圓外切四邊形涉及旁切圓的一個性質(zhì)

江蘇省運(yùn)河高等師范學(xué)校 (221300) 胡 穎江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)工業(yè)技術(shù)學(xué)校 (215000) 胡甲維

圓外切四邊形有許多優(yōu)美的性質(zhì)，本文給出的是與它內(nèi)切圓和四個旁切圓相關(guān)的一個性質(zhì).

圖1

如圖1所示，圓外切四邊形ABCD，與四邊形的一邊及它的兩條相鄰邊的延長線都相切的圓稱為四邊形的一個旁切圓，共有四個旁切圓.旁切圓的三個切點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱為這個旁切圓的切點(diǎn)三角形.四邊形的內(nèi)切圓與各邊的切點(diǎn)構(gòu)成的四邊形稱為切點(diǎn)四邊形.設(shè)四個旁切圓半徑依次是r1，r2，r3，r4，相對應(yīng)的四個切點(diǎn)三角形面積依次為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切圓半徑為r，切點(diǎn)四邊形面積為S，則有如下性質(zhì)：

為了證明上面這個性質(zhì)，首先證明一個引理.

圖2

圖3

為了證明上面的引理，先給出并證明下面幾個結(jié)論.

結(jié)論1 如圖3，兩個切點(diǎn)三角形分別是△DEF和△GHK，則有∠EDF+∠HGK=180°.當(dāng)然也有sin∠EDF=sin∠HGK.

圖4

結(jié)論3O1B·O1C=O1O2·r1，

O2B·O2C=O1O2·r2.

圖5

證明：如圖5，不難看出O1，B，O2，C四點(diǎn)共圓，則∠O1O2C=∠O1BD，由此得O1B·O1C=O1B·O1O2·sin∠O1O2C=O1O2·O1B·sin∠O1BD=O1O2·O1D=O1O2·r1，同理可證O2B·O2C=O1O2·r2.

有了上面的引理，證明本文的性質(zhì)就容易了.我們分兩種情形來說明.

情形1：圓外切四邊形的兩組對邊分別交于一點(diǎn).

圖6

情形2：圓外切四邊形的兩組對邊有一組對邊平行或兩組對邊分別平行.

圖7