對一道2021年高考試題的解法探究

重慶市忠縣中學校 (404300) 張 侶

題目(2021年高考數學全國Ⅰ卷第19題)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

分析：第(1)問利用正弦定理很容易獲證.針對第二問，題目中尚未給出各邊長的具體數據，只根據長度比值來求角的余弦值.由于學生習慣了問題給出具體數據求值，這不免會給學生帶來一定計算困難，存在思維上的障礙.在此，本文對第二問從不同角度出發，獲得了a與c的其中一個關系，進而得到了幾種不同的解法.

圖1

圖2

根據以上解法過程可知，對同一個問題從多角度、多途徑去尋找解決問題的不同方法，可以開拓解題思維，也充分挖掘了該題的價值所在，同時也融合眾多相關的知識與能力，真正達到思維的發散性和創新型，有利于提高學生的數學核心素養.