基于圖像處理的矩陣論理論教學培養方法研究

張翠英 高瑞超

摘 要：本文分析了矩陣論課程的教學現狀，針對矩陣論傳統教學方法的弊端進行改進，通過在課堂中引入應用實例，給出了矩陣論理論在圖像處理中的具體應用，并借助于MATLAB平臺進行了實驗仿真。通過教學內容和教學手段的豐富，可以極大的激發學生的學習興趣，從而有效提高矩陣論課程的教學質量。

關鍵詞：矩陣論;圖像處理;教學手段;教學質量

0 引言

目前，許多應用型的本科院校把矩陣論作為理工科專業的重要數學基礎課程，該課程全面講述了線性空間與線性變換、矩陣分解、矩陣分析、矩陣的特征值以及矩陣的廣義逆矩陣等相關內容，旨在培養學生利用理論知識解決實際問題的能力[1]。由于矩陣論的理論性比較強，傳統的教學模式是以“教師為中心”的單向輸出，教師在講授過程中對其缺乏工程應用的介紹，導致大部分學生認為該課程晦澀難懂，缺乏學習興趣，難以學以致用。因此，如何使學生多方面了解矩陣論理論的工程應用，從而提高學生的學習興趣變得尤為重要。

本文主要介紹了矩陣論理論在圖像處理中的一些應用，并給出了在MATLAB平臺的仿真示例，這樣可以使學生對矩陣論理論的實際應用效果感受更加直觀，從而增強學生對矩陣論的學習熱情，提高學生學以致用的能力。

1 矩陣論理論在圖像處理中的應用

數字圖像處理技術是采用計算機程序和算法對數字圖像進行計算處理，以獲得改善圖像、目標特征值或實現目標自動識別的技術[2-3]。而矩陣論理論是圖像處理的基礎，圖像在計算機上以矩陣的形式來表現。因此矩陣論理論對于數字圖像處理的作用可見一斑。矩陣論理論在圖像處理方面的應用主要有以下幾個方面：

1.1 奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）

在現代數值分析中，矩陣的奇異值分解是最有效的工具之一，它是矩陣分析中正規矩陣酉對角化的推廣。SVD廣泛應用于圖像處理領域，利用SVD可以有效提取圖像的特征[4]。例如在圖像融合中，通過對待融合的源圖像進行SVD分解，可以有效獲取表征圖像特征的特征系數，然后利用某種融合規則（取大或加權平均）對分解系數進行融合，獲得融合系數。最后通過對融合系數進行逆變換，可以獲得融合圖像。

1.2 極大線性無關組

極大線性無關組是在線性空間中擁有向量個數最多的線性無關向量組。一個向量組的極大線性無關組是其最本質的部分，對許多問題的研究起著非常重要的作用。如確定矩陣的秩，討論線性方程組的基礎解系等。簡單來講，極大線性無關組就是“基”。基就如英文里面的26個英文字母，所有的英文句子都是由這組基（26個字母）組成。在圖像處理中，小波變換是傳統方法中最常用的圖像分析工具，因其在時域和空域均有良好的局部化特性，并且還能夠對高頻部分采取逐步精細的時域或空域取樣步長，因此有“數學顯微鏡”之稱[5]。小波變換由一組小波基函數構成，常用的小波基有“haar”小波，“dbN”小波等。基的概念在利用稀疏表示處理圖像時得到很好的體現。在稀疏表示處理圖像時，主要任務是字典的生成和圖像的稀疏分解，這里的分析字典就相當于一組基，圖像的稀疏系數就是圖像在這組基上的表示。

1.3 主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）

主成分分析法是一種用于數據降維的統計方法，其主要思想為：首先借助于正交變換，將其分量相關的原隨機向量轉化成其分量不相關的新隨機向量，即將原隨機向量的協方差矩陣變換成對角形矩陣，然后對多維變量系統進行降維處理，使其能在保持一個較高的精度的同時轉換成低維變量系統，最后再通過適當價值函數的構造，進一步把低維系統轉化成一維系統[5]。在圖像處理中，利用PCA對高維數據（如人臉數據）降維，從而提高圖像處理的效率。PCA中用到了協方差矩陣，特征值，特征向量，線性表示等知識。特征值是矩陣分析的一個主要特征。圖像的局部區域信息可以利用圖像結構張量特征值之間的關系來描述，有效獲取圖像的特征。

1.4 線性空間

線性變換是模式識別領域優化的基礎。歐式空間的歐式距離可以用來計算兩幅圖像之間的相似度或者聚類等。歐式空間也是學習黎曼空間的基礎。黎曼空間的Affine-Invariant度量與Log-Euclidean度量非常適合處理協方差矩陣。利用這兩種度量方式可以更好的度量圖像相似度。

2 基于MATLAB的仿真實例

MATLAB是一款以矩陣為基本數據單位的數學軟件，將矩陣運算、數據分析、實現算法以及建模仿真等功能集于一體，具有完備的圖像處理功能[6]。利用MATLAB軟件對圖像處理進行仿真，使學生更加直觀和真切的感受圖像處理的效果，深刻了解矩陣論理論的應用實踐。

圖像融合是圖像處理的一個重要分支，它是把兩個或多個來自不同傳感器的圖像通過一定算法融合到一幅圖像的過程，去除圖像冗余信息，提高融合圖像的質量，以滿足人眼視覺或圖像后期處理的需要。圖像融合已在軍事、遙感、醫學、計算機視覺等領域廣泛應用。為了使處理結果更加直觀，本文以基于小波變換的圖像融合的MATLAB仿真實現為實際案例，介紹極大線性無關組的實際應用。其中，軟件環境為MATLAB R2010b，硬件環境為Pentium（R）Dual-Core CPU/2.59GHz/1.99 GB，待融合的實驗圖像均為256×256的多聚焦圖像。

2.1 基于小波變換的圖像融合過程

首先對待融合源圖像進行小波分解得到一個低頻子帶系數和水平、垂直、對角三個方向的高頻子帶系數，其中，分解層數為3，小波基為“DBSS（2，2）”;然后采用低頻子帶系數取平均，高頻子帶系數絕對值取大的融合策略進行融合，獲得融合系數;最后對融合系數進行小波逆變換，獲得最終融合圖像。

2.2 實驗結果

圖1（a）是右聚焦圖像，圖像左側的“鬧鐘”模糊，圖像右側的“鐘表”清晰。圖1（b）是左聚焦圖像，圖像左側的“鬧鐘”清晰，圖像右側的“鐘表”模糊。圖1（c）是基于小波變換的融合圖像結果。從主觀視覺上看，基于小波變換的圖像融合方法能夠將兩幅源圖像融合成“鬧鐘”和“鐘表”均清晰的圖像。融合圖像清晰度高，保留了較多紋理和邊緣細節信息。

通過真實的仿真實驗數據，可以使學生更加直觀的評判圖像融合質量的好壞。本實例是矩陣論中極大線性無關組的一個典型應用，通過演示基于小波變換的多聚焦圖像的融合過程，向學生展示了矩陣論中相關知識點在工程實際中的具體應用，充分調動了學生學習的積極性，增加了課堂教學的趣味性。

3 結論

本文主要立足于如何激發矩陣論課程中學生的學習積極性，進而更好的培養學生利用矩陣論理論解決工程實際問題的能力。本文主要從教學內容與教學手段出發，通過在教學過程中輔以實際應用的案例，在教學手段上搭建虛擬仿真平臺，以“矩陣論+圖像處理”的方式，為高校教育提供了更多的教學思路。

參考文獻：

[1]羅思琴，諶雨章，郭煜瑋.工程實踐中矩陣論理論教學培養方法研究[J].信息通信，2020（12）：137-139.

[2]張錚，徐超，任淑霞，等.數字圖像處理與機器視覺[M].人民郵電出版社，2014（5）：596.

[3]張德豐.數字圖像處理（MATLAB版）[M].人民郵電出版社，2015（1）：381.

[4]吳德陽，趙靜，汪國平，等.一種基于改進奇異值和子塊映射的圖像零水印技術[J].光學學報，2020，40（20）：85-97.

[5]林海明，杜子芳.主成分分析綜合評價應該注意的問題[J].統計研究，2013，30（8）：25-31

[6]張錚，倪紅霞，苑春苗，等.精通Matlab數字圖像處理與識別[M].人民郵電出版社，2013（4）：412.