等比數列或者等差數列，借助數列的構造，明確數學問題求解要點，將題目化繁為簡，使得抽象內容具體化.通過這樣的方式，幫助學生更好地解題，提高學生的解題效率.

例1 已知數列{an}的前n項和是Sn，且S4=4，當n≥2時，an=12（Sn+Sn+1），求Sn關于n的表達式.

分析 此題是數列問題中的典型題目，并且前n項和與數列通項an的關系是已知的，求解Sn的表達式.如果采取傳統的通項公式求解的方式，解題過程非常繁瑣，并且不能夠直接套用公式，影響最終的解題結果.如果構建相應的虛構數列，借助新的數列完成求解，可以非常快速地解決問題，提高學生的解題效率.

解析 當n≥2時，an=Sn-Sn-1，根據an=12（Sn+Sn+1），進行相應的轉化，可以得出12=Sn-Sn+1，令bn=Sn，可以得出數列{bn}屬于等差數列，其公差是12，且b4=S4=2，根據已知內容，得bn=n2，所以Sn=n24.

在面對一些復雜的數列問題，或者數列不是等比數列或者等差數列的問題時，可以借助相應的化歸思想，將其構造成相應的等比數列或者等差數列，利用其通項公式完成解題.教師需要結合學生的實際情況，引導學生有效利用構造法，完成數學問題的思考和解答.

五、分析數學問題構造解析式

構造解析式法主要是根據題目條件，借助合理的構建方式，構建適當的關系式、輔助問題思考和解答問題.在實際的解題中，應當靈活利用解析式構造方式，有效簡化數學問題的解題思路.在具體的解析式構造的應用中，應當根據實際的數學問題，對其特征進行分析，構建與之有關聯的關系式，將其替代原題干中的信息問題，或者對原有的數學問題進行簡化，完成原有數學問題的思考和解答，實現數學問題解題的目標.

例2 求證：C0n+C1n+C2n+…+Cnn=2n.

解析 此題目涉及到二項式展開式系數求和的內容，在解題時，如果采取以往的計算方式解題，過程過于繁瑣，而且計算非常復雜，影響解題效益和準確性.因此，通過對題干內容進行分析，尋找其存在的特點和特征，構造相應的表達式，借助構造解析式方式，對問題進行簡化處理，有效完成題目的思考和解答.在解析式構造時，結合題目合理構造，如（a+b）n=C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Cnnbn，利用a=b=1的特殊值，對展開式進行轉變，通過二項式定理對問題進行轉化，對a=b=1的特殊情況進行證明，有效完成解題.因此，高中數學解題中，需要對題干內容進行分析，結合其特點構造解析式，明確解題思路和方式，采取特殊值等方式，對題目進行驗證，有效解決數學問題.

總而言之，在高中數學教學過程中，對于構造法的應用，教師要抱有一個正確的教學態度，將其與實際的教學內容結合起來，進行有效應用，爭取幫助學生建立更為簡明的解題思想，這樣大家的訓練認識，也能夠得到全面性的提升，不僅僅可以深化整體的數學教育工作，對于學生未來學習發展也是大有裨益.

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[責任編輯：李 璟]