文化視野下的單元整體教學路徑

紀學杰

【摘 要】數學文化是指人類在數學行為活動的過程中所創造的物質產品和精神產品。物質產品指數學問題、數學方法、數學語言等知識性成分，精神產品指數學思想、數學審美等觀念成分。以此定義審視現在的課堂，數學教育的本質是數學文化的傳播與學習的教育?！读x務教育數學課程標準（2011年版）》中明確指出：“數學是人類一種文化，它的內容、思想、方法和語言是現代文明的重要組成部分?！比欢覀冞^去更多關注的是知識的傳遞、數學技能的訓練，忽視了數學本身所蘊含的豐富的文化淵源和背景。

【關鍵詞】數學文化 數學教學 單元整體教學

一、基于困惑點的學習起點分析和教學目標分析

（一）學習起點分析

很多學生對圓和球體的理解是模糊的，不少教師對圓的定義的認識是不清晰的。究其原因，一是在日常生活中存在大量球狀物體，導致學生誤將球等同于圓;二是古人在發現圓的過程中，都是從一些圓柱形狀的物體中逐步抽象出圓的模型和痕跡，所謂“面從體出”，說的就是圓是出自圓柱之中的。

（二）教學目標分析

筆者認為，對于高年級學生來說，淺層次的操作可以用深層次的推理來提升學生的思考，從而達到促進深度學習的教學目標。比如，“圓為什么有無數條半徑？”“圓的直徑和半徑有什么關系？”等問題，教師完全可以放手讓學生自己去探究。

二、單元內容的學情分析、知識本質分析和數學思維方法分析

（一）學情分析

我們的教學要立足于數學文化的背景，溯本求源探究圓的本質，提供豐富的生活素材來體現數學文化的價值，讓學生在逐步探究圓的周長和面積的過程中體會數學文化的魅力。在探究圓周率的過程中，我們不僅僅要介紹祖沖之等數學家研究圓周率π所取得的成就，更要讓學生經歷圓周率形成的過程。

圓是小學階段學習的最后一個圖形，與之以前學過的直線圖形在性質上有很大不同，但是它們的知識點又存在聯系。教師應找準聯系點，把未知的圖形轉化成已知的圖形，引導學生逐步探究圓的面積。

（二）知識本質分析

新課標中明確強調了學生操作和探索的必要性，這就要求教師在教學設計中要充分考慮如何幫助學生經歷“問題引領—合作探究—綜合梳理—問題解決”的探究過程。

“圓的認識”這一單元的教學內容有：圓的認識、圓的周長、圓的面積、圓環的面積。這是在學生已經學習了長方形、正方形的周長和面積，平行四邊形、三角形、梯形的面積的基礎上安排的。學生已經理解了周長和面積的概念，本單元需要引導學生學會用轉化的思想把圓這一新圖形轉化成已經學過的、熟悉的圖形。

（三）數學思維方法分析

圓是小學階段學生第一次接觸的曲線圖形，雖然與之前學習的幾何圖形有些不同，但是研究方法卻有著緊密聯系。在教學時，教師要引導學生尋找合適的契合點，合理應用轉化思想，將圓形轉化為之前學過的直線圖形，并使學生認識到，轉化是一種重要的思想方法。在日常生活和學習中，教師要引導學生學會化復雜為簡單，從而提升對未知的認識能力，使其在探究過程中體驗“化曲為直”“化圓為方”的轉化的思想方法。

三、“圓的認識”單元教學目標的確定

（一）課程標準分析

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中第二學段的內容標準對應的目標是：通過觀察、操作，認識圓，會用圓規畫圓。從操作到描述更加強調了在掌握知識與技能的同時，引導學生經歷過程，引發數學思考，從而從數學的角度認識世界、解釋并解決數學問題。通過一系列數學史料，讓學生了解數學文化，提高學習興趣。

（二）不同版本教材對比分析

筆者分別選取人教版、蘇教版、浙教版和青島版數學教材進行比較，以便更好體會教材的編寫意圖和設計思路。

關于“圓的認識”，這四個版本的教材都是從生活情境入手。青島版教材情境導入環節出示了古代、現代各種車輪，通過學生自主提問“車輪為什么是圓的？”導入新課，教師以“生活中的圓”，引導學生發現圓與生活的關系，以及圓這一對稱圖形的數學美。在這一過程中，教師不僅引導學生認識圓的定義、基本性質，而且更重要的是，激發了學生對圓的科學認知之外的無限想象，讓數學課在理性思維的同時具有文化高度。教師可以把有關圓的智慧和哲理，潛移默化地滲透到學生的頭腦中，讓學生逐漸形成關于圓的文化觀。

四、數學文化的滲透與教學實施建議

在數學文化的培養方面，本單元把數學學習寓于文化的視野中，引導學生經歷圓的定義過程、周長的測量、面積的推導等過程，將“圓的認識”上升到了“圓的文化”的高度，使數學科學與人文精神渾然一體。

（一）圓的認識

1.在古代數學文化中探究圓的文化源頭

本單元將研究的重點放在了文化的視域，彰顯了對于圓的認識思考中的文化觀點、課程整合中的文化情懷。引入我國古代著名思想家孟子的“不以規矩，不成方圓”這一古訓，在探究祖先制造工具原理的基礎上溯本求源，從歷史文化諺語中引出“圓”，課中引出墨子“圓，一中同長也”的研究結論，與學生自主探究結果相印證，追尋了圓的研究的文化源頭。在一步步學習圓的過程中，滲透和梳理圓的文化脈絡。

2.在變化中認識圓與方之間的聯系

一個正n邊形，當邊數越來越多，多邊形會越來越像一個圓。正如劉徽的“割圓術”所述：“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣?！碑嫵龆鄠€正n邊形。給出n=3，4，5，8時的情形（見圖1）。讓學生在變化中認識圓的內接多邊形，觀察、發現圖形及其特征規律，為后續利用多邊形的周長探究圓的周長、利用多邊形的面積探究圓的面積做好鋪墊。

（二）圓的周長

1.畫曲為直

測量彎曲的圓的周長，對于五年級學生來說，是有一定活動經驗的。因為在低年級研究圖形的初步認識和圖形的周長時，學生們就曾用毛線繞圓一周，再測量毛線的長度，從而將彎曲的線轉化為直的線段，探究出圓的周長的經歷。另外，還用“滾動法”把圓形物體在直尺上滾動一周，從而測量出圓的周長，發現圓的周長與直徑之間的關系，引出圓周率。

2.畫圓為方

孟子所言：“不以規矩，不成方圓?！钡莱隽朔脚c圓有著緊密的聯系。

（三）圓的面積

在教學時，教師要求學生回憶舊知：圓形面積可以轉化為以前學過的哪些圖形？學生們想到了長方形、平行四邊形、三角形、梯形等。在探究的過程中，要凸顯數學的轉化思想和極限思想。如通過把圓形平均分成16份、32份、64份、128份……將曲線的圓轉化成越來越像長方形的平面圖形（見圖2），在轉化的過程中借助幾何畫板等多媒體技術實現極限思想的滲透。同樣，也可以將圓形轉化成相等的三角形，通過一個三角形的面積公式推導得出圓面積的計算公式。

如果說課堂立意是一種外顯的文化，從中可以看到或是梳理出文化的脈絡與精神的話，那么“圓的認識”單元教學所體現的引導學生研究的過程就是一種內隱的、貫穿于課堂始終的數學精神，可以彰顯出數學課特有的一種文化風景。本課在引導學生自己畫圓、確定圓心和半徑、研究圓心和半徑的特點的過程中，由學生操作、發現、歸納、提煉，從表層的現象入手，引導和等待學生自己撥開圓的“外衣”，抵達圓的“核心”，發現圓的概念的本質。讓學生經歷定義產生的過程，讓學生頭腦中的圓由上課伊始時的“靜態圓”發展成課結束時的“動態圓”。同時，教師引導學生經歷對于“圓”的基本數學概念理解的過程、基本思想方法了解的過程，帶領學生運用數學特有的思維方式，切身感悟屬于數學獨有的美，數學本質也在這樣的過程中被緩緩揭示。最終，學生的數學思維在圓的認識、圓的本質和圓的文化三個層次中得到了顯著提升。