一種考慮參數不確定性和相關性的懸置系統固有特性分析方法

黃曉婷 楊坤 毛海寬 呂輝

摘 要：針對汽車動力總成懸置系統參數同時存在不確定性和相關性的復雜情形，提出了一種汽車動力總成懸置系統固有頻率和解耦率的不確定性分析方法。首先，基于多維平行六面體模型對具有不確定性和相關性的系統參數進行描述;其次，結合正則化、泰勒級數展開和中心差分法等方法，計算懸置系統固有頻率和解耦率的不確定性響應;再次，給出方法的具體分析步驟;最后，以蒙特卡洛法作為參考方法進行對比驗證。結果表明，懸置系統不確定性參數的相關性對系統固有特性響應有一定影響。所提方法在求解系統不確定性響應方面表現出較高的計算精度和計算效率，可為汽車動力總成懸置系統固有特性的計算、評估和優化設計提供參考。

關鍵詞：機械動力學與振動;動力總成懸置系統;多維平行六面體模型;固有特性;不確定性;相關性

中圖分類號：TN958.98?? 文獻標識碼：A

doi：10.7535/hbkd.2021yx04001

收稿日期：2021-03-30;修回日期：2021-04-23;責任編輯：馮 民

基金項目：國家自然科學基金（51975217， 51605167）;廣東省自然科學基金（2020A1515010352）

第一作者簡介：黃曉婷（1988—），女，廣東廣州人，講師，碩士，主要從事汽車NVH分析與控制方面的研究。

通訊作者：呂 輝副教授。E-mail：melvhui@scut.edu.cn

黃曉婷，楊坤，毛海寬，等.一種考慮參數不確定性和相關性的懸置系統固有特性分析方法[J].河北科技大學學報，2021，42（4）：319-326.HUANG Xiaoting，YANG Kun，MAO Haikuan， et al.A method for inherent characteristics analysis of powertrain mounting systems by considering parametric uncertainty and correlation[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2021，42（4）：319-326.

A method for inherent characteristics analysis of powertrain mounting systems by considering parametric uncertainty and correlation

HUANG Xiaoting1，YANG Kun2，MAO Haikuan2，LYU Hui 2

（1.Guangzhou College，South China University of Technology，Guangzhou，Guangdong 510800，China;2.School of Mechanical and Automotive Engineering，South China University of Technology，Guangzhou，Guangdong 510641，China）

Abstract：In order to deal with the complex situation that parametric uncertainty and correlation coexist in the automotive powertrain mounting system （PMS），an uncertainty analysis method for calculating the natural frequency and decoupling rate of PMS was proposed.In the proposed method，the multi-dimensional parallelepiped model was firstly constructed to describe the PMS parameters with uncertainty and correlation.Then，the uncertain responses of the natural frequency and decoupling rate were calculated by integrating the regulation technique，Taylor series expansion and central difference method.Next，the analysis procedure of the proposed method was presented.Finally，the Monte Carlo method was used as a reference method for comparison and verification.The numerical analysis results show that the correlation of uncertain parameters of PMS has a certain influence on the inherent characteristics of the system.The method presents acceptable computational accuracy and higher computational efficiency in solving the uncertain response of PMS，which provides important reference for the calculation，evaluation and optimization design of the inherent characteristics of automotive PMS.

Keywords：

mechanical dynamics and vibration;powertrain mounting system;multidimensional parallelepiped model;inherent characteristics;uncertainty;correlation

工程實際中，受生產加工、測量誤差、磨損、疲勞老化和復雜工況等主客觀因素的影響，汽車結構系統，包括動力總成懸置系統（powertrain mounting system，PMS）[1-4]，往往存在眾多不確定性因素。系統振動特性的復雜性與存在于系統的不確定性因素密切相關。因此，在PMS固有特性的分析和優化設計過程中，很有必要考慮系統不確定性因素的影響。

基于不確定性分析技術的PMS研究不斷深入。基于隨機模型，SIRAFI等[5]討論了系統懸置剛度的不確定性對PMS固有特性的影響;WU等[6]基于扭矩軸解耦理論對PMS進行了6-sigma優化，其中懸置剛度和位置參數被視為隨機變量。基于區間模型，XIE等[7]使用Chebyshev區間分析方法計算了PMS固有特性的區間界限;CAI等[8]結合Chebyshev多項式與頂點法，對PMS固有特性進行了有效分析和優化。

然而，上述隨機和區間模型均將系統不確定性參數視為獨立變量，沒有考慮參數相關性的影響。對于汽車結構系統中不確定性參數之間存在相關性的情形[9]，這2種模型均無法進行有效處理。對于此類情形，可采用多維橢球凸模型和多維平行六面體模型進行處理。呂輝等[10]基于多橢球凸模型處理懸置剛度的不確定性和相關性，對PMS固有特性進行了有效分析。PMS中同一懸置的三向剛度參數之間往往具有相關性，而不同懸置之間的剛度參數卻相互獨立。因此，基于多橢球凸模型的不確定性分析需建立多個橢球模型，這會在一定程度上給數值建模分析帶來不便。

多維平行六面體模型（multidimensional parallelepiped model，MPM）可同時考慮參數不確定性和相關性共存的情形[11]。呂輝等[12]引入MPM處理系統懸置剛度，采用蒙特卡洛法提出了一種PMS不確定性分析方法。為獲得精確的響應結果，該方法需要進行大量蒙特卡洛法抽樣操作[13]，計算效率偏低。本文在前期工作基礎上，為在保證計算精度的同時有效提高計算效率，基于MPM提出了一種將正則化技術、泰勒級數展開和中心差分法相結合的PMS不確定性分析方法，并給出了算例分析結果。

1 PMS固有特性計算

圖1給出了某車型的PMS動力學6自由度模型[14-15]。

系統自由振動的動力學微分方程為

Mq¨+Kq=0，（1）

式中：M和K分別為PMS的質量矩陣和剛度矩陣;q為動力總成質心的6自由度位移向量。

求解式（1），可得PMS的固有頻率fj，以及對應的振型φj=[φ1j，φ2j，…，φ6j]T，j=1，2，…，6。

當PMS以第j階固有頻率振動時，第k個方向所占的能量百分比[16]為

EDk，j=φkj∑6l=1MklφljφTjMφj，（2）

式中φkj表示φj的第k個分量。

第j階模態的解耦率定義為

dj=maxED1，j，ED2，j，…，ED6，j，（3）

當解耦率為100%時，系統作第j階振動的能量全部集中在某個方向上，該階振動完全解耦。

2 MPM分析

對于實際工程中具有多組不確定性參數的情形，組與組之間的參數相互獨立，而組內參數存在相關性。此類情形可采用多維平行六面體模型[11]描述參數的不確定域。設系統存在n個有界不確定性參數X=X1，…，Xt，…，XnT，Xt的不確定范圍為Xt∈XCt-XWt，XCt+XWt t=1，2，…，n。其中，XCt和XWt分別為Xt的中心值和區間半徑。

對于任意2個不確定性參數，Xt和Xlt，l=1，2，…，n，

其不確定域可用平行四邊形域包絡，如圖2所示。

定義Xt和Xl的相關系數為

ρXtXl=b-ab+a。（4）

當a=b時，即ρXtXl=0，Xt和Xl相互獨立;當a=0或b=0時，即ρXtXl=1，Xt和Xl呈線性正相關。

由n個不確定性參數構成的多維平行六面體的數學表達式為

ρ-1T-1R-1X-XC≤e，（5）

式中：e=1，1，…，1T;R=diagXW1，XW2，…，XWn;T=diagw1，…，wt，…，wn，wt=1∑nl=1ρt，l;ρ為相關系數矩陣。

在獲得不確定性參數樣本數據后，可根據以上數學表達式建立MPM模型。在式（5）中，當相關系數矩陣ρ的所有元素取值為0時，對應的MPM可描述所有參數相互獨立的情形，如圖3 a）所示;當ρ部分元素為0時，相應的MPM可描述參數相關性和獨立性共存的情形，如圖3 b）所示;當ρ的元素均不為0時，對應的MPM可用于描述所有參數兩兩相關的情形，如圖3 c）所示。

3 PMS固有特性的不確定性分析

分別以fjX和EjX表示PMS的固有頻率和解耦率（j=1，2，…，6）。為便于分析，以下過程用YjX表示fjX或EjX。

蒙特卡洛法是一種應用廣泛的不確定性分析技術。文獻[12]給出了基于蒙特卡洛法和MPM求解YjX不確定邊界的主要步驟，這里不再贅述。為提高計算效率，本文提出MPM攝動分析方法。

首先，通過正則化技術將平行六面體模型轉換為標準區間模型，如圖4所示。

設ζ=ρ-1T-1R-1X-XC，Ω*=ζζ≤e，其中，ζ=ζ1，…，ζt…，ζnT，ζt∈0，1（t=1，2，…，n）。響應YjX被變換為Y*jζ，ζ∈Ω*。

通過正則化處理，相關性參數X的不確定域Ω被投射到以原點為中心且半邊長度為1的標準立方體中，形成變換參數ζ的空間域（Ω*）。在Ω*中，區間變量ζ相互獨立。因此，通過正則化變換后的MPM，可采用目前成熟的區間模型處理方法進行處理。

對Y*jζ在中心點處用一階泰勒展開，即

f*jζ=f*jζC+∑nt=1f*jζCζtζt-ζCt。（6）

由于ζC=0，0，…，0T為ζ空間的原點，因此Y*jζ可表示為

Y*jζ=Y*j0+∑nt=1Y*j0ζtζt 。（7）

偏導函數Y*j0ζt可通過以下關于參數X的式子求得：

Y*j0ζt=∑nd=1Y*jXXdXdζtζ=0。（8）

由于PMS中不確定性參數Xt與變換參數ζ均為一次多項式的關系，即Xdζt為常數。因此，Y*j0ζq還可表示為

Y*j0ζt=∑nd=1YjXCXdXdζt。（9）

利用中心差分法[17-18]，偏導數YjXCXd可表示為

YjXCXd=YjXC+δXd-YjXC-δXd2δXd，（10）

其中δXd是一個微小增量，δXd=0，…，δXd，…，0T。

將式（10）代入式（8），得

Y*j0ζt=∑nd=1YjXC+δXd-YjXC-δXd2δXdXdζt。（11）

考慮到ζt∈0，1，響應函數Y*jζ的邊界范圍可分別表示為

Y-*jζ=Y*j0+∑nq=1Y*j0ζt=Y*j0+∑nt=1

∑nd=1YjXC+δXd-YjXC-δXd2δXdXdζt，（12）

Y-*jζ=Y*j0-∑nq=1Y*j0ζt=Y*j0-∑nt=1

∑nd=1YjXC+δXd-YjXC-δXd2δXdXdζt。（13）

式中Y-*jζ和Y-*jζ分別為響應的上邊界和下邊界。

綜合以上分析，可得MPM攝動分析法的一般步驟如下。

1）對于系統中n個不確定性參數X，根據實驗數據分析得到各個參數的邊界和中心值。通過建立兩兩參數的平行四邊形域的方式，得到參數間的相關系數。

2）根據MPM的相關系數矩陣以及數學解析式，基于參數邊界、中心值以及相關系數，建立該樣本數據下的MPM。

3）通過正則化，將具有相關性的不確定變量X變換為獨立區間變量ζ，將響應函數Yj（X）從多維六面體空間變換到多維標準立方體空間，變換后的響應函數為Y*j（ζ）。

4）在中心值處對Y*j（ζ）一階泰勒展開，由式（12）和式（13）得到Y*j（ζ）的上下邊界，即為Yj（X）在原空間中的上下邊界。

4 算例分析

4.1 PMS模型

以某4點橫置PMS為例[12]，如圖5所示。表1給出了各懸置的初始靜剛度。

4.2 基于MPM的頻率及解耦率計算

選擇懸置點剛度作為研究對象，考慮同一懸置點三向剛度參數的相關性，且不同懸置的剛度參數相互獨立，對4個懸置的剛度可建立一個12維度的MPM。表1所示為各剛度的區間中點值，假設剛度參數的不確定度為±5%。為便于分析，令各懸置點的三向剛度的相關系數相同，分別研究懸置剛度參數的相關系數為0，0.2，0.4，0.6，0.8和0.9共6種不確定情形，當相關系數為0時，MPM退化為純區間模型，各參數相互獨立。

考慮2個主要方向（Bounce和Pitch方向）的固有特性配置[19-20]，以下分析計算只給出2個主要方向的響應結果。圖6、圖7分別給出了不同相關系數下懸置系統Bounce和Pitch方向固有頻率和解耦率的上下界數值。以下將純區間情形（相關系數為0）計算得到的結果與其他不同相關系數情形計算出的結果之差的絕對值，稱為偏差。

由圖6和圖7可知：

1）當相關系數為0，即各變量相互獨立（退化為純區間情形）時，系統頻率及解耦率的變化范圍最大。

2）對于固有頻率，考慮參數相關性后，其變化范圍縮窄，但相關系數的進一步增大對頻率范圍的影響不大。①在Bounce方向，參數相關性主要影響頻率的下界，與無相關性的結果比較，當參數存在相關性時，下界頻率的數值增大，出現了約0.9 Hz的偏差。②在Pitch方向，參數相關性主要影響頻率的上界，與無相關性的結果比較，存在約1.4 Hz的偏差。

3）對于解耦率，考慮參數相關性后，其變化范圍逐漸縮窄。①在Bounce方向，參數相關性同時影響解耦率的上下界，其偏差隨相關系數的增大而增加。與無相關性的結果比較，上界的偏差范圍為5%～13%，下界的偏差范圍為 9%～19%;②在Pitch方向，參數相關性主要影響解耦率的下界，與無相關性的結果比較，偏差范圍為13%～17%。

以蒙特卡洛法作為參考方法，分析MPM攝動法的計算精度，以蒙特卡洛法與MPM攝動法的計算結果之差的絕對值作為計算誤差，如表2和表3所示。

1）對于PMS固有頻率，MPM攝動法在不同相關系數下求得的固有頻率均約等于無相關性時的數值。不考慮相關性時兩方法誤差最小，2個方向上下界誤差均約為0.02 Hz。考慮相關性后，由于固有頻率隨相關系數增大的影響較小，因而2個方向上的計算誤差隨相關系數變化不大，上下界誤差均約為0.05 Hz。

2）對于PMS解耦率，Bounce和Pitch方向表現出較大差異。①對于Bounce方向，參數無相關性時計算誤差最大，上界誤差約3.2%，占參考值的3.8%，下界約1.5%，占參考值的2.8%;而誤差隨著相關系數增大算法誤差有所下降，當相關系數為0.9時，上下界誤差降至約0.6%。②對于Pitch方向，MPM攝動法的上界誤差隨相關系數的增加稍有減小的趨勢，由1.7%降至約1.2%;而下界誤差稍有增大，由0.6%增至約1.0%。

上述分析均在同一計算機上進行求解，對于某一相關系數情形下的求解，蒙特卡洛法的計算用時約為6 910.7 s，而MPM攝動法用時僅為2.4 s。因此MPM攝動法具有較高的計算效率。

5 結 語

本文針對蒙特卡洛法計算效率較低的問題，提出了一種基于正則化技術、泰勒級數展開和中心差分法的MPM攝動法，處理考慮參數不確定性和相關性的汽車動力總成懸置系統固有特性分析問題。分析結果表明，所提出的方法能有效處理懸置系統不確定性參數相關性和獨立性共存的情形;在不同的相關系數下，與蒙特卡洛法相比，MPM攝動法的計算誤差在可接受范圍內，且具有較高的計算精度，同時運算時間大幅縮減。

本研究不足之處在于當參數不確定性很大時，攝動法可能存在一定的局限性。但總體而言，本文方法可為汽車動力總成懸置系統固有特性的計算和評估提供重要參考，后續將對其運用于系統的優化設計開展進一步研究。

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