聲波導中空間類自彎曲波束構建研究

郭威， 楊德森1,2,

(1.哈爾濱工程大學 水聲技術重點實驗室， 黑龍江 哈爾濱 150001； 2.海洋信息獲取與安全工業和信息化部重點實驗室 (哈爾濱工程大學)， 黑龍江 哈爾濱 150001； 3.哈爾濱工程大學 水聲工程學院， 黑龍江 哈爾濱 150001)

近幾十年來，自彎曲波束在波動物理學領域受到了學者們的廣泛關注。Berry等[1]推得艾里波束為無勢場自由粒子滿足薛定諤方程的解析解，并且發現艾里波束在傳播時具有自發彎曲或橫截方向自加速的特性，其主峰彎曲軌跡為拋物線。由于無勢場自由粒子滿足的薛定諤方程與近軸近似下的亥姆霍茲方程(拋物方程)具有相同的形式，艾里波束在經典物理學中同樣存在。但是由于艾里波束為能量無窮波束，不具備物理可實現性，故難以構建并觀測。Siviloglou等[2-3]推導了有限能量艾里光束表達式并通過實驗觀察到了空間自彎曲傳播現象。有限能量艾里波束仍受到近軸條件的約束，限制了其進一步發展。為了克服近軸條件的限制，學者們從無近似的亥姆霍茲方程入手，利用亥姆霍茲方程在不同坐標系下的表現形式，理論推導并獲得了Bessel波束[4-5]、Weber波束[6-7]和Mathieu波束[8]。這些波束均為亥姆霍茲方程的解析解，并且在傳播時具有空間自彎曲特性，對應主峰軌跡分別為圓、拋物線和橢圓。Greenfield等[9]進一步理論研究了空間任意凸軌跡自彎曲波束。此外，自彎曲波束還被發現具有另一個至關重要的特性——自愈性[10]，即便主峰被吸收或截斷，上述自彎曲波束仍會在幾個波長后重構主峰。自彎曲特性及自愈性使得自彎曲波束在目標繞射、激光微操、彎曲等離子體細絲、強抗干擾光學顯微鏡以及光(聲)鑷子等領域具有重大應用潛力[11]。現有空間自彎曲波束依賴于解析手段，推得的波束軌跡受到頻率和尺度縮放因子等參數的嚴格約束，限制了自彎曲波束的應用范圍。而在優化聲傳播問題相關研究中，當含有損散射體波導內發生全透射時，聲波會繞過散射體，形成一定的空間波束[12]。

本文以此提出一種間接構建聲波導內自彎曲波束的方法。通過在波導中虛構散射體，人為設計幾何參數，并求解全透射聲場，獲得近似以散射體邊界為軌跡的類自彎曲波束，包括類Bessel波束、類Weber波束以及類Mathieu波束。所得的類自彎曲波束具有自彎曲特性和自愈性，而且具有能量有限特性，具備物理可實現性。此外，基于同樣方法，本文構建了聲道軸高匯聚波束以及淺海自彎曲波束。

1 含散射體波導最大聲透射問題

本文從含散射體波導最大聲透射問題入手闡述空間類自彎曲波束的構建方法。考慮含散射體波導(圖1)中的聲傳播問題。波導高度為h，上、下均為剛硬邊界。散射區域為(x,y)∈([0,L]×[0,h])，內部包含多個可穿透液態散射體，以“O”表示。規定x<0和x>L區域內介質參數水平均勻。波導主介質與散射體介質密度和聲速分別記為ρ0、c0和ρ1、c1，其中c1可為復數，代表散射體內存在損耗。任意簡諧入射波pi從x=0處輸入，經過散射區域產生透射波和反射波，省略時間因子exp(-iωt)，總聲場滿足Helmholtz方程和邊界條件：

圖1 含液態散射體波導Fig.1 Configuration of a waveguide with liquid-like scatterers

(1)

(2)

式中：p為聲壓；ω為角頻率；c為聲速；ρ為密度；j=0,1分別對應波導主介質和散射體內部；?Ω為所有散射體邊界的集合；n代表法線方向；Δ為拉普拉斯算符。

該波導中聲傳播問題可通過耦合簡正波理論求解[13-16]，基本思想是將聲壓表示為局部基函數加權求和。對于圖中的波導，局部基函數為剛硬波導內本征函數：

(3)

聲壓可表示為：

(4)

式中：pn為聲壓在基函數上的展開系數；N為截斷數。本文考慮的最大聲透射問題在于分析并計算能流透射率的上界及對應所需的入射波條件。能流定義為：

(5)

根據能流的定義式及本征函數的正交性，可獲得透射波和入射波的能流分別為：

(6)

式中：K(0)和K(L)分別為x=0,L處各階模態對應水平波數構成的對角陣；pi(0)和pt(L)分別為入射波和透射波的模態展開系數組成的向量。入射波和透射波的模態展開系數可由透射矩陣T連接：

pt(L)=Tpi(0)

(7)

文獻[13-14]通過引入導納矩陣和傳播算子構建透射矩陣并求解含散射體波導內的聲傳播問題。波導內的能流最大透射率為[12]：

(8)

圖2為基于耦合簡正波理論[13]和優化透射理論[12]計算得到的圖波導可實現的最大透射聲場結果。參數選取如下：波導高度設為h=1，無量綱頻率為：

k=ωh/c0=90.1π

(9)

10個圓形散射體隨機分布在散射區域([0,L=4.5h]×[0,h])內，散射體半徑為r為h/16，彼此不重疊，散射區域最大距離L為4.5h。波導介質和散射體密度的關系為ρ0/ρ1為0.3，聲速關系為：

c0/c1=1+0.1i

(10)

式中c0為實數。

2 類自彎曲波束

基于實現全透射的入射波可以繞過含吸收散射體傳播的特性，本節在聲波導中人為引入不同形狀的散射體，求解其中的最大聲透射聲場，從而構建出空間類自彎曲波束。

選取波導高度h=1，無量綱波數k=90.1π，對應可傳播模態數為91，截斷數選為N=130。散射體一邊緊貼上邊界，另一邊設定為彎曲軌跡，設為y=a(x)。考慮到發生全透射時散射體對聲波無作用，在參數選取方面可直接令密度ρ0=ρ1。有損散射體要求Im(c0/c1)>0，此處設為：

c0/c1=1+0.1i

(11)

式中c0為實數。

考慮構建波導中的類Bessel波束、類Weber波束和類Mathieu波束，散射體邊界a(x)分別設為：

(12)

對應軌跡為圓、拋物線和橢圓。散射區域最大距離分別為：

(13)

在包含設定散射體的波導中，利用耦合簡正波理論[13]和優化透射理論[12]分別計算最佳入射波和全透射聲場，結果分別如圖3所示。選取的入射波在傳播時緊貼散射體邊界，并發生空間自彎曲現象。將這些類自彎曲波束對應的入射波直接輸入進均勻波導中，結果如圖4所示。可以看出，選取的入射波在均勻波導中傳播時依然保留了自彎曲特性，且由于波導高度有限，聲波自動滿足能量有限要求，具有物理可實現性。然而，從圖3中可以看到構建出的類自彎曲波束軌跡與設定的散射體邊界并非完美契合，產生該現象的原因主要是頻率限制了聲波彎曲傳播時的最大曲率。當頻率升高時，自彎曲波束能夠與設定的軌跡更加匹配。若改變散射體的邊界參數，重復上述步驟，可構建出多種參數下的自彎曲波束。因而本文所提出的構建類自彎曲波束的方法，在一定程度上打破了原有精確的自彎曲波束軌跡受到的頻率和尺度縮放比例因子等參數的嚴格限制。使用本節中的方法，可通過改變散射體邊界參數對應構建不同的自彎曲波束，甚至進一步地可構建任意(凸)軌跡自彎曲波束。

圖4 類自彎曲波束在均勻波導中的重構Fig.4 Recovered quasi-self-bending beams in the homogeneous waveguide

空間自彎曲波束的另一個重要特性為自愈性。為了驗證本方法構建的類自彎曲波束是否具有自愈性，在均勻波導中放置一個全吸收的散射體，選擇合適的位置使得該散射體能夠全吸收波束主峰，接著將圖4中獲得的類自彎曲波束輸入至含全吸收散射體的波導中，結果如圖5所示。盡管自彎曲波束的主峰被散射體吸收，但是波束在傳播一定距離后，自動重構了主峰并繼續保持自彎曲傳播特性。因此本文所構建的類自彎曲波束在具備空間自發彎曲特性的基礎上，保留了自愈性，在目標繞射、保密聲通信或穩健聲通信方面具備一定的應用潛力。

圖5 類自彎曲波束的自愈性驗證Fig.5 Verification of the self-healing property of quasi-self-bending beams

3 聲道軸高匯聚波束及淺海自彎曲波束

淺海波導是一類典型的聲波導，含聲速剖面是淺海波導的一大特點。在多種聲速變化情況中，含聲道軸聲速分布為較特殊的情況，原因在于聲道軸是實現聲波遠距離傳播的天然“通道”。聲道軸出現在先減小后增大的聲速剖面中，為聲速“拐點”對應的深度。本節尋找淺海波導中聲道軸附近可能存在的特殊波束。需要注意的是，對于淺海波導，海面為水-空氣絕對軟邊界，所以選取的基函數應變為：

(14)

含聲速剖面非均勻波導中的聲傳播問題可參考文獻[15]。

考慮波導深度h=400 m，頻率選取為f為500 Hz，聲速表達式設為：

(15)

在此參數條件下，波導內對應存在285階可傳播模態。散射體位于聲道軸下方，一邊緊貼下邊界，另一邊界設為：

(16)

波導介質與散射體介質的密度比設為ρ1/ρ2=1，聲速比為c0/c1=1+0.1i，其中c0為實數。散射區域最大距離xmax=9h，截斷數N=400。對最大聲透射的分析和計算過程仍與前述一致，能流最大透射率的計算參照式(8)。對所有的全透射入射波及其對應聲場進行觀察，可以發現2組特殊的全透射解。

第1組如圖6(a)所示(內插圖為聲速分布)，聲波在繞過散射體的同時形成了聲道軸高匯聚波束。從入射波形分析，該波束類似于高斯波束，其發散特性被聲速剖面抑制。根據射線理論，聲波會向聲速小的區域傳播，而聲道軸附近的類高斯波束又會向聲速大區域的發散，二者相互抵消，最終形成了聲道軸附近高匯聚波束。該波束是從無近似的亥姆霍茲方程推導計算得到，在傳播時，聲波的所有能量均被限制在聲道軸附近，且可以傳播至無窮遠。更重要的是，該波束在傳播時與上、下邊界以及散射體均無任何接觸，因而即便去掉邊界和散射體，該波束依然為亥姆霍茲方程的解，相當于該聲道軸高匯聚波束可在無散射體波導中存在。而且只要聲速剖面不變，在Pekeris波導、變截面波導等結構中，該波束仍應存在，故可應用于超遠距離通信。值得強調的是，該波束是通過二維亥姆霍茲方程推得，在考慮三維情況時，可能受波陣面擴張影響，隨著傳播距離的增加會逐漸衰減，但并不改變其適用于超遠距離通信的特性。

第2組全透射解為淺海波導自彎曲波束，如圖6(b)所示。該波束亦為類自彎曲波束，波束傳播時緊貼散射體邊界并繞過散射體，實現能流的全透射。由于散射體左右對稱，對應產生的波束也具有了一定的空間對稱性。當去掉散射體，并將對應的入射波輸入至波導中，該波束將依然保留了原有的空間自彎曲特性。圖6(b)中波束的自彎曲傳播特性受到聲波本身的彎曲特性及聲速剖面共同影響。此外，若改變散射體的邊界形狀，會對應得到不同(凸)軌跡的自彎曲波束。圖6(a)中的聲道軸高匯聚波束與散射體的幾何形狀無關，但圖6(b)中的自彎曲波束與散射體的邊界形狀密切相關。至此，利用本文中的方法，可以構建均勻波導或淺海波導中的自彎曲波束，也為更多復雜波導中的自彎曲波束構建提供可行性。

圖6 聲道軸高匯聚波束及淺海自彎曲波束對應入射波及聲場Fig.6 Incident wave and wave field corresponding to the sound-channel-axis highly-focusing beam and the self-bending beam in shallow water

4 結論

1) 本文通過分析波導中能流最大透射問題，發現了含吸收散射體波導中聲波發生全透射時會繞過有損散射體傳播。利用這一現象，通過合理設計散射體邊界參數和物理參數，將邊界視為波束軌跡，并利用耦合簡正波理論計算全透射聲場，構建了波導中的類Bessel、類Weber和類Mathieu波束。這些類自彎曲波束在一定程度上打破了自彎曲波束原有嚴格軌跡的限制，并保留了自彎曲特性和自愈性，能夠用于目標繞射和聲保密通訊等。

2) 同樣構建了聲道軸高聚焦波束。該波束能夠使能量高度匯聚在聲道軸附近，并且在傳播時與邊界無作用，適用于超遠距離聲通信。通過合理設定散射體幾何形狀并分析其中的全透射聲場，可發掘更多特殊的空間波束。

3) 文中所述方法和所獲波束對更全方位地理解非均勻波導內聲傳播和聲散射問題、為實現非均勻介質內大尺度目標繞射及穩健聲通信提供可行性。