聚焦抽象 落實素養(yǎng)

邢虎

[摘? 要] 文章以高中“函數(shù)單調(diào)性”概念教學為例，探究了數(shù)學抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的策略. 認為高中數(shù)學概念教學中，應(yīng)聚焦數(shù)學抽象素養(yǎng)，以關(guān)鍵概念的形成為核心，引領(lǐng)學生在親歷探究數(shù)學概念知識的形成過程中積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)，提升理性思維.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學;抽象素養(yǎng);函數(shù)單調(diào)性;教學

作為六大核心素養(yǎng)之首，抽象素養(yǎng)能夠促使學生從數(shù)學問題中舍棄非數(shù)學的屬性，運用符號、數(shù)量、圖形等數(shù)學語言描述實際生活情境中抽象出來的數(shù)學規(guī)律，從而達到更好地掌握數(shù)學本質(zhì)的目的. 而在當前高中概念教學中，教師往往忽視了基于發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的視角去引領(lǐng)學生數(shù)學化地思考和探索，致使學生從實際情境中抽象出數(shù)學問題的能力較弱，在將有關(guān)問題用數(shù)學語言表達并用所學知識解決問題方面并不理想. 因此，高中數(shù)學概念教學中，應(yīng)聚焦數(shù)學抽象素養(yǎng)，以關(guān)鍵概念的形成為核心，引領(lǐng)學生在親歷探究數(shù)學概念知識的形成過程中積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗[1]，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)，提升理性思維.

[?]高中數(shù)學抽象素養(yǎng)培養(yǎng)策略

1. 創(chuàng)設(shè)問題情境，抽象數(shù)學問題

為了拓展學生的認知領(lǐng)域，將所學知識與生活經(jīng)驗有機結(jié)合起來，教師應(yīng)立足于學生思維的最近發(fā)展區(qū)創(chuàng)設(shè)問題情境，并深刻挖掘問題情境中所蘊含的抽象素養(yǎng)，鼓勵學生運用數(shù)學的思想和方法表達和理解問題情境，從而有效地將學生帶入生活化、社會化、科學化的學習氛圍之中.

例如，在“函數(shù)的單調(diào)性”創(chuàng)設(shè)問題情境時，教師結(jié)合學生的生活實際，為學生呈現(xiàn)了某一地區(qū)24小時內(nèi)的氣溫曲線圖，并通過純幾何表述、幾何強代數(shù)弱、代數(shù)強幾何弱、純代數(shù)化表述引導學生觀察曲線圖，逐漸抽象出函數(shù)值是如何隨著自變量的變化而變化等函數(shù)單調(diào)性內(nèi)容.

2. 巧用數(shù)形結(jié)合，促進抽象概括

教師應(yīng)摒棄灌輸式教授方式，注重“數(shù)”與“形”描述事物本質(zhì)的兩個方面，引導學生不斷在抽象思維和形象思維之間轉(zhuǎn)換，并且結(jié)合不同的例證，在分析和比較的基礎(chǔ)上抽象出數(shù)學知識的本質(zhì)屬性，從而實現(xiàn)復雜問題簡單化、簡單問題具體化的目的.

例如，“函數(shù)單調(diào)性”是說明函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的變化規(guī)律這一論述比較抽象，針對這種情況，教師可以從學生較為熟悉的簡單函數(shù)入手，從“形”出發(fā)引導學生直觀得出函數(shù)圖像的“上升”或“下降”就是體現(xiàn)了函數(shù)的單調(diào)性. 在此基礎(chǔ)上，進一步引導學生追本溯源思考如何用代數(shù)表示上升或下降，從而抽象出函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)屬性.

3. 善用符號語言，發(fā)展數(shù)學抽象

數(shù)學符號語言本身相當抽象，而在學生得到數(shù)學知識的本質(zhì)屬性之后，教師還應(yīng)將實例中表述屬性的自然語言及時轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，明確說明每個符號所表示的含義，從而達到發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)的目的. 值得說明的是，數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)是有長期性的，為了使學生理解和加強符號語言的本質(zhì)屬性，促使學生在今后學習其他符號中產(chǎn)生正遷移，教師還應(yīng)注意控制非本質(zhì)特征的數(shù)量和強度，并且注重變式的運用. 例如，在組織學生學習“函數(shù)單調(diào)性”時，教師應(yīng)明確向?qū)W生強調(diào)f（x）、自變量x、f（2020）等各個符號的意義，理解應(yīng)用符號語言的便捷性.

4. 運用正反例，促進數(shù)學抽象

為了將抽象的數(shù)學知識變成存在于學生自己思維中的具體知識，教師還應(yīng)合理地利用正反例，有效明確概念的內(nèi)涵和外延. 值得注意的是，在概念形成之前，教師應(yīng)盡可能地呈現(xiàn)正例，隨著概念的學習的深入，為了排除非本質(zhì)屬性的干擾，教師應(yīng)多呈現(xiàn)反例. 例如，在組織學生學習“函數(shù)單調(diào)性”時，教師應(yīng)將在區(qū)間內(nèi)的任意自變量這個關(guān)鍵字與感性材料建立聯(lián)系，運用正反例幫助學生準確理解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間.

5. 注重概念聯(lián)系，提升數(shù)學抽象

為了促使學生從多個角度上看待問題，教師應(yīng)強化抽象知識的應(yīng)用，結(jié)合相關(guān)的練習題目讓學生辨別數(shù)學抽象結(jié)果，并及時對整個抽象過程進行反思總結(jié). 例如，在具體解題之前，教師應(yīng)注重對相關(guān)題目的分析，促使學生尋找出題目中所隱藏的隱含條件，使學生對抽象概括的能力得到進一步提高.

[?]基于數(shù)學抽象素養(yǎng)的高中數(shù)學教學實踐

僅有相關(guān)理論是不夠的，而函數(shù)的單調(diào)性一直是歷年高考的重點，不僅糅合了數(shù)形結(jié)合思想，而且函數(shù)的單調(diào)性概念比較抽象，特別是在應(yīng)用數(shù)學符號將自然語言上升到定義時比較困難. 因此，基于以上教學策略，為了強化理論聯(lián)系實際，本文以“函數(shù)的單調(diào)性”為例進行深入探究.

1. 情境導入，激發(fā)求知欲

為了讓學生充分感受數(shù)學源于生活而又服務(wù)于生活，教師呈現(xiàn)了如下學生較為熟悉的生活情境：某地一天氣溫T隨著時間t變化的圖像如圖1所示，要求學生仔細觀察圖像，并引導學生通過以下幾個步驟逐漸抽象出這個幾何情境，了解氣溫T隨時間t變化的大致規(guī)律.

第一步（幾何表述）：請問什么時間氣溫達到最高，什么時間氣溫達到最低，最高氣溫和最低氣溫分別是多少攝氏度.

第二步（代數(shù)少幾何多）：根據(jù)圖像請說出8時、16時、24時的具體溫度.

第三步（幾何少代數(shù)多）：引導學生觀察曲線在t∈[0，4]時呈下降趨勢，在t∈[4，12]時呈上升趨勢，在t∈[12，24]時又呈下降趨勢.

第四步（純代數(shù)）：在t∈[0，4]，t∈[12，24]時，函數(shù)值T隨著自變量t的增大而減小，在t∈[4，12]時，函數(shù)值T隨著自變量t的增大而增大.

2. 構(gòu)建新知，形成概念

為了讓學生體驗函數(shù)單調(diào)性概念的形成過程，自主感受新知的抽象過程，教師應(yīng)從學生已學函數(shù)的幾何直觀入手（如圖2至圖4所示），再結(jié)合情境導入的溫度圖像，引導學生從“形”的角度描繪函數(shù)f（x）隨自變量x的變化規(guī)律. 在此基礎(chǔ)上，要求學生從數(shù)的角度精準刻畫出上升、下降等“形”的規(guī)律，從而引出函數(shù)的單調(diào)性，并要求學生應(yīng)用準確的語言表述增函數(shù)、減函數(shù)的定義.

隨后，要求學生觀察如圖5所示的函數(shù)圖像，并根據(jù)上述所學知識，判斷該函數(shù)在定義域內(nèi)是否是增函數(shù)、是否是減函數(shù)，進而幫助學生結(jié)合圖像進一步剖析概念，厘清函數(shù)單調(diào)性是針對函數(shù)的某個區(qū)間而言的，并且對于區(qū)間內(nèi)的自變量x的要求是“任意取值”.

3. 學以致用，強化理解

概念的應(yīng)用需要實踐，為了進一步強化課堂上對函數(shù)單調(diào)性的理解，培養(yǎng)學生應(yīng)用所學知識解決實際問題的能力，教師還應(yīng)通過如下類似的練習題幫助學生總結(jié)出判斷函數(shù)單調(diào)性的方式，即“取差—變形—判號—得出結(jié)論”，從而不斷強化學生的抽象素養(yǎng).

如：已知函數(shù)f（x）=x+，試證明f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是單調(diào)遞增.

同時，為了強化變式和構(gòu)造反例訓練，幫助學生有效體驗函數(shù)單調(diào)性概念符號化的建構(gòu)過程，加深由直觀到抽象的認知過程，教師還應(yīng)引導學生通過以下練習題理解函數(shù)單調(diào)性的內(nèi)涵和外延.

如：對下列說法進行判斷，請畫圖說明理由.

（1）已知函數(shù)y=f（x），若f（3）>f（4），則能否判斷該函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，能否說明該函數(shù)一定不是單調(diào)遞增函數(shù).

（2）x為區(qū)間（0，+∞）上的任意實數(shù)，若恒有f（x）>f（0），則該函數(shù)是否在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增.

4. 歸納總結(jié)，提高認識

以函數(shù)單調(diào)性概念形成過程中的收獲為主題，要求學生總結(jié)出增函數(shù)（減函數(shù)）圖像的特點，以及如何應(yīng)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性. 同時，學生對于函數(shù)單調(diào)性的理解不可能一次性完成，教師還應(yīng)設(shè)置以下練習題目，鼓勵學生自行完成.

如：（1）已知函數(shù)y=f（x），當0<1<2，恒有f（0）

（2）畫出下列函數(shù)圖形，并指出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性：①y=-x2+2;②y=（x≠0）.

（3）已知函數(shù)y=f（x），若該函數(shù)在區(qū)間（-2，3）上是增函數(shù)，則函數(shù)y=f（x+5）的遞增區(qū)間是什么？

[?]結(jié)語

總之，抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)并不是一種簡單的傳授和給予，而應(yīng)引領(lǐng)學生在親歷數(shù)學化的過程中進行自我體驗、自我感悟、自我升華[2]，獲得理解性掌握，并通過創(chuàng)設(shè)問題情境、巧用數(shù)形結(jié)合、善用符號語言、注重概念聯(lián)系等方式，根據(jù)學生的知識現(xiàn)狀、認識水平、心理特征精心打磨，只有這樣，才能使高中數(shù)學課堂散發(fā)出迷人的光彩，才能促使數(shù)學抽象素養(yǎng)在高中數(shù)學教學中生根開花.

參考文獻：

[1]? 莊麗育. 立足數(shù)學核心概念，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)——以“整式的規(guī)律探究”為例[J]. 福建中學數(shù)學，2020（01）.

[2]? 胡昌亮. 高中生數(shù)學抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的實踐研究——基于導數(shù)教學的思考[J]. 數(shù)學教學通訊，2020（12）.