基于級聯四波混頻過程的量子導引*

翟淑琴 康曉蘭 劉奎

1) (山西大學物理電子工程學院, 太原 030006)

2) (山西大學光電研究所, 量子光學與光量子器件國家重點實驗室, 太原 030006)

多組份量子導引是一種重要的量子資源, 是安全量子通信網絡的基礎.本文設計了串聯級聯四波混頻和混合級聯四波混頻兩種不同的方案, 并基于這兩種方案分別產生了三組份量子導引和五組份量子導引, 通過構建系統量子態的協方差矩陣, 理論研究了兩種方案產生不同模式組合間的導引參數隨四波混頻過程振幅增益的變化.結果表明, 利用這兩種方案可以實現多種類型的量子導引, 這一結果不僅有助于理解量子導引在多組份系統的分布而且在實際的安全量子通信網絡、量子秘密共享中具有重要的意義.

1 引 言

在量子光學領域, 量子關聯突破了經典力學局域性的限制, 能描繪遠距離量子系統間的相互作用, 是量子信息處理過程中一種重要的資源.量子非局域性有三種表現形式: 貝爾非局域性[1]、量子導引以及量子糾纏[2], 其中量子導引描繪的是共享一對糾纏粒子的兩體系統中的一方通過對他手中的粒子進行測量可以推測另一方粒子所處的狀態[3?5].量子導引是介于貝爾非局域與量子糾纏之間的一種特殊的量子關聯, 具有天然的不對稱性[6?10], 這對單端設備無關的安全量子通信[11?18]、量子秘密共享[19]等的實現是非常重要的.

多組份量子導引可以通過分束器網絡、光學頻率梳系統以及非線性過程產生.何瓊毅研究小組[20,21]利用線性光學分束器網絡實現了連續變量四模以及八模量子導引、利用光學頻率梳系統實現了十六模量子導引[22].山西大學光電研究所利用兩個非簡并光學參量放大器(NOPA)產生了連續變量四組份方形cluster糾纏態光場, 并對輸出模式間的導引特性以及單配性關系進行了實驗驗證[20], 他們在利用NOPA產生雙模壓縮態的基礎上通過引入損耗, 實驗驗證了量子導引單向性的操控[23].產生量子導引的另一個有效的方法是基于銣原子的四波混頻過程.華東師大的李思謹[24]應用四波混頻過程實現了多光束糾纏態的制備, 理論上應用四波混頻實現了真空場中的三光束糾纏和四光束糾纏, 并且實驗上應用級聯四波混頻過程制備出了三光束糾纏態以及四光束糾纏態.四波混頻效應具有強的非線性特性以及空間多模等特性[25],在沒有腔的情況下, 不發生模式選擇, 可以產生空間多模雙光束[26].此外, 原子介質可以作為一個量子存儲器有效地存儲窄帶寬的糾纏光子[27?29].因此, 利用級聯四波混頻過程制備量子多光束糾纏態具有廣闊的應用前景.本文基于四波混頻過程設計了串聯級聯四波混頻和混合級聯四波混頻兩種不同的方案, 分別實現了三組份以及五組份量子導引, 雖然后者與前者相比輸出光束只增加了兩個,但豐富了量子導引的種類, 這對安全量子網絡的構建具有重要的意義.

本文的結構設計如下, 第二部分介紹了量子導引的判定依據, 第三部分基于設計的模型理論分析了輸出光束的協方差矩陣關系式, 第四部分研究了兩種模型輸出光束間的導引特性并進行了分析, 第五部分是對本文研究工作的總結.

2 量子導引特性的判定

通過量子態的協方差矩陣可以量化輸出光模之間的導引特性.兩組份系統A (對應用戶Alice)及B (對應用戶Bob), 其中A中有m個模式,B中有n個模式, 可以用 ( mA+nB) 來表示, 則A,B系統的高斯量子態的協方差矩陣可以表示為

系統 A (Alice) 對系統 B (Bob) 的導引能力可以通過下式進行量化[30]:

式中 σAB表示兩體量子態的協方差矩陣,(j=1,···,nB) 表示矩陣=B-CTA-1C 的辛本征值.當 GA→B(σAB)＞0 時, 系統 A (Alice) 可以導引系統 B (Bob) .同樣, 系統 B (Bob) 對系統A(Alice)的導引能力可以通過式子

來量化.當 GA→B(σAB)＞ 0 , 且 GB→A(σAB)＞0 , 但此時, 系統A可以導引系統B, 系統B也可以導引系統A, 但兩者間的導引能力不同, 體現出量子導引的不對稱性; 當系統A可以導引系統B, 但系統B不可以導引系統A, 或當系統B可以導引系統A, 但系統A不可以導引系統B, 此時體現出量子導引的單向性.

3 理論模型

3.1 方案一: 基于串聯級聯四波混頻的三組份量子導引

在四波混頻過程中, 泵浦光和信號光注入到銣原子蒸汽池中, 在泵浦光的作用下發生四波混頻效應產生一對糾纏關聯光束, 這一過程滿足能量守恒和動量守恒, 依據四波混頻過程中的相互作用哈密頓量以及光模在海森堡表象下的運動方程, 可以寫出輸出光模與輸入光模之間的關系式.

圖1(a)為兩個四波混頻串聯級聯產生三組份量子導引的方案圖.如圖所示, 信號光和泵浦光注入到第一個銣原子蒸汽池中, 經過第一個四波混頻過程后產生一對糾纏光束, 第一個四波混頻對應的輸出輸入光模滿足下式:

圖1 (a)串聯級聯四波混頻產生三組份導引示意圖.是 信號光注入; 是真空模; P ump 是泵浦光注入.(b)混合級聯四波混頻產生五組份導引示意圖. 是信號光注入; 是真空模; P ump 是泵浦光注入; G i 為相應的四波混頻過程的振幅增益Fig.1.(a) Schematic of generating tripartite steering using series four-wave mixing (FWM)processes. is the seed input; and are the vacuum modes; P ump is the pump input.(b)Schematic of generating quinquepartite steering using hybrid cascaded FWM processes. is the seed input;and are the vacuum modes; P ump is the pump input; G i is the amplitude gain of the corresponding FWM processes.

其中 G1為第一個四波混頻過程的振幅增益, G1與g1滿足關系式 接著,作為第二個四波混頻過程的信號光注入到第二個銣原子蒸汽池后產生一對糾纏光束用同樣的方法可以寫出第二個四波混頻過程所對應的輸出光模的表達式.

3.2 方案二: 基于混合級聯四波混頻的五組份量子導引

圖1(b)為四個四波混頻過程混合級聯產生五組份量子導引的方案圖.如圖所示, 信號光和泵浦光注入第一個銣原子蒸汽池中, 經過第一個四波混頻過程后產生一對糾纏光束它們又分別作為第二個和第三個四波混頻過程的信號光注入,產生兩對糾纏光束接著作為第四個四波混頻過程的信號光注入到第四個銣原子蒸汽池后產生糾纏光束最終產生五模輸出基于上面的理論分析,該模型輸入輸出模的關系可以寫作其中

4 結果分析

4.1 方案一: 基于串聯級聯四波混頻的三組份量子導引特性分析

根據串聯級聯四波混頻方案, 利用導引判據(2)可以研究不同輸出模組合間的量子導引特性.圖2為(1 + 1)型導引, 在圖2(a)中, 取 G2=1.5 , 研究了 A1, C1之間以及 B1, C1之間導引參數隨 G1的變化, 在圖中的整個取值范圍內 B1, C1之間的導引是雙向不對稱的, A1, C1之間的導引是單向的.在圖2(b)中, 取 G1=1.5 , 研究了 A1, C1之間以及B1, C1之間的導引參數隨 G2的變化.由圖2(b)可以看出, 當 1 ＜G2＜1.25 時, 可以實現 A1, C1之間不對稱雙向導引, 此時, C1→B1單向導引; 當G2＞1.25 時, 可以實現 B1, C1之間不對稱雙向導引, 此時, C1→A1單向導引, 且 B1, C1之間的導引參數隨 G2的增大而增大, 這是因為增大第二個四波混頻的振幅增益增強了 B1, C1之間的量子關聯; A1, C1之間的導引參數隨 G2的增大而減小,這是因為光束 C1是來自于第一個四波混頻過程FWM1產生的信號光經過第二個四波混頻過程FWM2放大產生的, 這一過程引入了額外的噪聲使得 A1, C1之間的關聯減弱.從圖2(b)可以看出當 C1作為被導引的一方時, GA1→C1＞0 ,GB1→C1＞0 不能同時成立, 即兩個不同的系統不能同時導引第三個系統[31,32], 驗證了量子導引的單配性關系.

圖2 (a) G 2=1.5 時(1 + 1)型導引參數隨 G 1 的變化; (b) G 1=1.5 時(1 + 1)型 導引參數隨 G 2 的變化Fig.2.(a) The (1 + 1)-type steering parameters versus with G 1 for fixed G 2=1.5 ; (b) the (1 + 1)-type steering parameters versus with G 2 for fixed G 1=1.5 .

圖3 給出了(2 + 1)型及(1 + 2)型導引, 并比較了與(1 + 1)型導引的關聯.圖3(a)及圖3(b)為 G2=1.5 時導引參數隨 G1的變化關系, 可以看出, (2 + 1)型以及(1 + 2)型的導引能力大于(1 +1)型的導引能力.圖3(c)及圖3(d)為 G1=1.5 時導引參數隨 G2的變化關系, 同樣, (2 + 1)型以及(1 + 2)型的導引能力均大于(1 + 1)型的導引能力, 這表明此種情況下多光束之間的聯合量子導引優于兩路單光束間的導引, 為多用戶間量子網絡秘密共享提供了基礎.

圖3 (a) G 2=1.5 時, (2 + 1)型導引參數隨 G 1的變化; (b) G 2=1.5 時, (1 + 2)型導引參數隨 G 1 的變化; (c) G 1=1.5 時,(2 + 1)型導引參數 隨 G 2 的變化; (d) G 1=1.5 時, (1 + 2)型導 引參數隨 G 2 的變化Fig.3.(a) The (2 + 1)-type steering parameter versus with G 1 for fixed G 2=1.5 ; (b) the (1 + 2)-type steering parameter versus with G 1 for fixed G 2=1.5 ; (c) the (2 + 1)-type steering parameter versus with G 2 for fixed G 1=1.5 ; (d) the (1 + 2)-type steering parameter versus with G 2 for fixed G 1=1.5 .

4.2 方案二: 基于混合級聯四波混頻的五組份量子導引特性分析

基于方案二產生的五個輸出模, 我們分析了不同模式組合與 E2之間的導引關系.

兩模聯合對 E2的導引情況如圖4所示.圖4(a)分析了(2 + 1)型導引, 并比較了與(1 + 1)型導引的關聯, 將 C2D2→E2, C2→E2以及 D2→E2的導引作了對比.可以看出,且不能同時成立.圖4(b)分析了(2 + 1)型導引, 將不同的兩模聯合對 E2的導引情況作了對比.可以看出,不能同時成立,不能同時成立,驗證了兩個不同的系統不能同時導引第三個系統[31,32].從圖4(b)同時可以看出, 經過一定的閾值條 件 后,隨 G4的增大而增大, 這是因為它們的關聯主要是來自于同一個四波混頻FWM4產生的 D2和 E2之間的關聯, 因此增加第四個四波混頻過程的振幅增益, 導引參數增大;隨 G4的增大而減小, 直至零, 這是因為它們的關聯主要是來自于 C2和 E2的關聯, 光束 E2是第三個四波混頻過程FWM3產生的光束經過第四個四波混頻過程FWM4放大產生的, 這一過程引入了噪聲, 因此隨著 G4的增大 C2和 E2之間的關聯變小.

圖4 G 1=G2=G3=1.5 時, (2 + 1)型導引參數隨 G 4 的變化 (a) ( C2D2) 聯合導引 E 2 以及 C 2 , D 2 單獨對 E 2 的導引;(b)多種類型兩模聯合 ( A2C2,A2D2,B2C2,B2D2) 導引 E2Fig.4.The (2 + 1)-type steering parameters versus with G 4 for fixed G 1=1.5 , G 2=1.5 , G 3=1.5 : (a) E 2 can be steered by(C2D2) jointly and E 2 can be steered by C 2 , D 2 individually; (b) E 2 can be steered by different modes combination(A2C2,A2D2,B2C2,B2D2) jointly.

如圖5所示, 將 E2作為導引的一方, 研究了(1 +2)型導引, 并比較了與(1 + 1)型導引的關聯.圖5(a)研究了 E2→A2D2, E2→A2以 及E2→D2的導引情況, 可以看出, 在整個 G4取值范圍內,, 而說明E2導引 A2D2聯合的能力大于對單方的導引能力.圖5(b)研究了 E2→A2B2, E2→A2以及 E2→B2的導引特性, 可以看出,但意味著只有 A2, B2互相協作才能接收到 E2傳送的信息.

圖5 G 1=G2=G3=1.5 時, (1 + 2)型導引參數隨 G 4 的變化 (a) E 2 對 A 2 , D 2 的導引以及 E 2 對 ( A2D2) 聯 合的導引;(b) E 2 對 A 2 , B 2 的導引以及 E 2 對 ( A2B2) 聯合的導 引Fig.5.The (1 + 2)-type steering parameters versus with G 4 for fixed G 1=1.5 , G 2=1.5 , G 3=1.5 : (a) The steering from mode E2 to individual A 2 , D 2 and the group of them; (b) the steering from mode E 2 to individual A 2 , B 2 and the group of them.

圖6 分析了(3 + 1)型, (1 + 3)型, (4 + 1)型以及(1 + 4)型的導引并比較了與(1 + 1)型的關聯, 同樣也可以看到多模聯合對單模的導引能力大于單模對單模的導引能力.圖6(a)中, 在 G4的整個取值范圍內,隨 G4的增大而增大,而在整個取值范圍內 GA2→E2=0 ; 當 G4∈(1.0,1.15)時,; 當 G4∈(1.35,2.0) 時,當 G4∈(1.15,1.35) 時, 僅存在聯 合模式 (A2C2D2)對單模 ( E2) 的導引, 任何單獨的模式都不能導引 E2(GA2C2D2→E2＞0,GA2→E2=0,GC2→E2=0,GD2→E2=0) , 因此 G4在取值區間 ( 1.15,1.35) , 只有 A2, C2, D2三者相互協作才能導引 E2.圖6(b)表明(1 + 3)型導引也大于單模間的導引.圖6(c)和圖6(d)中, (4 + 1)型以及(1 + 4)型的導引也大于單模對單模的導引.在圖6(c)中可以看到與圖6(a)類似的現象, 此結果對多方聯合量子安全通信網絡的建立具有重要的參考價值.

圖6 G 1=G2=G3=1.5 時, (3 + 1)型、(1 + 3)型、(4 + 1)型以及(1 + 4)型導引參數隨 G 4 的變化關系 (a) ( A2C2D2) 聯合導引 E 2 以及 A 2 , C 2 , D 2 單獨對 E 2 的導引; (b) E 2 對 A 2 , C 2 , D 2 的導引以及 E 2 對 ( A2C2D2) 聯合的導引; (c) (A2B2C2D2)聯合導引 E 2 以及 A 2 , B 2 , C 2 , D 2 單獨對 E 2 的導引; (d) E 2 對 A 2 , B 2 , C 2 , D 2 的導引以及 E 2 對 ( A2B2C2D2) 聯合的導引Fig.6.The (3 + 1)-type、(1 + 3)-type、(4 + 1)-type and(1 + 4)-type steering parameters versus with G 4 for fixed G 1=1.5 ,G2=1.5 , G 3=1.5 : (a) E 2 can be steered by ( A2C2D2) jointly and E 2 can be steered by C 2 , D 2 individually; (b) the steering from mode E 2 to individual A 2 , C 2 , D 2 and the group of them; (c) E 2 can be steered by ( A2B2C2D2) jointly and E 2 can be steered by C 2 , D 2 individually; (d) The steering from mode E 2 to individual A 2 , B 2 , C 2 , D 2 and the group of them.

圖7分析了不同類型的多模聯合對 E2的導引情況, 從圖中可以看到即 導 引的一方聯合的模式越多, 導引能力越強, 這說明四波混頻過程產生的多光束存在著量子關聯, 且出自同一個四波混頻過程的兩束光之間的量子關聯大于不同四波混頻過程產生的光束之間的量子關聯.這些導引特性對實際的安全量子通信具有重要的意義.

圖7 G 1=G2=G3=1.5 時, 多模聯合對 E 2 的導引參數隨 G 4 變 化的比較Fig.7.Comparison of steering parameters of multimode combination for E 2 versus with G 4 for fixed G 1=1.5 ,G2=1.5 , G 3=1.5 .

5 結 論

本文基于四波混頻過程提出了能夠實現多組份量子導引的兩種不同方案, 方案一基于串聯級聯四波混頻過程實現三組份量子導引, 方案二通過混合級聯四波混頻過程實現五組份量子導引, 在實驗可行性參數取值范圍內對兩種模型進行了理論分析, 通過對比發現: 兩種方案都可以通過調節四波混頻過程的振幅增益實現不對稱雙向量子導引以及單向量子導引; 方案一在整個取值范圍內均存在兩模聯合與單模之間的導引以及單模與單模之間的導引, 方案二可以實現在某一取值范圍內僅存在聯合模式與單模之間的導引, 且通過增加四波混頻的個數以及調節級聯四波混頻的結構可以產生更加豐富的量子網絡結構, 這對于單方設備無關的安全量子通信、量子秘密共享等的實現具有一定的參考價值, 此研究結果為安全量子通信提供了可行性方案.