例析三角函數(shù)中ω的取值范圍問題

江蘇省海門中學(xué) (226100) 姜敏華

在三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)中，經(jīng)常會(huì)遇到求ω的取值范圍的問題，學(xué)生處理起來存在一定的困難，不知道如何等價(jià)轉(zhuǎn)化問題的已知條件，造成求解范圍不準(zhǔn)確.本文將針對(duì)這一類型的問題確定條件的類型以及相應(yīng)的求解策略.

1.零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定

已知三角函數(shù)區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，需要根據(jù)區(qū)間的范圍確定具體的零點(diǎn)進(jìn)而確定ω的取值范圍.類似的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)還可以變?yōu)闃O值點(diǎn)個(gè)數(shù)，對(duì)稱軸的條數(shù)，對(duì)稱中心的個(gè)數(shù)等處理的方法相同.

分析：采用整體思想，即在任意長(zhǎng)度為定值的區(qū)間上，函數(shù)的零點(diǎn)至少有兩個(gè)，至多3個(gè)零點(diǎn)，即找到必含有2個(gè)零點(diǎn)的區(qū)間長(zhǎng)度，含有4個(gè)零點(diǎn)的最小區(qū)間長(zhǎng)度.

評(píng)注：對(duì)于區(qū)間長(zhǎng)度為定值的動(dòng)區(qū)間，若區(qū)間上至少含有k個(gè)零點(diǎn)，需要確定含有k個(gè)零點(diǎn)的區(qū)間長(zhǎng)度，一般和周期相關(guān)，若在在區(qū)間至多含有k個(gè)零點(diǎn)，需要確定包含k+1個(gè)零點(diǎn)的區(qū)間長(zhǎng)度的最小值.

2.區(qū)間上單調(diào)性已知

A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0

C.ω≥0 D.ω≤-1

3.圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定

評(píng)注：三角函數(shù)圖象經(jīng)過平移之后與原函數(shù)圖象完全重合，則移動(dòng)的距離必為周期的整數(shù)倍.

評(píng)注：此題可以看作平移后兩個(gè)函數(shù)圖象相交，給定3個(gè)相鄰零點(diǎn)之間的關(guān)系，根據(jù)周期性，只需選擇其中特殊的三個(gè)交點(diǎn)即可.進(jìn)一步還可將問題進(jìn)行變式，如△ABC是鈍角角三角形，是等腰直角三角形，還可以考慮連續(xù)4個(gè)交點(diǎn)組成的四邊形是菱形等.

結(jié)語(yǔ)：解決三角函數(shù)的圖象問題關(guān)鍵是利用整體思想……