函數(shù)有唯一零點問題的多視角分析

陜西省西安市第八十九中學 (710003) 彭文靜

函數(shù)零點是連接函數(shù)與方程兩大問題的橋梁，是高考復習的熱點問題，該知識往往滲透于綜合題中，對學生邏輯思維能力要求高.函數(shù)y=f(x)為零的自變量x的值即為函數(shù)的零點，即方程f(x)=0的根，也即y=f(x)圖像與x軸交點的橫坐標.其等價關系如圖：

函數(shù)零點的多角度分析過程體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學思想方法，筆者以一道函數(shù)零點問題為例從四個方面進行剖析.

1、題目呈現(xiàn)

題目當x∈(1,+∞)，函數(shù)f(x)=xlnx+(1-k)x+k有唯一零點，求距離k最近的整數(shù).

2、具體解法

視角1：直接切入找零點，分類討論需謹慎

點評：該解法中依據(jù)k-2與0的大小關系，將參數(shù)k分兩種情況討論.其中在情形②中，f′(x)=lnx-k+2=0在(1,+∞)有且只有一個解，該方程為超越方程，則要“虛設”零點，設而不求，然后由函數(shù)f(x0)單調(diào)性，借助零點存在性定理，憑號定論零點存在區(qū)間，這是解決該問題的核心思想，最后就是利用二分法進一步縮小根的存在區(qū)間，以此確定k的整數(shù)值.

視角2：函數(shù)角度求交點，數(shù)形結(jié)合顯直觀

圖1

點評：該方法清晰明快，避免了參數(shù)的分類討論，但找準兩個基本函數(shù)是關鍵，一般以能畫出兩個函數(shù)圖像為原則，如本題中的下凸函數(shù)圖像和直線.

視角3：完全分參探性質(zhì)，研究最值是關鍵

圖2

圖3

視角4：“降維”變形巧構(gòu)造，等價轉(zhuǎn)化是本質(zhì)

函數(shù)零點是連接函數(shù)與方程兩大思想問題的橋梁，而已知零點個數(shù)唯一求參數(shù)的取值范圍是函數(shù)零點問題的常見題型之一，其本質(zhì)是函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的應用，涉及到的具體思想方法有數(shù)形結(jié)合、分類討論及轉(zhuǎn)化與劃歸思想.本題從四個不同視角分析零點唯一性問題，解題方法迥異.其中，解法1直接切入普遍常規(guī)，學生易于著手，但解答完整還需較強的導數(shù)功底及邏輯思維能力，其中找準分類討論的切入點和解決超越方程的“隱零點”是兩個關鍵點；解法4進行等價變形后直接分析新函數(shù)的性質(zhì)，本質(zhì)與解法1相同，但比解法1簡單原因是沒有超越方程的出現(xiàn)，便于解決問題.解法2分離參數(shù)操作簡單，備受學生青睞，直接求分參后新函數(shù)的值域或最值即可，但缺點在于新函數(shù)的最值可能無法求得，需要借助于“洛必達法則”，亦或是新函數(shù)解析式過于復雜，無法進行下去等等；解法3數(shù)形結(jié)合比較直觀，唯一零點找臨界可用切線法，但需要有較強的圖形分析能力.

由函數(shù)零點的唯一性進而可以拓展到求函數(shù)零點個數(shù)問題，其基本解決途徑如上，在做題過程中，對該四種解法的綜合評估、確定最優(yōu)解法的過程其實也是提高學生分析問題、解決問題、落實數(shù)學核心素養(yǎng)的途徑.只要用心思考、靈活轉(zhuǎn)換，抓住導數(shù)性質(zhì)這一有力工具，則函數(shù)零點個數(shù)問題將不再是難題.