利用構造思想解導數綜合題的五個意識

浙江省杭州外國語學校 (310023) 張傳鵬

高中數學新課標中要求教師在教學中要提升學生的數學學科核心素養，即引導學生能夠能從數學的角度看問題,有條理地進行理性思維、嚴密求證、邏輯推理和清晰準確地表達的意識與能力.學生在數學學習過程中進行感悟思想、經驗積累，通過思考內化為自己的東西，所養成的自己獨有的思考和表達問題的一種習慣，就是數學核心素養.本文結合導數章節的教學，談如何利用構造思想去解導數綜合題，在知識解決的同時，如何落實高中數學學科核心素養，從而實現了從關注知識本身到關注學生思維方式的轉變，最終達到學科育人.

一、常規多次構造函數意識

評注：導數是研究函數性質的一個重要工具，在解決不等式證明等問題時，通常需要構造函數，有時候甚至需要多次構造函數.要清楚多次構造函數的目的是什么，不要盲目的進行多次構造.

二、構造利用導數幾何意義的意識

圖1 圖2

三、構造函數解決不等式證明問題的意識

例2 設函數f(x)=ln(1+x)，g(x)=xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的導函數．

(1)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實數a的取值范圍；

(2)設n∈N+，比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n-f(n)的大小，并加以證明．

四、構造零點設而不求的意識

例3 已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna，若不等式f(x)≥1恒成立，求實數a的范圍.

評注：在一些涉及到指數函數、對數函數的問題時，若要求函數的極值點時需要解一些超越方程，但有時是無法解出這些方程的解，此時可以巧妙的借用方程的等價條件，采用設而不求的策略，使得……