一道高中數學聯賽預選題的再探究

福建省莆田第五中學 (351100) 吳雪琴

1．已有結論呈現

文【1】對2016年全國高中數學聯賽湖南賽區預賽試題題13進行探究，得到了橢圓、雙曲線、拋物線定點問題的幾個結論，并由此綜合得出圓錐曲線的一個定點性質，讀后頗受啟發，但覺意猶未盡.本文擬對上述結論進行推廣.先把文【1】中的定理1，2，3抄錄如下：

以上定理揭示了圓錐曲線的焦點與準線的一個關聯性質，我們不禁要問：如果把定理中的“焦點”與“準線”分別換為“類焦點”與“類準線”，這一結論還成立嗎？

2．探究結論的推廣

經探究發現，以上定理的結論不僅對圓錐曲線的焦點與準線成立，對“類焦點”與“類準線”仍然成立.為此，下面把上述性質推廣到“類焦點”與“類準線”的情形.

證明：分兩種情況討論.

類似地，可把定理2，3分別推廣為

定理3.1 設拋物線C：y2=2px(p>0),直線l經過拋物線C的“類焦點”F(t,0)(t>0)，與拋物線C交于點A,B，點A,F,B在“類準線”x=-t上的射影依次為D,K,E,則對任意直線l，直線AE與BD相交于線段FK的中點(0,0).

下面只給出定理3.1的證明，定理2.1仿定理1.1可證.

證明：分兩種情況討論.

當直線l垂直于x軸時，顯然有直線AE與BD相交于線段FK的中點(0,0)；

定理4.1 設圓錐曲線C，直線l經過圓錐曲線C的“類焦點”F，與圓錐曲線C交于點A,B，點A,F,B在相應的“類準線”上的射影依次為D,K,E,則對任意直線l，直線AE與BD相交于線段FK的中點G.

3.推廣結論的完善

上述推廣的逆命題成立嗎？即設點F在“類準線”上的射影為K,點D,E在“類準線”上，若對任意直線l，直線AE與BD相交于線段FK的中點G，那么點D,E是否為點A,B在“類準線”上的射影？

設點A,B在“類準線”上的射影為D1,E1,據定理4.1，得對任意直線l，直線AE1與BD1相交于線段FK的中點G.這表明直線AG經過點E1,又由直線AE與BD相交于線段FK的中點G，知直線AG經過點E,則點E,E1同為直線AG與“類準線”的交點，故點E,E1重合，從而點E為點B在“類準線”上的射影.同理可證點D為點A在“類準線”上的射影.可見定理4.1的逆命題成立，故定理4.1可完善為

定理4.2 設圓錐曲線C，直線l經過圓錐曲線C的“類焦點”F，與圓錐曲線C交于點A,B，點F在“類準線”上的射影為K,點D,E在“類準線”上，則對任意直線l，直線AE與BD相交于線段FK的中點G的充要條件是點D,E分別為點A,B在“類準線”上的射影.

由定理4.2，可把定理1.1、2.1、3.1分別完善為

定理3.2 設拋物線C：y2=2px(p>0),直線l經過拋物線C的“類焦點”F(t,0)(t>0)，與拋物線C交于點A,B，點F在“類準線”上的射影為K,點D,E在“類準線”上，則對任意直線l，直線AE與BD相交于線段FK的中點(0,0)的充要條件是點D,E分別為點A,B在“類準線”上的射影.

至此，我們完成了對上述全國高中數學聯賽湖南賽區預賽試題的再探究，推廣和完善了文【1】的圓錐曲線定點問題的幾個結論.

4.教學反思

著名數學教育家G波利亞說過：“沒有任何一個題目是徹底完成了的，總還會有些事情可以做”，“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地成長，找到一個以后，你應當在周圍找一找，很可能附近有好幾個”.競賽、高考等各類試題是眾多專家集體智慧的結晶，具有原創性和可探究性，這些試題是命題者留給我們的一筆寶貴“財富”，不應滿足于會解和已有結論，引導學生對之進行適當探究，尋找“蘑菇”，使這些“財富”有所“增值”.這對培養學生的探究意識和探究能力，提升數學學科核心素養無疑是有益的.