中國高速鐵路網絡拓撲特性分析

縣 勇，吳 亮，杜文舉

(蘭州交通大學 交通運輸學院，蘭州 730070)

截止2020年底，我國高速鐵路營業里程達到39 000 km，“四縱四橫”運輸通道已基本建成通車.根據2016年，國家發展改革委、交通運輸部、中國國家鐵路集團有限公司聯合發布的《中長期鐵路網規劃》，高速鐵路 “八縱八橫”的網絡也在快速穩步地建設當中.隨著高速鐵路營業里程地日益增加，這個龐大網絡的拓撲特征和重要節點等問題引起了眾多學者地關注.從數學家歐拉研究哥尼斯堡環游問題(又稱七橋問題)開始[1]，大多數學者發現復雜系統往往可以抽象成網絡，如果能夠認清網絡的特性，就可以認清復雜系統的本質.研究中國高速鐵路運輸網絡，分析其拓撲結構，認識其復雜特性，可以為高速鐵路系統的運營者在運輸組織，網絡規劃和維護方面提供理論依據.

國內外已有很多學者應用復雜網絡的相關理論來研究運輸網絡的性質，總結下來主要分為兩個方面.一方面是研究交通網絡的拓撲結構，例如Wang等[2]采用復雜網絡方法研究了中國航空運輸網絡中各個城市的網絡結構和節點中心性，計算比較網絡的度分布、平均路徑長度和聚類系數的數據，指出中國航空網絡具有小世界網絡特性.文獻[3-4]提出了兩種不同的網絡構建方式，分別為以鐵路站點作為節點，以軌道為邊，生成鐵路地理網和以站點為節點，任意兩個站點間只要有同一列車在這兩個站點?？?，就作為兩個站點間的邊，生成鐵路車流網.計算得出鐵路地理網為樹狀網絡，鐵路車流網為具有無標度性質的小世界網絡.譚江峽等[5]用鐵路車流網的構建思路，在網絡上近一步引入方向和邊權，分析了中國客運網絡的拓撲結構與地理環境的相關性.王偉等[6]在鐵路地理網、車流網的基礎上，又以列車經過的所有站點為節點，同一趟列車路徑上的站點之間存在的連線為邊，構建出換乘網絡，運用統計指標分析了它們的拓撲特性并給出了重要節點的標定方法，運用此方法標定了中國鐵路網的重要節點.張蘭霞等[7]同樣在鐵路地理網和車流網的基礎上，對車流網中在車站間經停的列車數目定義為邊的權重構建出鐵路服務網，指出鐵路服務網同樣具有無標度和小世界特性，同時為近一步研究高速鐵路網絡的穩定性提供了基礎；另一方面是進行交通網絡的動力學分析，例如對網絡的拓撲特性分析[8-11]，研究鐵路網的抗毀性評估方法，并近一步提供網絡修復方法，為鐵路在突發事件下的應急預案編制提供理論支撐.葉玉玲等[12]基于高速鐵路網絡的拓撲特性，研究了其網絡的傳播動力學特點，找到了其傳播規律以優化新線建設和運行圖地調整.

國內外學者的研究成果已經證明了分析網絡的拓撲特性可以反映站點間的關系、列車間的關系和網絡的服務水平.而隨著我國高速鐵路運營公里數逐漸增加，網絡結構愈加密集和復雜，對其拓撲特性分析的方法論也應同步鼎新.本文將構建中國高速鐵路的地理網絡和車流網絡，統計分析網絡的節點度分布、平均最短距離和聚集系數，再利用網絡的特征譜[13]分析高速鐵路網絡拓撲特性，為研究網絡動力學奠定基礎，同時也為列車運行圖調整提供理論參考.

1 高速鐵路網絡模型構建

1.1 假設條件

本文研究選取的數據包括高速動車組、動車組和城際高速列車停靠的站點，是在2016版《中長期鐵路網規劃》基礎上，結合2020年高速鐵路運行線路圖、截止2020年第二階段調圖后全路開通的1 140個高鐵車站和站點間列車開行情況為數據來源.先對節點選取做出如下假設.

1) 節點選取以站點所在城市為準，只考慮到市區，若同一城市有多個站點的情況，視為一個網絡節點出現.

2) 先不考慮跨線列車開行的影響，站點間的線路均為雙線線路，可以雙向行車，站點間的列車開行情況按照列車運行圖中的實際停站方案構建.

1.2 高速鐵路地理網絡

以站點作為節點，每個站點間實際連通的鐵路線作為邊，構建高速鐵路地理網絡.地理網絡是高速鐵路運營和滿足運輸需求的設施支撐和基礎條件.因為高速鐵路是雙線行車，成對開行，所以地理網絡為無向網絡.設無向圖GD=(VD,ED)來表示高速鐵路地理網，其中VD={vD,1,vD,2,…,vD,n}，是高速鐵路站點的集合；ED={eD,1,eD,2,…,eD,n}，是相鄰站點間的線路集合；為了方便計算，建立地理網絡模型的鄰接矩陣AD=(aD,ij)n×n，其中aD,ij表示節點VD,i和VD,j之間存在的邊數，當aD,ij=1,2,…,n時，表示相鄰車站i和j之間存在n條線路直接相連，當aD,ij=0時，表示車站i和j之間不直接相鄰.

1.3 高速鐵路運輸網絡

將列車通過的所有站點作為節點，同一車次的列車在經過的站點上依次停靠，則將?？康南噜徴军c連接作為邊，構建高速鐵路運輸網絡.由于列車成對開行并且上下行停靠站點相同，所以運輸網絡也為無向網絡.設無向圖GY=(VY,EY)來表示高速鐵路運輸網，其中VY={vY,1,vY,2,…,vY,n}，是所有列車經過高速鐵路站點集合；EY={eY,1,eY,2,…,eY,n}，是同一車次的列車?？寇囌鹃g的連線集合；同時也建立運輸網絡模型的鄰接矩陣AY=(aY,ij)n×n，其中aY,ij表示節點vY,i和vY,j之間存在邊，aY,ij取值0或者1，當aY,ij=1時，表示車站i和j之間至少存在1列高鐵列車?？?，當aY,ij=0時，表示沒有列車同時在車站i和j停靠.

2 高速鐵路網拓撲特性分析

2.1 度與度分布

網絡的一個基本特征是度與度分布，復雜網絡中某個節點的度是指網絡中與該節點相連接的邊的數目，節點平均度是所有節點的度的平均值，節點的度越大說明節點在網絡中的位置越關鍵.度分布則是對具有不同度的節點的相對頻率地描述，用P(k)來表示節點度的分布函數，表示網絡中度為k的節點個數占總節點個數的比值.

如圖1～2所示，根據計算，高速鐵路地理網絡中，平均度為3.3，計算結果中按降序排列取值前十的站點如表1所列.度數最小為1，是線路的起訖車站；度數為3的站點最多，這些站點連接了3條線路，說明隨著高速鐵路運營里程和營業站點得增加，旅客換乘選擇和換乘方便程度也有所提高.度數最大為10，站點在南京，南京是京滬高鐵、滬漢蓉高鐵、寧杭高鐵、寧安高鐵和寧合高鐵線路上的重要節點城市，其中南京南站是國家鐵路樞紐站，也是華東地區最大的交通樞紐和亞洲第一大高鐵站，具有重要的經濟和交通地位.其余站點，北京度數為8，上海、武漢、廣州等重要樞紐站點，度數為7.度數值較大說明站點在基礎網絡中具有重要的地位，同時在突發事件時也更容易造成網絡不連通.同時，如圖3所示，地理網絡累計度分布形式，說明高速鐵路地理網絡具有無標度網絡的特點.

圖1 地理網絡中各節點度的大小分布圖Fig.1 Distribution of degree of each node in geographic network

圖2 地理網絡節點度的頻率分布圖Fig.2 Frequency distribution of node degree in geographic network

表1 地理網絡中節點度值取值前十的站點

圖3 地理網絡節點度的累計度分布Fig.3 Cumulative degree distribution of node degree in geographic network

如圖4～5所示，在高速鐵路運輸網絡中，平均度為51.8，計算結果中按降序排列取值最大的18個站點，如表2所列.說明平均每個站點城市乘高鐵不需換乘的情況下，可到達全國51個城市，可見中國高鐵已經很高的可達性和服務水平，相對度數較大的站點主要還是集中在北京、上海、南京、沈陽、合肥、廣州等經濟中心和重要交通樞紐，這些站點接發列車量大，所在線路繁忙，是調整開行方案和運行圖的重點關注對象.

2.2 聚集系數

圖4 運輸網絡中各節點度的大小分布圖Fig.4 Distribution of degree of each node in transportation network

圖5 運輸網絡節點度的頻率分布圖Fig.5 Frequency distribution of node degree in transportation network

比較高速鐵路兩種網絡的聚集系數取值情況，如圖6～7所示.其中地理網絡站點聚集系數大多為0，平均聚集系數為0.18，說明兩兩相鄰的車站較多，特別是南方網絡相對密集的地區，樞紐站點負荷較大，站點或區段發生中斷后對行車影響大.而運輸網絡站點平均聚集系數達到了0.88，表現出明顯的高聚集性，具有小世界網絡的特征，也說明高鐵列車開行數量大，車次相互間晚點傳播具有較大得影響.

表2 運輸網絡中節點度值取值最大的站點

圖6 地理網絡中節點聚集系數取值Fig.6 Node aggregation coefficient value in geographic network

2.3 平均路徑長度

兩個站點間的路徑長度是它們之間最短路徑的長度或者邊數，如果兩個節點間沒有路徑，那么它們之間的距離就是無窮大.而平均最短路徑長度就是網絡中任意2個站點之間最短路徑長度的平均值.設在有N個站點的無向網絡中，站點i和j的最短路徑長度為dij，L是整個網絡平均最短路徑長度，則有計算公式：

(1)

在物理網絡中，平均路徑長度值為66.5，表示任選兩個站點，平均要經過67個站到達，說明高速鐵路網絡覆蓋的站點越來越多，連通性較好.在運輸網絡中，平均路徑長度值為1.59，說明平均情況下，旅客需要乘坐1至2列車，即換乘1次可到達目的站點，說明運輸網絡具有很好的便捷性.

圖7 運輸網絡中節點聚集系數取值Fig.7 Value of node aggregation coefficient in transportation network

3 高速鐵路網絡特征譜

除了度、聚集系數和平均路徑長度等統計量，復雜網絡的特征值譜也包含了網絡拓撲結構的豐富信息.網絡的鄰接矩陣已經全面描述了網絡中節點的性質和節點間的關系，進而再用網絡鄰接矩陣的特征值譜用來全面地分析網絡的拓撲結構和動力學特性，這有著廣泛的應用和重要的意義[13-14].

網絡的特征值譜就是其鄰接矩陣的特征值的集合，若有N個節點的無向網絡G，由于其鄰接矩陣A是實對稱矩陣，則其有N個實特征值(相等的特征值按重數計)λj,j=1,2,…,N.不同網絡的特征值譜具有不同的特點，也可以根據特征譜初步判斷網絡的類型[15]，根據前面構建的高速鐵路地理網絡和運輸網絡，分別計算它們的鄰接矩陣的特征值取值情況如圖8～9所示.

可以看出，高速鐵路地理網絡的鄰接矩陣的特征值分布跨度大，大多數較小的特征值比較集中，這符合無標度網絡特征值分布的特點.而運輸網絡鄰接矩陣的特征值分布跨度較小，且分布較均勻，這符合小世界網絡特征值分布的特點.這與前面通過度分布和聚集系數分析地理網絡和運輸網絡的拓撲特性得到的結論一致.

圖8 地理網絡鄰接矩陣特征值Fig.8 Eigenvalues of adjacency matrix of geographic network

圖9 運輸網絡鄰接矩陣特征值Fig.9 Eigenvalues of adjacency matrix of transportation network

4 結論

1) 論文根據我國高速鐵路2020年線路和車站開通情況及動車組開行情況，分別構建出高速鐵路地理網絡和高速鐵路運輸網絡.并運用復雜網絡理論進行了定量計算，根據分析度與度分布、聚集系數和平均路徑長度三個指標，得出地理網絡符合無標度網絡特性，網絡中存在度值很高的站點，這些站點所在城市正是國家重要的經濟中心和交通樞紐，說明中國高速鐵路網絡核心骨架已經搭建完成.而運輸網絡符合小世界網絡的特點，說明中國高速鐵路已經具有較好的便捷性.在接下來的研究中要根據新站點的開通情況及時更新鄰接矩陣，為高速鐵路運輸組織的優化和客運產品的設計提供理論建議.

2) 對高速鐵路地理網絡和運輸網絡的鄰接矩陣的特征值進行了定量分析，近一步說明了地理網絡的無標度性和運輸網絡的小世界性，豐富了研究高速鐵路網絡拓撲結構的方法體系.這也是下一步研究高速鐵路網絡動力學特點和抗毀性以及修復性的基礎.