九連環(huán)中的數(shù)學(xué)原理

捌元

今天，寧寧放學(xué)回到家時(shí)，發(fā)現(xiàn)客廳的茶幾上放著一個(gè)奇怪的玩具。為什么說(shuō)是奇怪的玩具呢？因?yàn)檫@個(gè)玩具由九個(gè)相互連接的圓環(huán)組成，套裝在一個(gè)中空的長(zhǎng)形柄中。圓環(huán)與圓環(huán)之間，圓環(huán)與環(huán)柄之間彼此相套，交錯(cuò)相連。

正當(dāng)寧寧拿著這個(gè)奇怪的玩具翻來(lái)覆去地把玩時(shí)，門口傳來(lái)了爺爺中氣十足的吟詩(shī)的聲音：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩解之為二，又合而為一。今有此器，謂之九連環(huán)。”寧寧一看見(jiàn)爺爺，就連忙湊上前去問(wèn)道：“爺爺，您怎么來(lái)了？這玩具是您帶來(lái)的？”爺爺笑呵呵地拿過(guò)寧寧手中的玩具，一邊把玩一邊說(shuō)：“這可不是普通的小玩具，它是中國(guó)杰出的益智玩具——九連環(huán)。”

你會(huì)玩九連環(huán)嗎？

“九連環(huán)？那這個(gè)玩具應(yīng)該怎么玩呢？”寧寧撓撓頭，疑惑地問(wèn)道。

“很簡(jiǎn)單，只要把九個(gè)圓環(huán)從這個(gè)長(zhǎng)柄上解下來(lái)就可以了。”爺爺邊說(shuō)邊給寧寧演示九連環(huán)的拆解方法，“第一個(gè)環(huán)，在任何情況都能夠自由上下。如果某一個(gè)環(huán)在上面的環(huán)柄上，而它前面所有的環(huán)都在下面的環(huán)桿上，那么這個(gè)環(huán)的后一個(gè)就可以放到上面，也可以放到下面。也就是說(shuō)，如果我們想把第九個(gè)環(huán)卸下，那么就要把第八個(gè)環(huán)留在上面的環(huán)柄上，而把前面七個(gè)環(huán)放到下面，進(jìn)而把拆解‘九連環(huán)轉(zhuǎn)變?yōu)椴鸾狻哌B環(huán)。”

爺爺繼續(xù)慢條斯理地總結(jié)道：“因此，要想裝上或者拆下第n個(gè)環(huán)（第一個(gè)環(huán)除外），必須滿足兩個(gè)條件，一是第（n-1）個(gè)環(huán)在環(huán)柄上，二是第（n-1）個(gè)環(huán)前面的所有環(huán)全部不在環(huán)柄上。”

爺爺?shù)脑捄鸵贿B串的展示動(dòng)作讓寧寧的思緒和眼睛都亂了，寧寧連忙打斷了爺爺：“爺爺，這個(gè)九連環(huán)的拆解太復(fù)雜了。”爺爺摸了摸寧寧的頭，笑著說(shuō)：“其實(shí)并不難，你只要記住口訣就行。上倆下一個(gè)，再動(dòng)后一個(gè);上一個(gè)下倆，再動(dòng)后一個(gè)。”

聽了爺爺?shù)脑挘瑢帉幩伎剂艘粫?huì)兒，說(shuō)道：“我好像明白了。”說(shuō)罷，寧寧便拿過(guò)九連環(huán)，坐在沙發(fā)上認(rèn)真地拆解起來(lái)。

可沒(méi)一會(huì)兒，寧寧就拿著拆解了一半的九連環(huán)過(guò)來(lái)向爺爺訴苦：“爺爺，九連環(huán)的拆解好麻煩啊。我要是想完全拆解下來(lái)，需要多少步啊？”爺爺摸著臉上的胡子，故作神秘地說(shuō)：“其實(shí)這個(gè)九連環(huán)的拆解步數(shù)涉及到一個(gè)數(shù)學(xué)原理，把這個(gè)數(shù)學(xué)原理弄懂了，你就能算出解開九連環(huán)所需的步數(shù)。”

聽了爺爺?shù)脑挘瑢帉庮D時(shí)來(lái)了興趣，忙問(wèn)：“爺爺，是什么樣的數(shù)學(xué)原理？”

來(lái)，一起揭曉原理

爺爺拿來(lái)紙和筆，對(duì)寧寧說(shuō)：“你先在紙上畫一個(gè)表格，然后我們一起將解開每個(gè)環(huán)所需的步數(shù)記錄下來(lái)。”

接下來(lái)，爺爺就帶著寧寧開啟了九連環(huán)的探索之旅。

爺爺說(shuō)：“首先，我們假設(shè)環(huán)的數(shù)量為n，解開n連環(huán)所需的總步數(shù)是Sn，解下第n個(gè)環(huán)的步數(shù)為an。當(dāng)環(huán)柄上只有一個(gè)環(huán)時(shí)，Sn=an=1。”

寧寧一邊在表格填上數(shù)字，一邊思考：“環(huán)柄上有兩個(gè)環(huán)的時(shí)候，可以直接將第二個(gè)環(huán)卸下，再卸第一個(gè)環(huán)。因此，當(dāng)n=2時(shí)，an=1，Sn=2。”爺爺向?qū)帉庁Q起了大拇指，稱贊道：“不錯(cuò)，接下來(lái)你可以自己探索了。”

寧寧一邊動(dòng)手拆解九連環(huán)，一邊嘟囔著：“有三個(gè)環(huán)的時(shí)候，如果要卸下第三個(gè)環(huán)，就需要先卸下第一個(gè)環(huán)，再把第三個(gè)環(huán)直接卸下。然后為了解下第二個(gè)環(huán)，需要把第一個(gè)環(huán)套上，再同時(shí)解下兩個(gè)環(huán)。因此，當(dāng)n=3時(shí)，an=2，Sn=5。”

“不錯(cuò)不錯(cuò)。以此類推，我們可以知道要卸下第n個(gè)環(huán)，就需要先卸下前（n-2）個(gè)環(huán)，其總步數(shù)就為Sn-2。這時(shí)，我們?cè)傩枰徊骄涂梢园训趎個(gè)環(huán)解下，所以卸下第n個(gè)環(huán)需要an=Sn-2+1步，而為了解下第（n-1）個(gè)環(huán)，還需要把前面的（n-2）個(gè)環(huán)套上，套上前（n-2）個(gè)環(huán)就需要Sn-2步（因?yàn)檠b上和卸下的步驟正好相反，所以步數(shù)相同）。最后卸下前面（n-1）個(gè)環(huán)需要Sn-1步，所以卸下n個(gè)環(huán)共需要Sn=2Sn-2+ Sn-1+1步。因此，解開九連環(huán)所需要的步數(shù)就是一道數(shù)列題——已知S1=1，S2=2，an=Sn-2+1，Sn=2Sn-2+ Sn-1+1，求Sn（n≥3）。”爺爺接著寧寧的話分析道。

通過(guò)計(jì)算，寧寧求出拆解一個(gè)九連環(huán)需要341步。“這么看來(lái)，拆解九連環(huán)并不難。只是在拆解的過(guò)程中，需要不斷地將環(huán)套上套下，玩家就得傾注耐心，記住步驟。”寧寧感嘆道。

爺爺忙不迭地補(bǔ)充道： “這就是拆解九連環(huán)的關(guān)鍵。九連環(huán)雖然拆解步驟簡(jiǎn)單，但是它出現(xiàn)后卻可以在民間廣為流傳，盛行不衰，這其中，數(shù)學(xué)的魅力功不可沒(méi)呀。”