基于Copula-GARCH模型的原油市場和股票市場相關性研究

宋雪蓮

(上海理工大學 管理學院， 上海 200093)

原油是基礎能源和重要的工業生產原料，對促進工業發展起到巨大的作用。隨著全球金融體系的快速發展，原油期權、期貨、其他衍生品等金融工具的開發，原油市場更加金融化。人們將原油視為虛擬資本的投資替代品，并且不斷增加對原油期貨等產品的投資份額[1]。這使得原油價格的波動不僅是對宏觀經濟變量的外來沖擊，而且增加其他金融市場的系統性金融風險。在金融領域中，股票被稱為市場經濟發展的“晴雨表”。在市場有效的前提下，股票扮演著市場經濟預測的角色，其價格是金融研究的重要信息變量之一。因此，原油市場與股票市場之間有密切的聯系。

1 文獻綜述

近年來隨著全球對原油需求量的增加，使其在經濟發展中占據越來越重要的地位。經濟的增長在一定程度上推動原油價格的上漲，原油價格的增長會進一步抑制經濟的發展。而股票市場不僅可以很好地反映經濟發展的現狀，還可以傳遞重要的經濟信息。因此，越來越多的學者重點考察原油市場與股票市場之間的相關關系。

國外的研究最早可以追溯到1983年，Hamilton提出在第二次世界大戰之后，油價的上漲是導致美國經濟衰退的主要因素[2]。Ciner采用非線性格蘭杰因果檢驗的方法證實了股票市場與油價之間的非線性關系的存在，而且兩者之間的關系在20世紀90年代變得更加牢固[3]。國際原油市場與不同國家的股票市場的相關性有顯著的不同。Nguyen和Bhatti采用Copula方法研究中國和越南的股票市場對油價波動的敏感程度，發現原油市場與中國股票市場之間的相關性并不顯著，但是和越南股票市場之間存在著較強的相關性[4]。Conrad等研究宏觀經濟環境的變化對原油市場和股票市場波動性和相關性的影響。研究發現在經濟長期強勁擴張期間油價和股票市場出現負相關關系，在經濟衰退和復蘇期間兩者呈現出正相關[5]。

但是也有學者認為油價與股票市場之間不存在相互影響或者兩者之間的相關關系并不顯著。Jammazi和Aloui將小波分析和馬爾可夫切換向量自回歸模型(MS-VAR)方法相結合，研究在1989年1月至2007年12月，原油價格沖擊對英國、法國和日本的股票市場收益的影響，結果表明在經濟衰退時期，原油價格的波動不影響英國和法國的股票市場[6]。

中國對原油價格與股票市場相關性的研究起步較晚。諸葛尚琦等發現雖然國際原油價格與中國股市之間不存在Granger因果關系，但是通過構建VAR模型可以證明國際油價的波動與中國股票市場的波動之間存在長期的協整關系[7]。朱小能等采用移動平均法從國際原油價格中提取油價趨勢因子，以此來分析油價的波動對“一帶一路”沿途35個國家的股票市場的影響，結果表明國際原油價格的波動對不同國家股票市場的影響是非對稱性的[8]。但是，金洪飛等以2003—2006年國際原油價格和中美兩國股票市場的日數據為樣本，通過構建二元GARCH模型和VAR模型，得出國際原油價格的波動不會對中國股票市場產生任何影響的結論[9]。

2 Copula-GARCH模型構建與評價

Copula-GARCH模型中不同的變量可以選擇不同的條件邊緣分布，這不僅優于一般的傳統線性模型，而且在實際應用中更具有靈活性。所以采用GARCH模型描述兩個金融時間序列的條件邊緣分布，并用合適的Copula函數連接概率積分變換后的新序列，從而刻畫兩個序列之間的相關關系。

2.1 邊緣分布模型的構建

由于金融時間序列的條件分布具有高峰、厚尾、時變、偏斜、波動群集等特征，t分布能夠很好地刻畫這些序列的分布特性，并且大量實證研究表明，GARCH(1,1)、GARCH(2,1)、GARCH(1,2)模型已經可以充分描述金融市場收益率序列的變化和波動。所以采用GARCH(1,1)-t模型擬合序列的條件邊緣分布。GARCH(1,1)-t模型表示為

(1)

式中：μ表示收益率Rt的均值；ht表示εt的條件方差，α≥0,β≥0；t(ν)表示自由度為ν的標準t分布；收益率Rt是Xt的函數，Xt和Rt同分布；It-1為t-1時刻的信息集。

2.2 Copula函數的建立

2.2.1 常相關Copula函數的表達式

1)二元Normal-Copula函數

C(u,v;ρ)=

(2)

式中：u和v分別為股票市場和原油市場的日收益率；ρ為相關參數，ρ∈(-1,1)；φ-1為標準正態分布函數的逆函數。

2)二元t-Copula函數

(3)

3)二元Gumbel-Copula函數

Gumbel-Copula函數的生成元φ(t)=(-lnu)δ，函數表達式為

(4)

式中，δ為相關參數，δ∈[1,+∞)。

4)二元Clayton-Copula函數

Clayton-Copula函數的生成元φ(t)=t-θ-1，函數表達式為

(5)

式中，θ為相關參數。

5)二元Frank-Copula函數

Frank-Copula函數的生成元φ(t)=

(6)

式中，λ為相關參數。

6)二元Symmetrised Joe-Clayton(SJC-Copula)函數

(7)

式中：κ=1/log2(2-τU)；γ=-1/log2(τL)；τU和τL分別為上尾相關系數和下尾相關系數。

2.2.2 時變相關的Copula函數表達式

1)二元時變 Normal-Copula函數

二元時變Normal-Copula函數與二元Normal-Copula函數形式相同，如式(2)所示，但是，式中的參數ρ是一個時變的相關參數，一般形式為

(8)

2)二元時變SJC copula函數

CSJC(u,v;τU,τL)=0.5[CJC(u,v;τU,τL)+

CJC[1-u,1-v;τU,τL)+u+v-1]

(9)

2.3 Copula模型的評價

為了檢驗模型的擬合效果，判斷該模型是否能夠描述變量間的相關關系，將極大似然值、赤池信息準則(AIC)、歐式距離等方法作為Copula模型擬合優度的評價指標。首先計算極大似然函數值和AIC值，如式(10)所示。其中LLF表示對數似然函數，k表示Copula模型中參數的個數。然后計算經驗Copula函數和擬合Copula函數之間的歐式距離。最后通過比較三者數值的大小選擇最優的Copula模型。AIC值越小，擬合效果越好；歐式距離越小，擬合度越高；極大似然函數值越小，對應的Copula模型越合適。

AIC=2k-2×LLF

(10)

2.4 Copula模型的相關性度量

表1 常相關Copula模型的上尾相關系數和下尾相關系數表達式

3 股票市場和原油市場相關性的實證研究

3.1 數據選取和統計性描述

表2 NASDAQ和WTI收益率序列的描述性統計量

圖1 NASDAQ和WTI收益率的時序圖

3.2 GARCH邊緣分布模型的構建

首先采用ADF單位根檢驗方法對收益率序列進行平穩性檢驗，結果表明兩個序列均是平穩的。然后對收益率序列進行自相關檢驗，發現存在序列自相關。因此，在均值方程中加入ARMA項，并且在此基礎上對兩個序列的殘差項進行ARCH-LM檢驗，發現F統計量和LM統計量對應的P值均小于0.05，即序列具有條件異方差特性。所以采用GARCH模型描述NASDAQ和WTI收益率序列的邊緣分布是合理的。經過多次嘗試， GARCH(1，1)-t模型擬合NASDAQ和WTI收益率序列的邊緣分布效果最好，采用極大似然估計法對模型進行估計，結果見表3。

表3 邊緣分布的參數估計和檢驗結果

表3中的待估參數均通過了顯著性檢驗。根據以上數據可以得到各個擬合模型的標準化殘差序列。首先對殘差序列做Ljung Box檢驗，得到的Q統計量說明了該序列和平方序列均不存在自相關，即變換后的各個序列是獨立的。接著對殘差序列做ARCH-LM檢驗，得到的檢驗統計量TR^2表明該序列均不存在異方差性。然后對標準化殘差序列做概率積分變化，得到新的序列，并且對新序列進行K-S檢驗，檢驗變換后的序列是否服從(0，1)上的均勻分布。表3中的K-S概率值均大于0.1，則概率積分變化后的新序列服從(0，1)上的均勻分布。所以采用以上GARCH(1，1)-t模型擬合NASDAQ和WTI收益率序列的條件邊緣分布是合理的。最后分別畫出殘差序列的分布和對應t分布的分位數對比圖(Q-Q圖)，如圖2所示。該分位數圖直觀地表明了采用上述模型擬合邊緣分布的效果良好。

圖2 條件邊緣分布模型的擬合度Q-Q圖

另外自由度ν和t分布與尾部形狀密切相關。通過表3估計的參數可以發現，NASDAQ收益率序列的自由度比WTI收益率序列的自由度小，則NASDAQ收益率序列具有更大的尾部，其收益率出現極端值的概率比WTI收益率序列出現極端值的概率大。

3.3 常相關Copula函數的選取與模型估計

對以上邊緣分布模型的標準化殘差進行概率積分變換可以得到新序列，分別采用二元Normal-Copula函數、t-Copula函數、Gumbel-Copula函數、Clayton-Copula函數、Frank-Copula函數和SJC-Copula函數描述新序列之間的相關結構。采用極大似然估計法估計Copula函數的參數，結果見表4。

表4 常相關Copula模型的相關參數估計值

從表4中可以發現，Gumbel-Copula模型的歐式距離、極大似然值和AIC值均是最大的，即擬合效果最差，其次是Clayton-Copula模型。由于這兩個模型可以較好地描述不對稱的尾部相關性，所以NASDAQ和WTI收益率序列的相關關系具有一定的對稱性。同時，結合上述模型評價指標可以看出，t-Copula模型的擬合效果最好，并且優于Normal-Copula模型，這說明兩個收益率序列具有較厚的尾部。t-Copula模型的相關性度量指標的數值均大于零，則NASDAQ和WTI收益率序列之間具有正相關的關系，WTI原油價格上升會導致NASDAQ股價上漲，NASDAQ股價下跌會導致WTI原油價格降低。由于尾部相關性大于零，所以其中一個市場的價格飆升或者驟降會對另一個市場產生影響。圖3為二元t-Copula函數的分布函數圖和密度函數圖。

圖3 二元t-Copula函數的分布函數圖和密度函數圖

SJC-Copula模型中的上尾相關系數略大于下尾相關系數，說明NASDAQ和WTI收益率序列的相關關系中存在略微的不對稱性。以上常相關Copula模型只是描述變量間的靜態相關關系，由于金融市場之間的相關關系具有一定的時變性，所以接下來采用時變相關的Copula模型研究股票市場和原油市場之間的動態相關性。

3.4 時變相關的Copula模型的參數估計

基于GARCH邊緣分布模型的擬合結果，構建時變相關的Normal-Copula模型和時變相關的SJC-Copula模型。模型的相關參數見表5。

表5 時變相關的Copula模型的相關參數估計值

觀察時變相關的Normal-Copula模型的參數可以發現：持續性參數β幾乎接近零，這說明t-1時刻的參數值βt-1對t時刻的參數值βt沒有顯著的影響；外生變量參數α較大說明收益率序列之間的相關系數容易受到外生變量的影響。

對比表5中的兩個模型可以發現，NASDAQ和WTI收益率序列存在正的相關性。動態模型相關系數的一階滯后項擬合系數β都為不為零，這意味著兩個序列的相關關系具有一定的持續性。時變相關的SJC-Copula模型對應的AIC值和極大似然值較小，所以采用該模型擬合NASDAQ和WTI收益率序列的相關關系的效果較好。

比較表4和表5中的AIC值可以發現時變相關的Copula模型的擬合度優于靜態的Copula模型，即采用動態Copula模型能更好地描述該序列之間的相關性。根據時變相關的Normal-Copula和SJC-Copula模型相關參數繪制時變圖，如圖4、圖5所示。

圖5 時變相關的SJC-Copula函數相關參數的時變圖

由圖4可知，NASDAQ和WTI收益率序列的相關關系具有一定的時變性，圍繞著某一固定值上下波動，并且總體上呈現出增長趨勢。其中在2008年里相關性表現為先大幅度跌至最低點，之后又上漲并達到最大值，出現這種大幅度波動說明了兩個序列之間的關聯機制變化性強，不確定性高。究其原因是受到全球金融危機和美國次貸危機的影響。在金融危機發生前，美國通貨膨脹嚴重，股票市場和原油市場之間存在著過剩的流動性，導致了投機需求大量增加，從而打破了兩個市場之間的聯動性，降低了股票市場對原油市場的沖擊，具體表現為兩者的相關系數降低到-0.4左右。但隨著美國次貸危機的爆發，市場流動性急劇收緊，股票市場中的恐慌情緒加速蔓延，金融傳染機制的跨市場風險擴散使得兩個市場之間的聯動效應更加明顯，相關系數增加到0.4的水平。之后隨著美國經濟的不斷復蘇，原油市場所表現出的“金融屬性”逐漸降低，兩個市場中的投資需求都有所減弱，經濟基礎層面的傳統關聯機制再次顯現，表現為相關系數在較高的水平上小范圍波動。

由圖5可知，下尾相關系數大于上尾相關系數，意味著NASDAQ和WTI收益率之間的相關結構具有不對稱性，并且同時出現極端值下跌的可能性更大。與時變的SJC-Copula模型的上尾相關系數曲線相比，下尾相關系數曲線較為稠密且波動幅度更大，說明兩個市場的相關性在市場低迷的時候更大，下尾相關系數更容易受其他因素干擾，表現得更加敏感。

4 結論

通過構建Copula-GARCH模型研究國際原油市場和美國股票市場的相關性，基于2000年8月23日至2021年2月19日的NASDAQ股指和WTI原油價格的收益率序列進行實證分析。首先采用GARCH(1,1)-t模型估計各收益率序列的邊緣分布，然后構建常相關和時變相關的Copula模型刻畫兩個市場之間的靜態和動態相關關系，最后將AIC值、極大似然值和歐式距離作為評價指標以檢驗模型的擬合效果，選擇最合適的Copula函數。

GARCH(1,1)-t模型可以較好地擬合具有偏斜、厚尾、尖峰等特性的NASDAQ收益率序列和WTI收益率序列的條件邊緣分布。在研究靜態的Copula模型時發現采用t-Copula模型描述該序列之間的相關關系時擬合效果最好。兩個序列之間存在正的相關關系，并且相關結構具有一定的對稱性，兩者的相關關系在尾部變化時表現得更明顯，即股票(原油)價格發生驟變時，會使得原油(股票)價格在短時間內發生同樣的變化。之后通過時變Copula函數中相關參數的變動描述兩個市場之間的動態相關關系。國際原油市場和美國股票市場之間的相關關系具有一定的時變性，時變相關的Copula模型比常相關Copula模型的擬合效果更好，且時變相關的SJC-Copula模型擬合效果最優。雖然上尾相關系數和下尾相關系數的走勢大體相同，但是下尾相關系數大于上尾相關系數，說明價格同時出現極端下跌的可能性更大，即一個市場的價格下跌對另一個市場的影響大于價格上漲對另一個市場的影響。動態尾部的研究對于金融市場的風險管理具有指導意義，有助于市場監管部門認清市場走向，當出現下尾相關系數大于上尾相關系數時，提前規避風險，降低油價波動對股市的沖擊。

重點研究美國股票市場和國際原油市場之間的相關性的原因是美國股票市場和國際原油市場之間的關聯特征具有代表性和典型性。由于中國長期實行平滑模式的自主石油定價機制，在一定程度上阻礙了國內原油市場與國際原油市場的信息傳導，使得油價調整不同步，從而導致國際原油市場與中國股票市場脫節，相關性很低。但隨著中國經濟的高速發展，工業化進程的加快，對原油的需求量日益增加，成品油定價和交易機制的改革以及股票市場結構的優化，股指期貨制度體系的健全，風險監管機制的加強，國際化的進程加快，中國股市更加成熟和完善，研究他國股市和國際原油市場之間的互動規律和關聯機制可以給中國未來的兩個市場之間的風險規劃和協調發展提供很好的參考和借鑒。