基于VaR-TGARCH模型的中證5G通信主題指數實證分析

張 航， 黃 芮， 鄭繼明

(重慶郵電大學 理學院， 重慶 400065)

國內通信行業上市公司股票價格波動受到的影響呈現出先小后大再變小的總體趨勢[1]。2019年6月6日工信部正式發放5G牌照，預示著中國正式進入5G元年。為了能夠很好地評估股票市場的風險性，本文選取了中證5G通信指數作為研究對象。

胡艷妹[2]基于GARCH類模型，運用VaR與CVaR值對中小板市場的風險進行了實證分析，提出了如何降低風險的建議。楊冉冉[3]通過使用計量風險模型——β系數法、現代流行的波動率模型和VaR值理論，對中信證券和華泰證券股票的市場風險性進行研究，提出VaR模型可以用來調節在證券市場中金融產品的發行和交易過程中的風險。劉夢佳[4]以上證綜合指數和深圳成分指數為研究對象，選取最優假設分布GARCH-GED模型進行股市波動溢出效應研究，認為上海和深圳兩個地區的股市之間存在著上海股市對深圳股市的單向波動溢出。

本文的研究對象是中證5G通信主題指數(指數代碼：931079)。該指數以中證全指指數(指數代碼：000985)為樣本空間，選取其產品和業務與5G通信技術相關的上市公司作為指數樣本。截至2021年3月16日，該指數中共包括59只股票，前五大權重股為立訊精密、中興通訊、歌爾股份、三安廣電、兆易創新。本文所有股票數據均來源于同花順軟件(版本號：v8.80.16)，建模分析軟件為Eviews軟件(版本：9.0)。

1 模型簡介

1.1 ADF檢驗

時間序列的平穩性是均值模型建立的前提，下面簡要介紹經典的ADF檢驗[5]。

假設某一時間序列收益率{rt}的不確定性部分可以由過去的p+1期歷史數據描述，即生成過程是服從如下的AR(p+1)過程：

(1-φ1L-φ2L2-…-φp+1Lp+1)rt=at

(1)

對rt進行單位根檢驗的檢驗式為

(2)

以上是不帶截距也不帶趨勢的ADF單位根檢驗，此外根據序列真實的確定性影響機制，還存在帶有截距項和截距趨勢項的單位根檢驗。由于這3類檢驗方法大致相同，根據Eviews軟件可直接得出，不再贅述。

1.2 ARMA模型

ARMA模型也叫移動平均自回歸模型[6]，是自回歸模型和移動平均模型的組合，常用來估計平穩的不規則波動和時間序列季節性變動，能夠有效研究時間序列的波動性。若{rt}序列服從(p,q)階的自回歸移動平均模型，則其ARMA(p,q)模型的表達式為

rt=φ1rt-1+φ2rt-2+…+φprt-p+at-θ1at-1-…-θqat-q

(3)

1.3 ARCH模型及其擴展

(4)

式中：{εt}為均值為0、方差為1的獨立同分布隨機變量序列，通常假定其服從標準正態分布、t分布或者廣義誤差分布(GED分布)等；α0>0,αi≥0(i=1,2,…,p)；at為擾動項；p為ARCH模型的階數。

GARCH模型又稱為廣義ARCH模型，是ARCH模型的拓展，能夠有效減少模型對參數的限制，由Bollerslev發展而來[7]。GARCH(p,q)模型為

(5)

由于GARCH模型的參數限制為正，也就間接地忽略了對稱性帶來的影響，于是為了探求股票市場的非對稱性，ZaKoian提出TGARCH模型[3]，具體形式為

(6)

(7)

若γ≠0，則說明時間序列存在非對稱效應。當γ>0時，若at-1<0，利空消息的沖擊效應為α+γ倍；若at-1<0，利好消息的效應為α倍。若γ<0時，則存在“反杠桿”效應，即利好消息比利空消息沖擊更大。

1.4 VaR模型及其準確性檢驗

根據菲利普·喬瑞的定義，VaR可以簡單表述為[9]：在正常的市場條件下, 給定的置信水平的一個持有時間內某種風險資產的最壞預期損失。在VaR計算中比較簡單且常用的方法是方差-協方差法，該方法基于過去的歷史數據，對分布均值、方差、協方差等參數進行估計，同時對VaR值進行估計。

由于方差-協方差法是參數法，故波動方差模型{εt}的分布假定尤為重要，常用的假定分布為正態分布、t分布和廣義誤差分布(GED)分布[4]。正態分布具有集中性、對稱性、可加性，是一切分布的極限分布；t分布有很強的厚尾性，當其自由度趨于無窮大時，近似于正態分布；廣義誤差分布可以理解為這兩種分布的結合，有著很強的靈活性，在風險度量理論中可以用來衡量一個分布的厚尾特征。

采用隨機序列{εt}服從上述3種分布的TGARCH模型，對中證5G通信主題指數進行建模分析。因此最初就假設收益率序列{rt}服從這3種分布的一種，得出計算VaR的公式[3]為

(8)

式中：Z1-α為給定置信水平α，收益率序列的分位數；Δt為持有收益率序列的時間；ω0為初始資產值；σt為由波動方差模型預測的條件方差序列。本文采用誤差服從上文所述3種分布的TGARCH模型，對中證5G通信主題指數進行建模分析。

為了評價VaR計算的效果，需要對其進行準確性檢驗，目前常用的方法是Kupiec在1995年提出了失敗率檢驗方法[3]，此方法的主要思路是將實際收益率高于VaR值的記成一次“失敗”，實際收益率低于VaR值的記成一次“成功”。通過計算相應的概率來判斷VaR值是否合理。

LR=-2ln[(1-α)T-NαN]+

(9)

當樣本足夠大的時候，LR統計量服從自由度為1的卡方分布。于是若計算出的LR值大于其臨界值，則拒絕原假設，就可以說明該VaR模型無效；同理，若LR值小于其臨界值，則認為通過了準確性檢驗。

2 實證分析

2.1 數據選取

選取中證5G通信主題指數作為樣本(股票指數：931079)，樣本范圍自2019年8月29日到2020年12月31日，總共326組數據，后文中該指數統稱為5G通信指數。

用rt表示第t日的收益率，即Eviews中的{RT}序列，st表示第t日的收盤價，則st-1就是第t-1日的收盤價，收益率定義為

(10)

2.2 收盤價和收益率描述性統計

從圖1和圖2來看，收盤價有兩次短時間急促上升的階段，分別是2020-02-03至2020-02-28以及2020-05-29至2020-07-13，且對數收益率在此期間也呈現出較大的波動性。又選取5G50通信指數(931406)、通信技術指數(931144)、通信設備指數(931160)、CS計算機指數(930651)4個通信行業有關的指數，并建立收盤價波動圖，著眼于這兩個時間段，發現與5G指數呈現相同的現象。

圖1 收盤價波動圖

圖2 對數收益率時頻圖

圖3為收益率的直方圖，通過描述性統計可得收益率序列的偏度為-0.536 496，符合金融序列的有偏性；峰度為5.159 825，相比于標準正態分布，屬于尖峰類型；JB統計量為78.760 45，拒絕原假設，說明不服從正態分布。以上分析得知，5G通信指數序列圖符合一般金融序列“尖峰、厚尾、有偏”的特性。

圖3 收益率描述性統計

2.3 平穩性檢驗

利用SIC信息準則選定滯后階數為零，對收益率序列進行ADF檢驗，由檢驗結果發現無論在1%、5%，10%的置信水平下，3種情況的t統計量均顯著，檢驗的P值都近似為0，因此拒絕原假設，說明收益率序列是平穩的。

2.4 建立TGARCH模型

2.4.1 ARMA模型建立

根據Box-Jenkins ARMA模型定階的步驟[10]，首先對收益率序列進行自相關性檢驗，發現原序列是不存在自相關性的，且ACF和PACF也沒有很明顯的拖尾和截尾趨勢，因此選擇利用信息準測進行定階。選取并建立ARMA(1,1)、ARMA(1,2)、ARMA(2,1)、ARMA(2,2)模型，利用信息準則和系數的顯著性檢驗，最后選定ARMA(1,1)模型作為均值方程。由表1得到具體ARMA(1,1)均值模型的表達式為

rt=0.000 777-0.935 774rt-1+0.986 619at-1。

表1 GARCH(1,1)模型

通過對ARMA(1,1)模型的殘差進行自相關檢驗，發現Q統計量并不顯著，即認定殘差序列是不相關的，因此模型是優良的。

通過對ARMA(1,1)模型殘差平方的自相關檢驗，初步認為收益率序列存在ARCH效應，為了進一步檢驗，選取滯后階數為一階的拉格朗日乘子檢驗法，ARMA(1,1)檢驗結果見表2，Q統計量為8.771 264，P值為0.003 3，故拒絕原假設，即原序列是有異方差性。

表2 ARMA(1,1)異方差檢驗結果

2.4.2 TGARCH模型的建立

由2.4.1節可知，收益率序列存在異方差性，因此可以建立GARCH模型。疫情期間信息對股票的沖擊是不平衡的，因GARCH模型無法衡量股票市場信息的影響效果，預選用非對稱的GARCH衍生模型進行擬合。考慮到預測條件方差方面TGARCH模型要優于EGARCH模型[11]，更有利于VaR模型預測風險，于是選用TGARCH模型建立模型。

根據信息準則和系數的顯著性檢驗，最終選取階數p=1、q=1的TGARCH(1,1)模型，見表3，得到該模型的數學表達式為

表3 TGARCH(1,1)模型

2.5 VaR計算

2.5.1 VaR估計值描述性統計

由2.4.2節可知，收益率序列存在杠桿效應，因此選擇TGARCH模型進行VaR的計算為佳。又因上述模型中隨機序列{εt}是服從正態分布的，再依次建立服從t分布和GED分布的TGARCH(1,1)模型，根據結果的自由度，在給定置信水平為95%和99%下，可以算出它們各自的分位數，見表4。

表4 基于TGARCH模型分位數

得出分位數后，根據式(8)便可以計算出這6種情況的VaR值，并進行描述性統計，得出均值、標準差、最大值、最小值的統計特征，見表5，隨后聯合收益率序列建立波動圖，如圖4所示。

表5 VaR估計值描述性統計

從表5可以看出，在置信水平一定的情況下，3種分布的VaR值相差不大，從3種分布下的波動圖4中可以得出如下結論：①無論是在哪種分布下，99%的置信水平下均比95%置信水平下的預測值更高；②3種分布的圖形走勢都與收益率序列大致相同；③從預測風險值來看，t分布和GED分布在99%顯著性水平下的預測風險值明顯比正態分布的高。

圖4 波動圖

2.5.2 VaR的準確性檢驗

根據2.5.1節的預測波動圖(圖4)可以看出，99%置信水平下的VaR值過高地預測了風險，因此選擇95%置信水平，即顯著性水平為5%，進行VaR的準確性檢驗。

本次檢測的樣本容量T=325，期望失敗天數為T×5%=16.25 d，根據1.4節介紹的失敗率檢驗方法，可以統計出實際失敗天數，并根據式(9)算出3種分布假設下的LR統計值。由表6可知，3種假設分布的LR值均小于臨界值，于是此3種模型均可認定有效。就實際失敗天數來看，TGARCH-t更接近實際情況；就實際失敗率方面，TGARCH-N和TGARCH-GED實際失敗率均大于5%，過高地預測了風險。

表6 VaR回測檢驗結果

最后綜合考慮，確定基于t分布的TGARCH模型為最優擬合模型。

3 總結與建議

選取中證5G通信指數作為研究對象，通過對收益率序列進行描述性統計，發現5G指數具有“尖峰厚尾、有偏”等特性。結合序列特性，建立ARMA(1,1)模型和GARCH(1,1)模型，并很好地擬合了數據；建立TGARCH(1,1)模型，通過非對稱項系數確定收益率存在杠桿效應，且好消息的沖擊比壞消息的沖擊要大，這也一定程度上解釋了疫情穩定期階段股票迅速上升的原因。

VaR風險計算方面，通過對預測風險值的描述性統計，發現基于TGARCH模型下，不同分布計算出來的VaR值整體差異性是不大的。VaR回測檢驗結果是優良的，且通過了Kupiec檢驗，并且95%顯著性水平下的實際失敗率都是在可接受范圍內的，最后結合LR統計值和實際失敗率，認為TGARCH-t模型預測效果最好。由于本文關于VaR的計算采用的是參數法，對分布的要求較高，后續還可以嘗試用非參數法進行風險值的計算。