條件轉化法在數學解題中的運用舉隅

江西省吉安市第一中學 (343000) 郭天平 李作濱

條件轉化在數學解題中幾乎無處不在，我們若能掌握這種轉化策略，在遇到一些數量關系復雜、隱蔽而難以解決的問題時，就可使生疏的問題熟悉化、抽象的問題具體化、復雜的問題簡單化，從而順利解決問題[1].常見的條件轉化方法有直接轉化法、換元法、數形結合法、等價轉化法等，本文列舉幾例予以說明.

例1 已知函數f(x)為二次函數，它的最小值為1，且對任意x∈R，都有f(1+x)=f(1-x)成立，又f(0)=3.求f(x)的解析式.

評注：本題就是把原問題直接轉化為基本定理、基本公式或者基本圖形問題，由問題直接轉化，得出結論.

評注：本題是運用換元法，使生疏的問題熟悉化，把無理式轉化為有理式或者使整式降冪等，把復雜的問題轉換成簡單問題，從而解決問題.

例3 若對任意的k∈[-1,1]，函數f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零，求x的取值范圍.

析解1：本題給的已知條件是k的范圍，應用函數換元思想，可以把式子轉化為關于k的一元一次不等式g(k)=(x-2)k+x2-4x+4>0，在k∈[-1,1]時恒成立.只需要g(-1)>0且g(1)>0，即x2-5x+6>0且x2-3x+2>0，解得x<1或x>3.

析解2：本題也可以從另外一個角度進行條件轉化，結合一元二次函數圖形來分析.考慮畫出函數f(x)=x2+(k-4)x+4-2k=(x-2)[x-(2-k)]的圖像，圖像與x軸有兩交點分別是2和2-k，結合k∈[-1,1]，2-k∈[1,3]，知函數圖像隨著k取值變化而變動.作出拋物線圖像，易得要使得能夠滿足函數取值恒大于零的條件為x<1或x>3.

析解3：本題還可轉化為一元二次函數與一次函數交點問題來處理.函數f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零，即為x2-4x+4>k(2-x)對任意的k∈[-1,1]恒成立，也即函數y=x2-4x+4的圖像恒在y=k(2-x)圖像上方，所以滿足條件的x值為x<1或x>3.

評注：在研究函數問題時，常借助函數的圖像特征，對判別式、給定區間端點的函數值、對稱軸與該區間的相對關系進行全面綜合應用.

圖1

析解：本題常規解法可以利用求根公式，也可以結合函數的圖形來分析，但要特別注意條件之間轉換的等價性，如果轉換不等價，就會出錯.

圖2

評注：等價轉化法就是把原問題的形式向特殊化形式轉化，并證明特殊化后的問題和結論都適合原問題.分析發現，在進行條件轉化的過程中，要進行等價轉化，圖像之間的轉化也是等價的，對于重合的圖像，要單獨分析，從而確保解的個數不重不漏.

綜上可見，一個數學問題的解決，關鍵就在于如何合理使用條件轉化解決問題，將條件進行轉化是解決問題的一般策略.