翼柱型與環向開槽型燃燒室聲學特性對比

王大鵬， 趙靜， 陳林君， 楊奔， 馬瀟健 (.中國運載火箭技術研究院研究發展部， 北京 00076；.哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，黑龍江 哈爾濱 5000)

火箭發動機中的不穩定燃燒現象自得到觀測起便引起了學者們的廣泛關注，周期性的壓力振蕩是不穩定燃燒現象的重要表現。即使在發動機正常工作時，燃燒室內仍會存在壓力振蕩，而大振幅壓力振蕩很有可能引起嚴重的結構損壞和災難性的發動機故障[1]。因此不穩定燃燒一直以來都是火箭發動機領域最具挑戰性的問題之一[2]。不穩定燃燒按照其壓力振蕩頻率與燃燒室聲頻的關系可以分為聲不穩定和非聲不穩定。我國在對大長徑比翼柱裝藥固體火箭發動機的研制中出現了聲不穩定現象[3]。美國末段高空防御系統(terminal high altitude area defense，THAAD)反導固體發動機采用了一種特殊的環向開槽型裝藥[4]結構，并且未見有關其不穩定燃燒的報道。對以上2種典型裝藥結構展開對比研究，或可從裝藥結構角度為我國戰術火箭發動機不穩定燃燒問題找到解決途徑。

發動機燃燒室常作為聲腔進行分析，通過有限元技術可以獲得燃燒室的聲模態[5]，也有學者通過揚聲器激勵測量燃燒室內的聲學響應特性[5-6]。在美國海軍與空軍共同開發的聲不穩定性預估軟件SSP[7-9]中，也包含發動機的聲學特性分析。我國學者也在燃燒不穩定性的聲學問題上取得了一定成果：樊曉波[10]研究了聲抑制裝置對燃燒不穩定的抑制機理；楊向明等[11]對翼柱型固體發動機燃燒室聲場進行分析，得出了噴管潛入段空腔的阻尼作用；張嶠等[12]對H型聲腔的固有頻率進行了計算，得到了該類型聲腔縱向聲頻的變化規律，并且在對發動機頭部空腔的研究中，使用了有限元手段與CFD仿真結果進行了相互驗證[13]；蘇萬興[14]在對大長徑比固體火箭發動機的渦-聲耦合研究中，將燃燒室聲頻與渦脫落頻率進行了對比，表明某翼柱型發動機燃燒末段的燃燒不穩定不是由渦-聲耦合所導致的。

對通過聲模態分析可迅速獲得確定聲壓波形和頻率[1-2]，但所得聲振幅是相對值，不能得到發動機燃燒室在激勵下的聲學響應特性。推進劑的壓力耦合響應、速度耦合響應[15]以及發動機結構振動[16-17]會使燃速發生變化，漩渦脫落[18]與內流道微小彈性形變[19]也會導致燃燒室壓力的變化，最終影響燃燒室聲腔響應。Wang等[20]通過聲學有限元方法對燃燒室的響應聲場進行了研究，獲得了聲壓在時間-空間的分布規律。

為解決在大長徑比翼柱裝藥發動機研制過程中出現的不穩定燃燒問題，對燃燒室在特定激勵下的聲學響應展開研究是迫切需要的。本文從聲學角度出發，對比分析了典型翼柱型和環向開槽型裝藥發動機在燃面退移過程中燃燒室聲頻和聲學響應特性變化規律，并給出了裝藥結構設計的一些建議。

1 聲學有限元方法

理論方法計算聲場的固有頻率和聲振型一般只應用于簡單的聲腔形狀，發動機燃燒室聲腔形狀多為較復雜的結構，解析法求解三維波動方程極為復雜，不同結構需采用不同的修正系數，準確性也不能保證，而低維的求解不能表征其物理特性[21]。本文采用有限元方法，對不同內流道形狀聲腔進行模擬。該方法的優點是可以求解復雜幾何形狀聲腔的固有頻率和聲振型，且可以模擬燃燒室中不同位置在頻域的響應特性。

1.1 控制方程

根據質量守恒可以得到流體的連續性方程：

(1)

式中：v是速度向量；ρ是密度；Q是質量源項。

根據動量守恒，納維-斯托克斯方程為：

(2)

式中：b是體積力；S是粘性應力張量；p是壓力。

使用下列假設可以將方程化簡并得到聲波方程：1)流體是可壓縮的(密度是壓力的函數)；2)流體是無旋的；3)無體積力；4)流體的壓力擾動很小；5)在流體中沒有平均流動；6)流體為理想氣體，絕熱并且可逆。

線性化的連續性方程為：

(3)

線性化的納維-斯托克斯方程為：

(4)

式中：va是聲學速度；pa是聲壓；ρ0是流體的平均密度。

聲波在流體中的有損傳播方程可以表示為：

(5)

使用伽遼金法對式(5)進行處理，與測試函數w相乘并且在體積上積分可以獲得[22]：

(6)

式中：dV是聲學域ΩF的微分體積；dS是聲學域邊界ΓF的微分面積；n是聲學域邊界ΓF的單位外法向量。

從動量守恒方程可以得到聲學域邊界的法向速度：

(7)

將流體的法向加速度使用位移表示，可得：

(8)

將式(7)、(8)代入到式(6)中可以得到式(5)的弱形式：

(9)

式中：流體壓力p和位移uF作為待求解量。

使用有限元近似得到壓力和位移的形函數為：

p=NTpe

(10)

u=N′Tue

(11)

式中：N是壓力的單元形函數；N′是位移的單元形函數；pe是節點壓力向量；ue是節點位移向量。

根據式(10)、(11)待求解量對時間的二階導數以及壓力的變化為：

(12)

(13)

δp=NTδpe

(14)

將式(10)、(11)代入到式(9)中可以得到有限元形式的聲波方程：

(15)

式中：n是流體邊界的外法向量；q是節點質量源向量。

(16)

式中：MF是聲質量矩陣；CF是聲流體阻尼矩陣；KF是聲流體剛度矩陣；RT是聲流體邊界矩陣；fF是聲流體載荷向量。

1.2 幾何模型及網格劃分

文中的研究對象是2種典型裝藥的固體火箭發動機內流場。根據燃面的平行退移假設分別建立了2種內流道結構從初始時刻到結束工作時刻共計22個幾何模型。為方便后文討論，將發動機的工作時刻做歸一化處理：

Tn=ta/td

(17)

式中：Tn為歸一化工作時刻；ta為目前工作時刻；td為設計工作時長。

Tn=0時的內流道幾何模型如圖1所示，喉部直徑L0=78 mm。由于發動機工作時喉部為聲速，喉部下游的聲學振蕩不會傳遞回燃燒室，采用文獻[20]對模型的處理方法移除了噴管擴張段。并且由于發動機頭部位置和后封蓋位置在多種軸向振型下始終為聲壓波腹[20]，位置對聲不穩定下的壓力振蕩更為敏感，定義位于發動機頭部附近(0.013, 0.04, 0 m)為監測點P1；P2位于發動機后封蓋附近(3.238, 0.125, 0 m)為監測點P2。

圖1 Tn=0時內流道幾何模型Fig.1 Geometric model of internal flow-field when Tn=0

1.3 燃氣參數及邊界條件

表1 典型燃氣物性參數Table 1 Gas property parameters

1.4 聲學有限元方法驗證

為驗證本文方法，對馮卡門流體力學研究所(Von Karman institute for fluid dynamics，VKI)采用的P230發動機縮比模型[23-24]進行了有限元仿真，并與結果進行了對比。為與文獻保持一致，驗證中使用溫度為285 K的空氣作為聲流體。模型喉部截面定義為聲輻射阻抗邊界，其余外表面定義為剛性壁面，所有表面無位移[20]。如圖2所示，模型燃燒室2 000 Hz以下共有4階聲模態，并且都為軸向聲模態。模型燃燒室頭部位置與潛入式噴管空前尾端始終是軸向聲模態聲壓的波腹。驗證工況結果與文獻[20]中的聲壓振型進行了理論計算聲壓分布規律一致。如表2所示，驗證工況的聲頻計算結果與對比組[23-24]結果的一致性良好。前4階聲頻的數值驗證結果與實驗值依次相差1.9%、3.9%、1.0%和2.5%，現有模型計算結果是合理并且有效的。因此，文中使用的聲學有限元方法能夠對燃燒室聲場進行合理且有效地預測。

圖2 模態相位角φ=0°時，模型燃燒室的前4階聲模態振型Fig.2 First four acoustic mode shapes of the computational model, when modal phase angle φ=0°

表2 模型燃燒室前4階聲模態頻率與文獻對比

2 聲學特性仿真結果與討論

2.1 聲模態頻率隨燃面退移的變化

對2種結構發動機不同時刻下的燃燒室做聲模態分析，如圖3所示。工作時間內翼柱型發動機與環向開槽型發動機前5階聲模態均為軸向模態。對于一定幅值不同頻率的擾動對燃燒室的激勵，當擾動頻率接近燃燒室聲頻時燃燒室內壓力振幅顯著增大[20]。因此，在工程設計角度上，燃燒室聲頻變化范圍不應太大。小的聲頻變化范圍更有助于通過結構設計避免聲頻與結構頻率接近所引起的共振現象。因此，本節重點討論2種結構發動機隨工作時間的聲頻變化。

圖3中顯示了翼柱型發動機和環向開槽型發動機隨工作時間的第1階聲模態振型。翼柱型發動機隨工作時間翼結構不斷變寬加深，并形成一個整體突擴腔，并且腔的容積逐漸增大。環向開槽型發動機槽的深度逐漸變淺，寬度逐漸變大。處在尾部的槽結構在工作中期已經變得不明顯，并逐漸消失。燃燒室內尾端的擴張結構會使得發動機的聲學穩定性變差[25]。而環槽裝藥發動機中，環槽特征結構在工作中期的逐漸退化可能有聲學穩定性的考量。

圖3 相位角φ=0°時，翼柱裝藥發動機聲模態基振型隨工作時間變化Fig.3 First order acoustic mode shape of finocyl motor over time when phase angle φ=0°

對2種結構發動機不同時刻下的燃燒室做聲模態分析可以得到其隨時間變化的前5階聲頻，如圖4。本文中計算得到的2種發動機各時刻前5階聲模態均為軸向模態，文中所討論的所有聲頻均為軸向聲模態頻率。

如圖4，隨著工作過程燃面退移，翼柱型發動機的前2階聲頻先降低再升高，聲頻最低值出現在Tn=0.3時刻。翼柱型發動機的第3～5階聲頻均存在著隨工作時間先升高再降低的規律，聲頻最高值出現在Tn=0.3附近。環向開槽型發動機的前5階聲頻均具有隨工作時間先降低再升高的變化規律，聲基頻最低值均出現在Tn=0.3，第2～5階聲頻最低值出現在Tn=0.4時刻附近。2種裝藥發動機由于特征結構不同，導致其高階聲頻的變化規律也不一致。2種裝藥發動機的前2階聲頻最低值均出現在工作時間的中前段。圖4中，翼柱型發動機的聲頻高于環向開槽型發動機。2種發動機聲頻在相同階數下均有差別，前5階聲頻依次相差7.9、18.3、36.1、76.4、79.3 Hz。該結果表明，在相同長度不同特征結構的燃燒室中，特征結構對聲頻有影響。此外，聲頻相差的最大值都出現在工作時間的中前段。這是由于在燃燒室燃面退移的過程中，如翼、環槽的特征結構先逐步加深、擴大，而后隨著裝藥燃盡逐漸消失。翼型結構在發動機工作中前期已不明顯，而槽型結構依舊顯著。較大的特征結構差別導致了較大的聲頻差別。如圖4所示，翼柱型發動機聲基頻在179.2～186.8 Hz變化；第4階聲頻在759.3～789.1 Hz變化，隨工作時間改變最顯著。環向開槽型發動機聲基頻在171.5～183.3 Hz變化；第4階聲頻在712.4～754.4 Hz變化，隨工作時間變化范圍最大。

圖4 聲頻隨歸一化工作時刻的變化Fig.4 Acoustic frequency variation with normalized operating time

綜上，特征結構不同將導致主尺寸相同的燃燒室聲頻變化規律具有明顯差異。相比于環向開槽型發動機翼柱型發動機隨工作時間聲頻變換范圍更小。雖然較小的聲頻變化范圍更有利于通過結構設計避免結構與聲腔的共振，但是對于學者們廣泛重視的聲基頻變化范圍兩型發動機差別不明顯。

2.2 聲學響應特性隨燃面退移分析

最大響應幅值實際上出現在聲模態頻率處，而由于在諧響應分析中，頻率間隔的設定導致了最大響應幅值的頻率出現在實際聲頻的附近。為方便討論將最大響應幅值的頻率直接稱為聲頻。

如圖5(a)所示，P1在翼柱型發動機中最大聲振幅為2 823.5 Pa，其出現在Tn=0.8的模型中，為第2階聲頻下的振蕩。在翼柱型發動機中，P1前5階聲頻下的最大振幅依次為1 992.6、2 823.5、2 660.7、1 465.9、1 566.1 Pa。前3階聲頻下的最大響應幅值依次出現在Tn=0.5,0.8,0.6時刻模型中；第4階和第5階聲頻下的最大響應幅值出現在Tn=1時刻的模型中。將第5階聲頻下的壓力振蕩幅值選做基準，第1～4階聲頻下的振蕩幅值在同一時刻下依次為第5階聲頻下振蕩幅值284%、452%、364%、221%。而且P1點在大部分工作時間內，第1到3階聲頻下的振蕩比第4、第5階聲頻下的振蕩更為明顯。如圖5(a)所示，P1在翼柱型發動機中的主要振蕩頻率為第1～3階聲頻下的振蕩。

圖5 P1與P2處聲壓時-頻幅值Fig.5 Acoustic pressure amplitude at P1 and P2 in time and frequency domain

如圖5(b)所示，P1在環向開槽發動機中，最大聲振幅為2 946.2 Pa，其出現在Tn=1的模型中，為第4階聲頻下的振蕩。在環向開槽型發動機中，P1前5階聲頻下的最大振幅依次為1 418.0、854.1、1 430.0、2 946.2、1 749.1 Pa。第1階和第4階聲頻下的最大響應幅值出現在Tn=1時刻的模型中；第2階和第3階聲頻下的最大響應幅值出現在Tn=0.8時刻的模型中；第5階聲頻下的最大響應幅值出現在Tn=0.7時刻的模型中。將第2階聲頻下的壓力振蕩幅值選做基準，第1、3、4、5階聲頻下的振蕩幅值在同一時刻下依次為第2階聲頻下振蕩幅值224%、200%、381%、302%。而且P1點在大部分工作時間內，第4、第5階聲頻下的振蕩比第1到第3階聲頻下的振蕩更為明顯。如圖5(b)所示，P1在環向開槽型發動機中的主要振蕩頻率為第4、第5階聲頻下的振蕩。

如圖5(c)所示，P2在翼柱型發動機中最大聲振幅為1 378.1 Pa，其出現在Tn=0.9時刻，為第2階聲頻下的振蕩。在翼柱型發動機中，P2前5階聲頻下的最大振幅依次為1 243.4、1 378.1、1 094.1、698.3、889.2 Pa。第1、第2和第4階聲頻下的最大響應幅值出現在Tn=0.9時刻的模型中；第3階聲頻下的最大響應幅值出現在Tn=0.6時刻的模型中；第5階聲頻下的最大響應幅值出現在Tn=0.8時刻的模型中。將第5階聲頻下的壓力振蕩幅值選做基準，第1到第4階聲頻下的振蕩幅值在同一時刻下依次為第5階聲頻下振蕩幅值159%、203%、185%、148%。而且P2點在大部分工作時間內，第1到3階聲頻下的振蕩比第4、第5階聲頻下的振蕩更為明顯。如圖5(c)所示，P2在翼柱型發動機中的主要振蕩頻率為第1～3階聲頻下的振蕩。

如圖5(d)所示，P2在環向開槽發動機中，最大聲振幅為1 515.8 Pa，其出現在Tn=1時刻，為第4階聲頻下的振蕩。在環向開槽型發動機中P2前5階聲頻下的最大振幅依次為1 032.0 Pa、700.2 Pa、914.8 Pa、1 515.8 Pa、976.6 Pa。第1、第4和第5階聲頻下的最大響應幅值出現在Tn=1時刻的模型中；第2階和第3階聲頻下的最大響應幅值出現在Tn=0.8時刻的模型中。將第2階聲頻下的壓力振蕩幅值選做基準，第1和第3～5階聲頻下的振蕩幅值在同一時刻下依次為第2階聲頻下振蕩幅值189%、147%、277%、198%。而且P2點在大部分工作時間內，第3～5階聲頻下的振蕩比第1和第2階聲頻下的振蕩更為明顯。如圖5(d)所示，P2在環向開槽型發動機中的主要振蕩頻率為第3～5階聲頻下的振蕩。

圖5中，2種發動機聲頻隨工作時間有不同程度的變化，翼柱型發動機第1和第2階聲頻隨工作時間先降低再升高，第3～5階聲頻先升高再下降。環槽型發動機的聲頻隨工作時間按先降低再升高。聲頻隨工作時間的變化規律與聲模態分析中得到的結果一致。2種發動機隨著工作時間響應幅值在各階聲頻下都有變大趨勢，也就是說2種發動機的聲學穩定性都會隨著工作時間逐漸變差。

由于2種類型發動機聲壓響應幅值隨時間不斷變化，為了比較2種發動機的主要聲振型，將2個發動機的聲壓響應幅值在工作時間內做加權平均如表3所示。翼柱發動機中，發動機頭部P1處響應幅值最大的3階聲頻，由大幅值到小幅值依次為第2、3、1階聲頻。發動機尾部P2處響應幅值最大的3階聲頻，按大幅值到小幅值依次為第2、1、3階聲頻。可以得出，翼柱型發動機的主要響應頻率為前3階聲頻，第2階聲頻處的響應能力最強。環槽型發動機中，發動機頭部P1與發動機尾部P2處響應幅值最大的3階聲頻，由大幅值到小幅值依次為第4、5、3階聲頻。環槽型發動機的主要響應頻率為第3～5階聲頻，第4階聲頻處的響應能力最強。翼柱型2個發動機在監測點處的響應幅值均大于環槽型發動機，因此環槽發動機在前3階聲頻下更穩定。

在某一階聲頻響應能力強，則說明受到該聲頻激勵情況下壓力振幅大。因此，翼柱燃燒室聲場在受到第1～3階聲頻激勵下，振幅放大最為明顯。在翼柱型發動機的穩定性設計中，需要著重考慮避免外界激勵頻率與燃燒室第1～3階聲頻相接近。同理，環槽型發動機應著重避免激勵頻率與第3～5階聲頻接近。

近年來，固體發動機中多發的不穩定燃燒為軸向一階不穩定。因此，對于聲基頻處的響應能力是工程上最應關注的。如表 3，環槽發動機P1處在第1階聲頻的響應幅值是翼柱發動機的54.8%，環槽發動機P2處在第1階聲頻的響應幅值是翼柱發動機的75.4%。環向開槽型發動機在工作時間內聲基頻下的響應幅值顯著低于翼柱型發動機。

表3 時間加權平均響應幅值Table 3 Time-weighted average response amplitude kPa

尤其在發動機工作中期，Tn=0.5時，環向開槽型發動機在P1與P2處的一階聲振幅依次為翼柱型發動機的34.5%與48.2%，如圖5。環槽型發動機在一階聲頻下的聲學穩定性優勢最為顯著，即便發生一階聲頻下的壓力振蕩，環槽發動機也比翼柱發動機產生的壓力振幅更小。

綜上，特征結構不同將導致主尺寸相同的燃燒室聲學響應特性具有明顯差異。1 000 Hz以內，翼柱型發動機的主要聲振頻率為第1～3階聲頻；環向開槽型發動機的主要聲振蕩頻率為第4、第5階聲頻。環槽發動機P1處在一階聲頻的時間加權平均響應幅值是翼柱發動機的54.8%，環槽發動機P2處在一階聲頻的時間加權平均響應幅值是翼柱發動機的75.4%。在大部分工作時間中，環向開槽型發動機在一階聲頻下的聲壓響應幅值低于翼柱型裝藥發動機。特別是在發動機工作中段，環向開槽型燃燒室的穩定性優勢最為顯著，環向開槽型發動機P1和P2處的一階聲振幅分別是翼柱型發動機的34.5%和48.2%。

3 結論

1)特征結構不同，導致2種等長度發動機的聲頻特性有顯著差異。隨著發動機工作，燃燒室的各階聲頻隨在一定范圍內變化，低階聲頻變化范圍小，高階聲頻變化范圍大。

2)2種典型發動機在相同激勵下，聲學響應隨著工作過程整體呈增大趨勢。

3)低階聲頻下，尤其在聲基頻下，環向開槽型發動機相比翼柱型發動機聲學穩定性更強。可以通過更改特征結構，增強發動機聲學穩定性。