素養(yǎng)導(dǎo)向下一道2021年高考題的解法探析

福建省南平市高級中學(xué) (353000) 江智如 蔡 珺福建省南平市教師進(jìn)修學(xué)院 (354200) 許貴全

1 試題呈現(xiàn)

(2021年高考全國I卷理科第22題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx)．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

2 試題分析

本試題依托函數(shù)性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法以及不等式證明相關(guān)知識，考查考生靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具分析問題、解決問題的能力[1]．綜合考查考生化歸與轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．本文在學(xué)科素養(yǎng)指引下，對試題進(jìn)行解法探析．

3 試題解析

3.1 極值點(diǎn)偏移法

解法1：(1)由已知條件可得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，f′(x)=-lnx，令f′(x)=-lnx=0，則x=1．當(dāng)00；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0．所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

圖1

下面先證明：x1+x2>2．

要證明x1+x2>2成立，只要證明x2>2-x1成立．因?yàn)?2-x1等價(jià)于f(x2)0，所以F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，從而F(x)2成立．

再證明：x1+x2

3.2 切線放縮法

思路分析：由于解法1函數(shù)G(x)單調(diào)性的驗(yàn)證過程復(fù)雜，難以直接判斷G(x)的正負(fù)，故考慮利用函數(shù)f(x)在(e,0)的切線判斷與f(x)的大小，構(gòu)造新函數(shù)運(yùn)用放縮法證明結(jié)論．

解法2：由(1)可求函數(shù)f(x)在(e,0)的切線方程為：y=e-x．令H(x)=f(x)-(e-x)=2x-xlnx-e，x∈(0,e)，則H′(x)=1-lnx>0，從而H(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，于是H(x)x1，因此x1+x2

評析：導(dǎo)數(shù)概念及應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要知識之一，能夠讓考生深刻地了解與理解不斷動態(tài)變化的事物本質(zhì)，提高思維層次．本試題分步設(shè)問，逐步推進(jìn)，由淺入深，重點(diǎn)突出，從多角度考查導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法以及不等式的性質(zhì)與應(yīng)用，同時(shí)考查考生推理論證能力、運(yùn)算求解能力、分析與歸納能力和化歸轉(zhuǎn)化思想．解法1利用極值點(diǎn)偏移方法求解，本質(zhì)上反映函數(shù)值變化快慢的問題，是……