用構(gòu)造法求恒不等式中的參數(shù)范圍

福建省龍巖市長汀縣第一中學(xué) (366313) 周興騰

在許多高考題或高考模擬題中，導(dǎo)數(shù)的綜合題往往都是把關(guān)的角色，其中恒成立問題中求參數(shù)范圍的題目更是內(nèi)容豐富、形式多樣，而我們有些同學(xué)也經(jīng)常是止步于此，究其原因是缺少破題方法．而因題而異、深挖內(nèi)含是非常重要的，其中抓住題設(shè)特點，通過構(gòu)造新函數(shù)求解此類問題就是一個有效的舉措．本文舉例介紹幾種常見的使用方法，供參考．

一、移項后構(gòu)造

通過把題設(shè)的恒不等式移項處理，變成一邊為零后，直接構(gòu)造函數(shù)．

例1 設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex-1)-ax2.若當(dāng)x≥0時，恒有f(x)≥0，求a的取值范圍.

解析：由于f(x)=x(ex-1-ax)，當(dāng)x≥0時，f(x)≥0等價于ex-1-ax≥0，令g(x)=ex-1-ax，則g′(x)=ex-a.若a≤1，則當(dāng)x∈(0,+∞)時，g′(x)>0，g(x)為增函數(shù)，而g(0)=0，從而當(dāng)x≥0時，g(x)≥0，即f(x)≥0.若a>1，則當(dāng)x∈(0,lna)時，g′(x)<0，g(x)為減函數(shù)，而g(0)=0，從而當(dāng)x∈(0,lna)時，g(x)<0，即f(x)<0.綜合得a的取值范圍為(-∞，1].

評析：將不等式轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)式恒大于零(或恒小于零)后，如果通過求導(dǎo)數(shù)能夠解決參數(shù)范圍的，就不需要再進(jìn)行其他變形，否則可能將問題復(fù)雜化．

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)1n(x+1)，若對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求實數(shù)a的取值范圍．

解析：設(shè)g(x)=(x+1)1n(x+1)-ax，其中x∈(-1，+∞)．對函數(shù)g(x)求導(dǎo)得g′(x)=1n(1+x)+1-a．令g′(x)=0，解得x=ea-1-1．

①當(dāng)a≤1時，對任意的x≥0，g′(x)>0，所以g(x)在[0,+∞)上是增函數(shù)，又g(0)=0，所以對所有的x≥0，都有g(shù)(x)≥g(0)，即當(dāng)a≤1時，對任意的x≥0都有f(x)≥ax．

②當(dāng)a>1時，對于01時，不是對所有的x≥0使f(x)≥ax成立．綜上可知，所求實數(shù)a的取值范圍為(-∞,1]．

評注：將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)式恒大于零是解題的關(guān)鍵所在．后面再根據(jù)解題需要，通過求導(dǎo)、分類討論的方法判斷不等式是否成立，從而確定了參數(shù)的范圍．

二、參數(shù)分離后構(gòu)造

通過分離參數(shù)，可將恒不等式問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值或最小值問題，使后續(xù)的解題方向……