大跨混凝土橋梁耦合極值應變的混合粒子預測

樊學平， 楊光紅， 劉月飛 (1.蘭州大學 西部災害與環境力學教育部重點實驗室，甘肅 蘭州 730000；.蘭州大學 土木工程與力學學院，甘肅 蘭州 730000)

隨著健康監測技術的逐步發展完善，大跨橋梁健康監測系統可以采集到實時準確的動力響應信息。如何充分地處理和應用橋梁健康監測數據成為當前的研究熱點和難點。目前，橋梁健康監測的數據處理研究主要集中在結構模態參數識別[1-2]、結構模型修正[3-7]、結構損傷識別[8-17]、結構可靠性評估及動態預測[18]等領域。橋梁健康監測系統實時采集得到的混凝土應變是一系列隨時間變化的包含巨大信息量的海量數據，考慮到監測數據的隨機性和耦合性，至今仍難以結合監測數據對大跨混凝土橋梁極值應變進行合理動態預估，且極值應變的動態預測可以為大跨混凝土橋梁安全預后提供理論基礎。因而，研究在役大跨混凝土橋梁極值應變的動態預估方法就成為橋梁健康監測領域的關鍵問題之一。在役大跨混凝土橋梁有限元模型精細化建模的復雜性、模型動態更新的困難性以及智能算法的耗時性等特點，使得無模型的分析方法逐漸成為橋梁極值應變預測的發展趨勢。采用無有限元模型的分析方法，基于已有監測信息建立合理的數學模型，給出模型參數與監測信息之間的動態變化關系，進而結合動態監測數據，可實現橋梁信息的動態預測。至今已有一些無有限元模型的橋梁動力響應的預測方法。如：橋梁極值應力的貝葉斯動態線性預測[18-19]和高斯粒子動態預測[20-21]，分析過程中均未考慮極值應力信息的耦合性，且假定狀態差值為定值，未考慮它的動態性和隨機性；涂雪等[22]建立了基于統計理論的橋梁應力趨勢預測與評估方法，分析過程中對結構退化引起的應力趨勢進行了理論預測，并未考慮監測數據的隨機性；陳國良等[23]分析了基于中心移動平均法的橋梁長期撓度分離策略，并利用ARIMA模型預測了結構變形趨勢，但分析過程中未考慮動態數據對預測模型的動態修正，因而高精度預測模型需進一步研究。

考慮橋梁動態監測數據的隨機性和耦合性等特點，本文采用加權移動平均法和最小二乘法對監測應變數據進行解耦，采用粒子濾波算法對解耦后的高/低頻極值應變進行動態預測，將高頻極值應變預測值、低頻極值應變預測值以及橋梁自重引起的應變相加實現橋梁耦合極值應變的動態預測，最后通過廣東省肇慶西江大橋對本文所建模型的適用性和合理性進行驗證。

1 大跨混凝土橋梁高低頻極值應變的動態線性模型

1.1 監測應變的高低頻解耦

大跨混凝土橋梁健康監測系統在長期運營過程中積累了大量監測應變信息，本文的動態監測應變主要是在溫度荷載、車輛荷載以及橋梁自重恒載的耦合作用下產生的，具有隨機性以及耦合性等特點。本文以1 h為分段長度，對各分段耦合應變進行高低頻解耦，進而采用區間選擇法即可得到高低頻極值應變的時間序列。

針對各分段監測耦合應變數據，本文融合采用加權移動平均法[24]和最小二乘法[25]提取耦合應變監測數據時間序列的低頻應變信號，將原始時程曲線與低頻應變曲線的差值作為高頻應變信號。將低頻應變的均值作為由自重恒載作用引起的應變，并認為其在監測的時間長度內不隨時間變化；將剔除均值后低頻應變的剩余部分作為溫度引起的低頻應變，進而實現高低頻應變的解耦分析。

1.2 解耦極值應變的動態線性模型

基于1.1節各分段解耦的高低頻應變數據，采用區間選擇法，即可得到高/低頻應變的極值序列。高/低頻極值應變隨時間變化的動態測量是一個時間序列，且考慮到監測信息存在著橋梁運行系統內部的過程噪聲以及測量儀器、人為因素等導致的監測噪聲，橋梁高/低頻極值應變狀態值具有不可觀測性。因此，采用動態線性模型來描述橋梁高/低頻極值應變狀態的動態變化過程，動態線性模型由狀態方程、監測方程和初始狀態信息構成，狀態方程反映了系統狀態的動態變化，監測方程反映了監測變量如何依賴于系統的狀態變量。

動態線性模型的基本假定：

1) 狀態變量(xt,βt,t=1,2,…,T) 的變化是馬爾可夫鏈[26-27]，xt和xt-1成線性關系，T為監測的總時間；

2) 監測變量yt相互獨立，且yt只與狀態變量xt相關，yt與xt成線性關系；

3) 狀態變量和監測變量以及相對應的誤差均服從正態分布。

考慮到高/低頻極值應變狀態變量的變化具有動態隨機性，在狀態方程中引入隨時間變化的狀態變化趨勢項βt-1，使得狀態方程更加靈敏地描述狀態變量的變化過程，本文所建立的動態線性模型為：

1) 狀態方程：

(1)

2) 監測方程：

yt=xt+vt,vt～N[0,Vt]

(2)

3) 初始狀態信息：

(xt-1|Dt-1)～N[mt-1,Ct-1]

(3)

式中：xt為t時刻的狀態值；βt-1為t-1時刻的狀態變化趨勢(狀態差值)，一般通過對平滑后的歷史監測數據做一階擬合，得到近似狀態數據的變化趨勢作為β，由此得到的狀態變化趨勢為常數；wt為t時刻的狀態誤差；Wt是t時刻狀態誤差的方差；N[·]為正態概率密度函數；yt為t時刻的監測值；vt為t時刻的監測誤差；Vt為t時刻監測誤差的方差;Dt-1為t-1時刻及之前所有的監測值集合;mt-1和Ct-1分別為t-1時刻狀態的平均值和方差。

本文對平滑后的歷史監測數據進行一階差分近似得到動態狀態變化趨勢βt-1=yt-1-yt-2，建立帶有動態趨勢項的狀態方程。本文將這2種狀態模型用于橋梁極值應變的預測，比較預測效果。

動態線性模型存在的主要參數有Vt、Wt、mt-1、Ct-1。相鄰高/低頻極值應變數據的時間間隔為1 h，Vt為監測誤差的方差，通過對監測數據進行5點3次平滑處理獲得的狀態數據與監測數據之間的差來近似估計；Wt為狀態誤差的方差，通過引入折扣因子結合初始狀態信息近似確定:

Wt=-Ct-1+Ct-1/δ

(4)

式中：Ct-1為初始狀態方差；δ為折扣因子，取值0.1，由于本文的初始狀態信息由單一正態概率分布函數近似表示。考慮到橋梁高/低頻極值應變狀態的不確定性和不可觀測性，折扣因子δ的選擇按照以下方法來進行選擇：1)初始狀態信息由多峰概率分布進行高精度表示，則折扣因子取較大的值；2)初始狀態信息由單一概率分布進行近似表示，則折扣因子取較小的值。

mt-1為初始狀態均值，將歷史監測數據進行5點3次平滑處理后的數據近似作為初始狀態信息，基于這些狀態數據采用概率統計方法對mt-1和Ct-1進行近似估計。

2 解耦極值應變的粒子預測與耦合極值應變的混合粒子預測

2.1 解耦高/低頻極值應變的貝葉斯估計理論

對于高/低頻極值應變，在先驗信息P(xt|Dt)和最新監測極值應變數據yt+1已知的基礎上，可利用貝葉斯估計理論和已建立的動態線性模型，實現橋梁高/低頻極值應變狀態的后驗概率密度估計與一步預測，具體理論遞推過程為：

1)系統狀態xt+1的先驗概率分布：

(5)

2)極值應變的一步向前預測概率，用于預測高/低頻極值應變：

(6)

3)系統狀態xt+1的后驗概率分布：

(7)

4)系統狀態概率分布的一步預測，同時也是下一步系統狀態的先驗分布：

(8)

2.2 解耦高/低頻極值應變的粒子預測

考慮到式(5)～(8)理論推導和實際應用的復雜性和困難性，本文結合粒子濾波方法，實現解耦高/低頻極值應變的高精度粒子預測。

粒子濾波利用一組在狀態空間中帶權重的粒子集近似模擬系統狀態的概率分布，通過調整粒子的位置和權重實現系統狀態的概率遞推與修正。考慮到橋梁解耦高/低頻監測極值應變的動態隨機性，本文采用粒子濾波方法，結合動態線性模型(式(1)～(3))與最新監測極值應變數據，基于式(5)～(8)的理論概率遞推過程，實現對橋梁解耦高/低頻極值應變的一步預測，具體過程為：

(9)

(10)

(11)

利用式(2)，可得第t時刻極值應變的預測概率分布均值與方差分別為：

(12)

(13)

預測效果可由均方根誤差RRMSE進行評估：

(14)

式中T為預測的總時長。

i=1,2,…,Ns

(15)

(16)

3 監測應變算例分析

本文采用廣東省肇慶西江大跨混凝土橋梁A、B、C3個監測點的監測應變對本文所提方法進行驗證。肇慶西江大橋示意圖和監測位置A點如圖1與圖2所示，B、C同A點所示。橋梁健康監測數據是通過等間隔采樣得到的，目前采樣頻率為10 min，是一個大型的時間序列集。本文所用的解耦高/低頻橋梁極值應變觀測數據為每小時解耦橋梁監測應變的最大值，將同一傳感器的前200個高/低頻監測極值應變數據作為歷史監測數據來建立動態線性模型，并結合動態監測和解耦的每小時的高/低頻極值應變數據，實現解耦極值應變的高精度預測和耦合極值應變的混合粒子預測。

圖1 肇慶西江大橋Fig.1 Zhaoqing Xijiang Bridge

圖2 A截面的監測點位置Fig.2 Monitoring point for section A

3.1 橋梁監測應變數據的高低頻解耦

本文所研究橋梁的應變監測數據被認為是溫度荷載和車輛荷載以及橋梁自重共同作用的結果，且這3種荷載的作用特征不一樣，因此，需要對橋梁應變數據做分段解耦處理，通過解耦得到對應3部分的極值應變數據，3個監測點處橋梁的自重引起的應變為常數，其中A點為-447.51με，B點為-539.16με，C點為-237.73με。解耦后的高低頻極值應變如圖3所示。

3.2 溫度荷載作用下的橋梁低頻極值應變預測

以監測點A為例，建立橋梁低頻極值應變的折扣動態線性模型，將解耦產生的前200個低頻極值應變數據進行5點3次平滑處理，得到的數據近似為低頻極值應變初始狀態數據如圖3(a)所示，基于近似狀態數據，結合1.2節建立低頻極值應變的折扣動態線性模型，對比分析狀態變化趨勢βt-1=yt-1-yt-2與βt-1取為常數時的預測效果。

圖3 解耦后的高低頻極值應變及其平滑處理的數據Fig.3 High and low frequency extreme strain after decoupling and its smoothed data

狀態方程：

(17)

監測方程：

y1,A,t=x1,A,t+v1,A,t,v1,A,t～N[0,V1,A,t]

(18)

初始狀態信息：

(x1,A,t-1|D1,A,t-1)～N[0,13.912]

(19)

式中：y1,A,t為t時刻的低頻極值應變監測值；x1,A,t為t時刻的低頻極值應變狀態值，通過對低頻極值應變監測數據與平滑之后的狀態數據之間的差值進行估計并考慮監測極值應變數據的不確定性，可得低頻極值應變監測誤差的方差V1,A,t=0.6，低頻極值應變狀態誤差的方差W1,A,t=-C1,A,t-1+C1,A,t-1/δ1，δ1=0.1；C1,A,t-1為t-1時刻的初始狀態方差。基于式(17)～(19)動態線性模型，通過2.2節的粒子濾波方法，利用第200～249 h實時監測和解耦的低頻極值應變數據對第201～250 h低頻極值應變進行在線預測，令粒子數Ns=200。同理，建立監測點B和監測點C低頻極值應變的折扣動態線性模型。

監測點B的低頻極值應變初始狀態信息服從正態分布：

(x1,B,t-1|D1,B,t-1)～N[0,19.432]

(20)

觀測誤差方差為V1,B,t=4。

監測點C的低頻極值應變初始狀態信息服從正態分布：

(x1,C,t-1|D1,C,t-1)～N[0,31.012]

(21)

觀測誤差方差V1,C,t=14。

各監測點的低頻極值應變預測結果如下：

1)監測點A，當低頻極值應變狀態變化趨勢取βt-1=xt-1-xt-2時，預測的均方根誤差為0.895 1。狀態變化趨勢項βt-1取常數時，通過對平滑后的歷史監測數據做一階擬合，得到近似狀態數據的變化趨勢為βt-1=0.063 6，同樣通過粒子濾波對低頻極值應變數據進行預測，預測的均方根誤差為2.413 1，預測效果如圖4所示。

圖4 A點低頻極值應變的監測值與預測值Fig.4 Low-frequency monitoring extreme strain data and predicted strain data of point A

2)監測點B，當低頻極值應變狀態變化趨勢取βt-1=xt-1-xt-2時，預測的均方根誤差為2.130 3。狀態變化趨勢項βt-1取常數時，通過對平滑后的歷史監測數據做一階擬合，得到近似狀態數據的變化趨勢為βt-1=0.107 3，通過粒子濾波對低頻極值應變數據進行預測，預測的均方根誤差為5.649 9，預測效果如圖5所示。

圖5 B點低頻極值應變的監測值與預測值Fig.5 Low-frequency monitoring extreme strain data and predicted strain data of point B

3)監測點C，當低頻極值應變狀態變化趨勢取βt-1=xt-1-xt-2時，預測的均方根誤差為3.979 8。狀態變化趨勢項βt-1取常數時，通過對平滑后的歷史監測數據做一階擬合，得到近似狀態數據的變化趨勢為βt-1=0.25，通過粒子濾波對低頻極值應變數據進行預測，預測的均方根誤差為10.105 1，預測效果如圖6所示。

圖6 C點低頻極值應變的監測值與預測值Fig.6 Low-frequency monitoring extreme strain data and predicted strain data of point C

基于3個監測點的低頻極值應變預測曲線以及預測均方根誤差可以得出，雖然橋梁低頻極值應變的變化幅度大，但是基于粒子濾波方法的橋梁應變預測值與實測值的變化趨勢幾乎一致，且即使低頻監測極值應變數據在有較大波動幅度的情況下，所有的監測值仍處于預測值的預測區間內(95%的保證率)。因為本文所提方法能夠利用最新監測和解耦的低頻極值應變數據，對狀態方程實時更新，同時，采用粒子濾波方法對低頻極值應變進行狀態估計，所得的狀態估計值接近橋梁狀態真實值。

βt-1為常數時，預測均方根誤差明顯大于βt-1為變量時的預測均方根誤差。有部分低頻極值應變監測數據超出預測值的95%置信區間，可見，狀態變化趨勢為常數時，預測效果并不好。對比2種預測模型對應的預測均方根誤差與預測效果圖可知，對于低頻極值應變的動態預測，狀態變化趨勢動態更新的模型明顯優于狀態變化趨勢為常數的模型。

3.3 車輛荷載效應作用下的橋梁高頻極值應變預測

以監測點A為例，將前200個解耦后的高頻極值應變數據進行5點3次平滑處理，得到的數據近似為高頻極值應變的初始狀態數據，如圖7所示。結合1.2節建立高頻極值應變的動態線性模型。

圖7 A點高頻極值應變的監測值與預測值Fig.7 High-frequency monitoring extreme strain data and predicted strain data of point A

狀態方程：

(22)

監測方程：

y2,A,t=x2,A,t+v2,A,t,v2,A,t～N[0,V2,A,t]

(23)

初始狀態信息：

(x2,A,t-1|D2,A,t-1)～N[0.077 6,1.992]

(24)

式中：y2,A,t為t時刻的高頻極值應變監測值，x2,A,t為t時刻高頻極值應變的狀態值，通過對高頻極值應變監測數據與平滑之后的狀態數據之間的差值進行估計并考慮監測極值應變數據的不確定性，可得高頻極值應變監測誤差的方差V2,A,t=0.38，高頻極值應變狀態誤差的方差W2,A,t=-C2,A,t+C2,A,t/δ2，δ2=0.1。基于式(16)～(18)與2.2節，利用第200～249 h實時監測和解耦的高頻極值應變數據對第201～250 h的高頻極值應變進行在線預測，令粒子數Ns=200。同理，建立監測點B和監測點C高頻極值應變的折扣動態線性模型。

B點高頻極值應變初始狀態信息服從正態分布：

(x2,B,t-1|D2,B,t-1)～N[0.127 7,4.942]

(25)

觀測誤差方差為V2,B,t=0.98。

C點高頻極值應變初始狀態信息服從正態分布：

(x2,C,t-1|D2,C,t-1)～N[0.2,9.182]

(26)

觀測誤差方差V2,C,t=6.07。

可得高頻極值應變的預測結果如下：

1)監測點A，當高頻極值應變狀態變化趨勢取βt-1=xt-1-xt-2時，預測的均方根誤差為1.590 1。狀態變化趨勢項βt-1取常數時，通過對平滑后的歷史監測數據做一階擬合，得到近似狀態數據的變化趨勢為βt-1=-0.002 346，同樣通過粒子濾波對高頻極值應變數據進行預測，預測的均方根誤差為1.307 1，預測效果如圖7所示。

2)監測點B，當高頻極值應變狀態變化趨勢取βt-1=xt-1-xt-2時，預測的均方根誤差為2.537 3。狀態變化趨勢項βt-1取常數時，通過對平滑后的歷史監測數據做一階擬合，得到近似狀態數據的變化趨勢為βt-1=0.04，同樣通過粒子濾波對高頻極值應變數據進行預測，預測的均方根誤差為2.523 2，預測效果如圖8所示。

3)監測點C，當高頻極值應變狀態變化趨勢取βt-1=xt-1-xt-2時，預測的均方根誤差為6.088 2。狀態變化趨勢項βt-1取常數時，通過對平滑后的歷史監測數據做一階擬合，得到近似狀態數據的變化趨勢為βt-1=-0.051 1，同樣通過粒子濾波對高頻極值應變數據進行預測，預測的均方根誤差為5.129 8，預測效果如圖9所示。

圖9 C點高頻極值應變的監測值與預測值Fig.9 High-frequency monitoring extreme strain data and predicted strain data of point C

通過高頻極值應變預測曲線可以得到，高頻極值應變數據相比于低頻極值應變數據，隨機性更強，變化頻率更快，本文所提方法仍能對其進行有效地預測。圖7～9中監測高頻極值應變數據基本分布在預測曲線附近，說明本文所提預測方法對高頻極值應變的動態預測仍具有較好的效果。對于高頻極值應變的預測，本文所提方法得到的預測均方根誤差略高于基于普通動態線性模型的預測均方根誤差，表明包含動態趨勢項的預測模型在極值應變隨機性較高的情況下預測效果不占優勢。

3.4 耦合荷載作用下極值應變動態預測

基于上述高/低頻極值應變預測結果和自重作用下的恒定應變值可得出，狀態變化趨勢項βt-1取動態趨勢項時，A點耦合極值應變預測的均方根誤差為1.823 4，耦合極值應變的一步預測結果如圖11，狀態變化趨勢項βt-1取常數時，A點耦合極值應變預測的均方根誤差為2.682 8，預測效果如圖10所示。

圖10 A點耦合極值應變的監測值與預測值Fig.10 Monitoring and predicted coupled extreme strain data of point A

狀態變化趨勢項βt-1取動態趨勢項時，B點耦合極值應變預測的均方根誤差為3.418 5，狀態變化趨勢項βt-1取常數時，B點耦合極值應變預測的均方根誤差為6.095 9，耦合極值應變的一步預測效果如圖11所示。

圖11 B點耦合極值應變的監測值與預測值Fig.11 Monitoring and predicted coupled extreme strain data of point B

狀態變化趨勢項βt-1取動態趨勢項時，C點耦合極值應變預測的均方根誤差為7.490 3，狀態變化趨勢項βt-1取常數時，C點耦合極值應變預測的均方根誤差為11.072，耦合極值應變的一步預測結果如圖12。

圖12 C點耦合極值應變的監測值與預測值Fig.12 Monitoring and predicted coupled extreme strain data of point C

基于3個監測點的耦合極值應變預測效果圖以及預測均方根誤差可得：耦合極值應變的預測值與真實監測值相差無幾，預測效果良好且穩定，表明本文所提的方法能夠用于耦合極值應變的動態預測。狀態變化趨勢項取常數時，有部分監測極值應變數據超出預測監測值的95%置信區間，可見預測效果并不好。狀態變化趨勢項βt-1取動態趨勢項時，耦合極值應變的監測值主要分布在基于動態狀態變化趨勢模型的預測曲線附近，充分說明本文所提出的耦合極值應變預測方法的預測效果顯著，所建立的模型優于一般的動態線性模型。

4 結論

1)采用粒子濾波算法對解耦后的高低頻極值應變進行實時更新與預測，最終實現橋梁耦合極值應變的動態狀態估計與一步預測。通過工程實例驗證，所提方法對橋梁耦合極值應變的預測曲線與實際監測值的變化趨勢基本一致，為橋梁的健康監測數據處理、狀態估計以及性能預測提供理論基礎。

2)建立了折扣動態線性模型描述橋梁應變狀態的變化過程，引入了橋梁應變狀態的動態趨勢項，結合實時監測和解耦的極值數據實現狀態方程實時更新。工程實例表明，所建立的動態線性模型預測效果明顯優于一般的動態線性模型，符合工程實際。