一個不等式與兩道數學競賽題的拓廣

江西省共青城市國科共青城實驗學校 (332020) 姜坤崇 黃立才

本文給出一個帶兩個參數的三元不等式，并應用它簡潔證明兩道數學競賽不等式問題的拓廣結論.

設三個正數變元是x,y,z,p,q是非負參數，則有如下一個不等式：

命題設x,y,z>0,p≥0,q≥0,且p、q不全為零，s=x+y+z,則

證明：當p=0或q=0時不等式①顯然成立，以下設p>0,q>0.①式等價于

由柯西不等式知以上不等式成立，故不等式①得證.

下面用不等式①給出兩道數學競賽不等式試題拓廣結論的證明.

題1 (2000年澳門數學競賽試題)已知a,b,c∈R+,且abc=1,求證：

將以上不等式拓廣，可得

當且僅當a=b=c=1時，③式等號成立.

令p=λ-1≥0,q=1,則由不等式①得

從以上證明可以看出，當且僅當x=y=z=1時上式中等號成立，故③式成立，當且僅當a=b=c=1時等號成立.

說明：(1)在不等式③中，令λ=1即得不等式②.

(2)結論1亦即《中等數學》數學奧林匹克問題高343，供題人提供的解答較繁，且不易推廣.

(3)根據不等式③及以上證明，不難將結論1推廣為：

而由柯西不等式知上式成立，即⑤式成立，從而不等式④得證.

將以上不等式拓廣，可得：

說明：(1)在不等式⑦中，令λ=4即得不等式⑥；

(2)以上結論3不但改進了文獻[1]中的結論1，而且這里借助①式給出的證明也較文獻[1]給出的結論1的證明簡潔得多.