新課程 新教材 新高考：高中數學解題與命題的新思考

張耀雄

[摘? 要] 在當前新時代的背景之下，高中新課程改革正在進入一個新的階段，2022年前全國普通高中將全面實施新課程、新教材. 課程是一個非常重要的概念，所有學科的教學都是在課程標準的范圍之下進行的，在當前面臨新高考的背景之下，教師應當認識到新課程給高中數學解題與命題的研究搭建一個新的框架. 教材在高中數學解題與命題的過程中，仍然發揮著重要的基礎性作用. 關于新高考的理解正引導著包括高中數學學科在內的課堂走向，因此新高考對于高中數學解題與命題的指向作用是不言而喻的.

[關鍵詞] 高中數學;解題;命題;新課程;新教材;新高考

教學對于每個教師來說，是一件再尋常不過的事情，但就是在這個尋常不過的事情當中，卻蘊含著豐富的聯系. 對于每位高中數學教師來說，要認識到教學原本是在課程的視角下進行的，教師所教學的內容既可以說是教材上的內容，也可以說是課程中的內容;與此同時，教學又必然面對著考試評價，而考試對于高中學生來說是最重要的學習目標，考試所發揮的指揮棒作用，直接影響著教師的教與學生的學. 特別是在當前新時代的背景之下，高中新課程改革正在進入一個新的階段，2022年前全國普通高中將全面實施新課程、新教材. 很顯然，新課程、新教材以及新高考，將給當前的高中數學教學帶來深刻的變化. 相應地，教師對基于數學新教材與核心素養的教學必須要有新的理解和思考，尤其是教師必須理解核心素養、理解新教材、理解基于核心素養的教學、理解信息技術與教學的深度融合、理解數學建模在數學教學中的重要性，才能在新教材的教學中更好地落實核心素養，把握教學方向. 本文從重點高中數學解題與命題兩個角度，談談筆者的一些思考與實踐.

[?] 新課程：高中數學解題與命題的新框架

課程是一個非常重要的概念，所有學科的教學都是在課程標準的范圍之下進行的. 在當前面臨新高考的背景之下，教師應當認識到新課程給高中數學解題與命題的研究搭建一個新的框架，對于這個框架的理解，可以從數學學科核心素養角度來進行. 數學學科核心素養包括六個要素，即數學抽象、邏輯推理、數學建模，以及數學運算、數據分析、直觀想象. 在《普通高中數學課程標準（2017年版）》中，明確要求學生在數學學習的時候能夠體會到數與代數運算的意義，以及相關的算理等，還要求學生能夠在相應的情境中運用數學運算、數學模型去解決實際問題;與此同時，數學思考也是新課程框架之下的一個重要概念，數學思考具體表現為學生在數學學習與問題解決過程中的數感、符號感、空間觀念、統計意識等. 而從思維發展的角度來說，高中生還要具有數學的思維能力和自主學習的能力，要在學習的過程中培養必要的解題能力，這樣才可以學好數學知識. 所以，學校和數學教師在進行數學教學的時候一定要重視培養學生的數學學習能力以及數學解題能力，這樣才可以滿足新課程的要求.

例如，《九章算術》中的“竹九節”問題：現有一根9節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面4節的容積共4升，下面3節的容積共6升，則第5節的容積是（? ? ）

A. B.

C. D.

這樣一個數學題目考查的是等差數列的知識，而問題的情境則來源于我國著名的數學經典著作《九章算術》. 應當說這樣的情境具有很典型的文化特征，對于高中學生來說，能夠讓他們在習題解答的過程中接受一定的文化熏陶，同時又不影響對學生所掌握的數列知識的考查. 因此這樣一個題目的命制，就體現出了新課程對數列知識的考查需要. 如果分析學生的解題過程，那么學生必然會對情境中的素材進行數學抽象，也就是將具體的生活情境轉換為數學問題，這考查了學生的數學抽象能力;而學生對情境中的數據進行分析的時候，又考查了學生的數據分析以及基本的數學運算能力;最后學生運用等差數列模型來解決問題，這實際上又考查了學生的數學建模能力. 因此從學生解題的角度來看，教師應當讓學生充分體驗這些過程，從而讓數學學科核心素養真正落地.

[?] 新教材：高中數學解題與命題的新基礎

新課程必然對應著新教材，新教材也必然體現著新課程的基本理念. 雖然今天的高中數學教學，尤其是試題的命制已經不再強調“以本為本”，但是不可否認的是，教材在高中數學解題與命題的過程中，仍然發揮著重要的基礎性作用. 事實表明，高中數學解題與命題必須高度重視對教材上典型題目的延伸與拓展. 在新高考背景下，很多高考題目也確實都能在教材或者平時的習題中找到“原型”. 因此，無論是在試題的命制過程中還是在解題教學中，教師都必須要重視典型例題和習題的講解，還要注意對其進行相應的延伸和拓展，對這些典型問題進行深入挖掘. 具體地圍繞一個題目從考查的知識點、解題思路、解題方法等進行細致剖析，可以取得較好的效果.

例如，有這樣一道題目：已知拋物線C：y2=2px（p>0）經過點A（1，2），直線l過拋物線C的焦點F且與拋物線交于M，N兩點，拋物線的準線與x軸交于點B. （1）求實數p的值;（2）若·=4，求直線l的方程.

對于這樣一道題目，教師必須引導學生將其與教材中的相關題目進行對比，通過對比可以發現：在教材中，其實一些典型的例題與這道題目的考查思路是比較一致的. 因此在對這題進行解題教學的時候，就可以將其與教材中的例題聯系起來，學生在思考題目的時候就不再是孤立的，而是有聯系的. 這種聯系的建立，可以有效地促使學生更加準確地學習并理解與拋物線相關的數學知識. 事實上，學生在解題的時候，很容易根據拋物線的定義對第（1）問求解;而在第（2）問求解的時候，不少學生也能夠通過拋物線C的方程以及焦點和準線，并結合拋物線的準線與x軸交點的坐標，思考設直線的方程為x=my+1，然后再設出M和N兩點的坐標，從而列出相應的方程組，最終完成對直線l方程的求解. 其中的核心解題部分如下：

設M（x1，y1），N（x2，y2），于是可以列出x=my+1，

y2=4x;合并方程組得y2-4my-4=0，于是可得Δ>0，

y

+y=4m，

y

y=-4;又·=4，所以（x1+1，y1）·（x2+1，y2），即4m2-4=0，解得m=±1，滿足Δ>0，故直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0. （該解題過程基于學生的思維過程而總結，其中有一些細節做了優化）

這樣的一個解題過程反映了學生的思維是清晰的，而這一清晰的思維基礎，就是學生對教材上一些典型例題的學習與分析.

[?] 新高考：高中數學解題與命題的新指向

當今的高中教學中，新高考是一個無法繞開的關鍵詞，甚至很大程度上關于新高考的理解正引導著包括高中數學學科在內的課堂走向. 因此新高考對于高中數學解題與命題的指向作用是不言而喻的！在理解這種指向作用的時候，教師要注意新課程標準中一些教學內容的刪減和增加，這實際上是對命題以及日常教學中的解題教學傳遞出了一個信號：哪些知識點應該被檢驗，哪些知識點應該逐漸弱化. 如線性規劃問題、三視圖、程序框圖等知識實際上就處于弱化的過程中……認識到這種指向，那么教師在解題教學以及命題的時候，也就應當以這種指向作用去指導日常的命題與解題.

例如，結合當前社會經濟以及信息技術的發展，結合當前新經濟的新形態，可以給學生提供這樣一道題目：隨著中國經濟的騰飛，隨著互聯網的快速發展，網絡購物需求量不斷增大，如今大街小巷幾乎每個市民都在運用智能手機上網購物，而大山深處的農民也通過購物平臺將自己所種的果蔬賣出. 某物流公司為擴大經營，在某一年年初用192萬元購進了一批小型貨車，公司第一年需要付保險費等各種費用共計12萬元，從第二年起包括保險費、維修費等在內的所需費用比上一年增加6萬元，且該批小型貨車每年給公司帶來69萬元的收入. 問：（1）若該批小型貨車購買n年后贏利，求n的范圍;（2）該批小型貨車購買幾年后的年平均利潤最大，最大值是多少？

從命題的角度來看，這樣一個題目的素材與學生的生活關系密切，當前不少高中學生已經有了網上購物的生活體驗;同時這個素材又與數學知識密切相關，學生可以在對物流成本的研究過程中，尋找到相應的數學模型來解題. 從考試評價的角度來看，這樣一個數學習題的指向與當前的新高考是吻合的，對于當下的問題以及解題教學來說，也有著一定的啟發意義. 對于高中數學教師來說，在日常的教學中，尤其是在解題與命題的研究過程中，以這樣的習題分析與教學過程作為基礎，慢慢積累起對新課程、新教材以及新高考的認識，可以很好地促進教師去感知、把握新高考的特點，從而引導學生更好地適應新高考背景下的數學課程學習以及數學教材理解.