基于隨機微分方程的高速列車輪對預防性維護模型分析

皇甫蘭蘭，蘇宏升

(蘭州交通大學 自動化與電氣工程學院，蘭州 730070)

高速列車具有的運行速度高、運載能力強、準點率高、節能環保等優勢越來越受到人們的青睞.然而高速列車速度的提高和運載能力的加大，在方便人們出行的同時，也帶來了一定的安全性問題和維修費用的增加.列車輪對是高速列車運行安全的重要部件之一，是保證其安全性和可靠性的根源.而影響列車輪對正常服役的最主要的因素是輪對的磨耗，因此研究和分析列車輪對的可靠性及磨耗狀態維護具有重要的理論意義和工程應用價值.

國內外學者在對磨耗監測和預測方面開展了大量的研究工作.文獻[1]提出了一種輪軌接觸算法，使得輪軌法向接觸更加準確，計算效率更高.文獻[2]基于半赫茲接觸和完全理論程序計算了磨耗深度的分布.文獻[3]基于動力學開發了一套車輪磨耗的計算方法.文獻[4]利用動力學軟件與磨耗模型的交互計算實現了磨耗預測.文獻[5]利用數理統計理論，提出一種輪對磨耗數據處理方法以及周期預測模型.文獻[6]基于擬合函數提出了一種輪對磨耗預測函數模型.文獻[7]建立了一種考慮輪對柔性的車輪-軌道相耦合的系統動力學模型，分析了車輪扁疤對輪對磨耗的影響.上述文獻的研究多采用動力學模型來計算車輪磨耗的模型.

本文針對列車輪對磨耗的既有統計數據，提出一種基于隨機微分方程的狀態預防性維修模型.隨機微分方程可以克服傳統的常微方程存在確定性積分無法描述部件維修過程中的不確定性因素的缺點，它可以描述維修過程中存在的隨機干擾因素[8].狀態預防性維護屬于事前維修，通過對設備狀態的采集和監控，預測設備的狀態發展趨勢，在故障發生之前進行的一種維護活動[9-12].本文以高速列車輪對狀態為研究對象，將隨機微分方程應用到預防性維護活動中，建立輪對狀態轉移隨機微分方程模型，該模型是由輪對狀態和運行里程相結合的故障函數，以及外界干擾引起的輪對狀態波動兩部分組成，既考慮輪對的內部退化過程，又添加外界隨機因素對其狀態的干擾；并選取某高速列車輪對的磨耗狀態監測數據，建立狀態轉化模型，進而預測輪對的預防性時刻及車輪璇修周期，與鐵路檢修部門實際制定的車輪璇修周期進行對比，驗證本文所提方法是否有效.

1 隨機微分方程理論描述

隨機微分方程廣泛用于描述物理、經濟、金融等不確定動態行為，其一維隨機微分方程形式[13]如下：

(1)

其中：x(t)(t∈[t0,T])為完全概率空間(Ω，F，P)上的一維隨機狀態變量，表示系統在時刻t所處的狀態，Ω為所有子集構成的σ-域，F為Ω集合的一個事件域，P為事件域F發生的概率；b(x(t),t)為漂移系數，σ(x(t),t)為擴散系數，b(x(t),t)、σ(x(t),t)均是Borel可測的；B(t)是一維布朗過程，布朗(Brown)過程也稱維納(Wiener)過程，是實際應用中由隨機因素引起的隨機過程，一般可以近似地用布朗過程來描述，對于任意t≥0，該過程均服從正態分布.

引理1[13](強解存在唯一性)如果系數b(x(t),t)和σ(x(t),t)滿足局部Lipschitz條件以及線性增長條件，即對于所有|x|、|y|≤Rn且0≤t≤T，存在一個常數K，有

|b(x,t)-b(y,t)|+|σ(x,t)-σ(y,t)|

(2)

且，存在常數KT，有

|b(x,t)|+|σ(x,t)|

(3)

則，對于任意x(0)初值與布朗運動B無關，且滿足E|x(0)|2<∞時，隨機微分方程(1)存在唯一的強解且有連續的路徑.同時滿足條件

(4)

其中，C為僅與K和T有關的常數.

2 高速列車輪對狀態模型建立

高速列車輪對狀態的變化是由輪對本身的狀態退化和外界隨機干擾共同作用的結果，輪對本身的狀態退化可以用故障率來表示，而外界的干擾是隨機的.在建立高速列車輪對狀態模型之前，本文作如下假設：

1) 輪對的狀態檢測認為是完美的，不存在無法檢測的情況.

2) 外界隨機干擾認為是在一個均值點附近隨機波動，則干擾始終是獨立和穩定的，且其期望值為0.

3) 輪對的故障與其狀態、運行時間均相關.

基于以上假設條件，可建立基于隨機微分方程(stochastic differential equation,SDE)的高速列車輪對狀態模型：

dx(t)=b(x(t),t)dt+σ(x(t),t)dB(t).

(5)

根據可靠性理論中時間的定義，時間的概念通常是廣義的，高速列車的時間評價尺度一般選用的是運行里程.因此，式(5)中：t表示的是高速列車的運行里程，單位為萬km；x(t)表示高速列車輪對在時刻t的狀態，當x(0)=1時，表示車輪在初始時刻處于全新狀態，當x(t)=0時，表示車輪在時刻t處于完全損壞狀態；b(x(t),t)稱為漂移系數，是車輪的故障率；σ(x(t),t)為隨機擾動系數，是車輪狀態的波動率；B(t)是一維布朗過程.

當滿足引理1時，該狀態模型(5)具有唯一的強解.

2.1 故障率模型

高速列車輪對故障由時間和狀態兩個因素引起的，因此其故障率由基本故障率和狀態相關的故障率兩部分構成.

設備的基本故障率故障分布又稱為壽命分布，常見的故障分布有指數分布、正態分布、伽馬分布和威布爾分布，而威布爾分布在可靠性分析中應用的比較廣泛，特別適用于機械中的疲勞強度、腐蝕壽命及磨損累計故障的分布形式[14].因此本文選用威布爾分布作為高速列車輪對的基本故障率，其表達式如下：

(6)

式中：β為形狀參數；η為尺度參數或特征壽命；t為高速列車的運行里程.

令輪對狀態相關的故障率為g(x(t))，是一個在區間[0,1]上的有界可測實值連續函數，實際上它是RN維空間上的高速列車輪對狀態x(t)映射在R1維空間[0,1]內的點.當x(t)=0時，表示車輪在時刻t處于完全損壞狀態，則此時的故障率g(x(t))=1，因此可采用多項式進行逼近，其表達式可寫為

(7)

由式(6)～(7)可求得高速列車輪對的故障率模型為

(8)

2.2 波動率模型

高速列車輪對所受的隨機干擾是隨機的，因此與列車的運行里程無關，即與時間t無關，但這種隨機干擾對輪對的狀態會產生影響，影響的強度記為σ，即狀態波動的強度大小.則，波動率模型表達式可寫為

σ(x(t),t)=σx(t).

(9)

根據上述故障率和波動率模型，式(5)可寫為

(10)

3 高速列車輪對狀態模型參數估計

在高速列車輪對的狀態監測中，輪對磨耗量是高速列車輪對的狀態監測中的一個重要的特征量，與高速列車輪對的狀態密切相關，本文選取輪對的磨耗量作為狀態的觀察指標.利用磨耗量的現場統計數據來估計狀態模型的相關參數.

根據可靠性的基本知識，求得列車輪對狀態模型的可靠度函數為

(11)

本文利用構造似然函數來進行參數β、η及a的估計，在構造似然函數之前，需求得參數β、η及a模型的概率密度函數為

從而可求得列車輪對狀態模型的似然函數為

(12)

式中：n為采集輪對的磨耗量數據的個數；x(ti)為高速列車運行公里ti時的磨耗量.

對式(12)兩邊同時求對數，可得列車輪對狀態模型的對數似然函數為

(13)

對式(13)求得一階偏導方程組為：

(14)

顯然，令方程組(14)為0，沒有顯解，只能使用迭代法進行求解.本文采用牛頓-拉佛森(N-R算法)算法進行求解[15].令g為一階偏導向量，則

(15)

求得二階偏導方程組為：

(16)

令H為二階偏導向量，則H為

(17)

設當前的參數向量為

根據牛頓-拉佛森(N-R算法)算法，則下一個參數向量為

(18)

當k=0時，確定參數向量的初值，便可以通過迭代公式(18)求解最終的參數向量值.

4 算例分析

本文選取某高速列車輪對的磨耗狀態監測數據，見表1.根據現場實際數據統計，當高速列車運行里程達到20萬km時，車輪的磨耗量大約達到2 mm，這時車輪的疲勞累計損傷值接近于1，表示列車車輪可能會發生疲勞破壞，這時不能保證列車正常運行.

表1 高速列車輪對的磨耗狀態監測數據

根據3節模型參數估計方法，利用Matlab仿真軟件對表1的高速列車輪對的磨耗狀態監測數據進行仿真計算，可求得參數值為：β=4.44,η=323.49,a=0.1393.而波動率的大小選取σ=0.003.從而求得高速列車輪對狀態轉化模型為

0.003x(t)dB(t).

(19)

高速列車輪對可靠性函數為

(20)

在Matlab仿真軟件中對列車輪對狀態轉化模型(19)和可靠性函數(20)進行仿真，變化曲線如圖1所示.從圖1中的可靠性曲線可以看出，當可靠度取0.9時，高速列車能夠安全運行的里程約19萬km，另外，若可靠度值取0.8時，高速列車能夠安全運行的里程約為23萬km.為了更一步驗證該模型的準確性，本文選取另外一組與上述型號相同的車輪磨耗數據，通過公式(19)計算出狀態x(ti)實時值，并將該值帶入式(20)，從而求出可靠度達到閾值0.9時，高速列車的實際運行里程，進而確定車輪預防維護的最佳里程，即車輪的璇修周期.車輪可靠度及維護決策如表2所列，可以根據可靠性閾值0.9，最大限度的利用車輪的壽命，制定車輪的璇修周期21.0萬km，這與鐵路檢修部門實際制定的車輪璇修周期20萬km基本相符，說明模型的準確性.這樣不但保障了高速列車的安全運行，同時在一定程度上降低了列車的運行成本.

圖1 列車輪對狀態函數和可靠性函數曲線圖Fig.1 Train wheelset condition function and reliability function curve

表2 高速列車輪對可靠度及預防性決策

從圖1曲線中可以看出，高速列車輪對狀態的變化不是一條光滑的曲線，而是一條上下波動的曲線，反映了外界隨機擾動對輪對狀態影響，這個影響的大小和波動強度有關.為了更加清楚的說明狀態的變化和波動強度的關系，本文通過以下方法來求解波動強度σ.在預防性維護區間[0,T]內，令Δt為狀態監測步長，n為一個預防性維護周期內的監測個數，Δxn(t)為一個監測步長中的狀態變化量，根據式(10)，可得

(21)

式(21)進一步求解可得

(22)

當步長Δt→0時，式(22)可寫為

(23)

從式(23)可以看出，波動強度σ和狀態變化量Δxn(t)成正比，波動強度越大，狀態變化量越大.為了驗證式(23)，在Matlab仿真軟件中對波動強度的不同值進行仿真，不同波動強度下高速列車輪對狀態的變化如圖2所示.從圖2中可以看出，波動強度越大，外界隨機擾動對輪對狀態影響越大，狀態退化的速度越快，這與式(23)中反映的關系相一致.

圖2 不同波動強度下列車輪對狀態函數曲線變化圖Fig.2 Wheelset condition function curve under different fluctuation intensity

5 結論

1) 本文以某高速列車輪對的磨耗狀態為研究對象，建立了列車輪對狀態轉化模型及可靠性函數模型，通過算例仿真分析，確定輪對的最佳璇修周期，與現場實際的璇修周期基本相符，驗證了模型的有效性.與傳統的固定璇修周期相比較，該模型能夠反映輪對的實時磨耗狀態，避免了輪對的欠維護和過維護.

2) 本文構建的列車輪對狀態轉化模型在一定程度上可以保障列車的安全運行以及成本的降低，為高速列車及其他行業中設備的維護決策提供一定的參考價值.

3) 本文在估算狀態轉化模型的參數時，僅依據了輪對的磨耗深度，考慮的不夠全面，在后續研究中將探索影響輪對磨耗量的其他因素，使得建立的狀態轉化模型更加精確.