函數(shù)與方程思想在解題中的運(yùn)用

李鵬澤

函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想，也是近幾年高考的重要考點(diǎn)，占全卷比例大約為l0%左右，常用函數(shù)和方程的思想去處理不等式、數(shù)列、解析幾何和立體幾何中的問(wèn)題，使問(wèn)題得到轉(zhuǎn)化，從而復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

近幾年函數(shù)與方程的思想在高考試題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解（證明）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值等問(wèn)題;二是在問(wèn)題的研究中，通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的目的。

一、函數(shù)與方程的概念

函數(shù)與方程是兩個(gè)有著密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念，它們之間相互滲透，很多方程的問(wèn)題需要用函數(shù)的知識(shí)和方法去解決，很多函數(shù)的問(wèn)題也需要方程的知識(shí)和方法的支援，函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系，形成了函數(shù)方程思想。因此，函數(shù)與方程思想就是用函數(shù)、方程的觀點(diǎn)和方法來(lái)處理變量或未知數(shù)之間的關(guān)系，從而解決問(wèn)題的一種思維方式，是一種很重要的數(shù)學(xué)思想.

（1）函數(shù)的思想，就是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，集合與對(duì)應(yīng)的思想，去分析和研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像或性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題獲得解決的思想，它是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)、相互聯(lián)系、相互制約的觀點(diǎn)去認(rèn)識(shí)和處理有關(guān)問(wèn)題，它既是一種認(rèn)識(shí)問(wèn)題時(shí)在觀念上的指導(dǎo)，又是一種處理問(wèn)題時(shí)在策略上的選擇。這種思想方法重在對(duì)具體問(wèn)題的變量的動(dòng)態(tài)研究，從變量的運(yùn)動(dòng)變化、聯(lián)系和發(fā)展的角度拓寬解題思路.

應(yīng)用函數(shù)思想解題，確立變量之間的函數(shù)關(guān)系式是一關(guān)鍵步驟，大體可分為下面兩種情況：（1）根據(jù)題意建立變量之間的函數(shù)關(guān)系式，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題;（2）根據(jù)需要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題。

（2）與函數(shù)思想相聯(lián)系的就是方程的思想，是在解決問(wèn)題時(shí)，用事先設(shè)定的未知數(shù)溝通問(wèn)題中所涉及的各量間的制約關(guān)系，列出方程（組），從而求出未知數(shù)及各量的值，使問(wèn)題獲得解決，所設(shè)的未知數(shù)，溝通了變量之間的聯(lián)系，它是對(duì)方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。方程可以看作未知量與已知量相互制約的條件，它架設(shè)了由已知探索未知的橋梁，事實(shí)上，方程的解就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)也可以看作二元方程，通過(guò)方程進(jìn)行研究。方程思想是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系.用方程的思想方法解題，就是要用對(duì)立統(tǒng)一的觀點(diǎn)，分析和研究具體問(wèn)題中的數(shù)量及其關(guān)系，把對(duì)立的已知與未知通過(guò)相等關(guān)系統(tǒng)一在方程中（或構(gòu)造出一個(gè)方程），用求解方程或?qū)Ψ匠绦再|(zhì)的研究使問(wèn)題得以解決。

二、函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用

（1）函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對(duì)函數(shù)當(dāng)y>O時(shí)，就化為不等式，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問(wèn)題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開(kāi)不等式。

（2）數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問(wèn)題十分重要。

（3）解析幾何中的許多問(wèn)題，例如直線與二次曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，需要通過(guò)解二元方程組才能解決.這都涉及二次方程二次函數(shù)的有關(guān)理論.

（4）立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá) 式的方法加以解決。

在近幾年高考中，函數(shù)思想主要用于求變量的取值范圍、解不等式等，方程觀點(diǎn)的應(yīng)用可分為逐漸提高的四個(gè)層次：①解方程;②含參數(shù)的方程的討論;③轉(zhuǎn)化為對(duì)方程的研究，如曲線的位置關(guān)系、函數(shù)的性質(zhì)、集合的關(guān)系;④構(gòu)造方程求解。

縱觀中學(xué)數(shù)學(xué)，可謂是以函數(shù)為中心，以函數(shù)為綱，就帶動(dòng)起了中學(xué)數(shù)學(xué)的“目”。熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)與方程思想解題的基礎(chǔ).善于根據(jù)題意構(gòu)造、抽象出函數(shù)關(guān)系式是用函數(shù)思想解題的關(guān)鍵。

三、學(xué)習(xí)函數(shù)與方程思想應(yīng)注意問(wèn)題

函數(shù)與方程的思想方法，幾乎滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，在解題中有著廣泛的應(yīng)用。運(yùn)用函數(shù)和方程思想，關(guān)鍵是如何產(chǎn)生和形成這兩種思想，因此同學(xué)們?cè)诘诙啅?fù)習(xí)中必須有意識(shí)地培養(yǎng)和形成這種思想，因而在復(fù)習(xí)中應(yīng)切實(shí)做好如下幾點(diǎn)：

（1）深刻理解一般函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練的掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特征，是應(yīng)用函數(shù)思想的基礎(chǔ)，而善于觀察問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，挖掘隱含特性，從而恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)和妙用函數(shù)性質(zhì)及圖像，是實(shí)施應(yīng)用函數(shù)思想解題的關(guān)鍵。

（2）在解答非函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要注意對(duì)問(wèn)題中各元素仔細(xì)地觀察和分析，產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)想，構(gòu)造出相關(guān)的函數(shù)模型，從而使問(wèn)題獲得巧妙地解決。

（3）根據(jù)題目條件列出方程（或構(gòu)造方程），通過(guò)對(duì)方程的研究，從而使問(wèn)題順利地獲得解決。

（4）利用方程解決有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題.

在許多數(shù)學(xué)問(wèn)題中，一般都含有常量、變量或參變量，這些參變量中必有一個(gè)處于突出的、主導(dǎo)的地位，我們稱之為主元，于是就可構(gòu)造出關(guān)于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困擾，解方程的實(shí)質(zhì)就是分離參變量。