0.和1，誰更大？

謝曲波

瑞瑞把數學期中考試的試卷往書桌上一甩，氣哼哼地說：“明明就不相等嘛！”在書桌旁看書的爸爸被嚇了一跳，心想：這又是誰招惹他了？爸爸合上書，拿過桌上的數學試卷仔細看了一遍。瑞瑞考得不錯啊，99分，只有一道比較大小的題扣了1分。難道瑞瑞生氣的根源就在這里？爸爸來到瑞瑞的身旁坐下，微笑著詢問：“怎么了？是哪里想不通啊？”

瑞瑞顯然余怒未消，指著試卷上的紅叉說：“0.9和1比較，肯定是1大啊。雖然0.9無限接近于1，但總比1小一點點吧！可我們的老師非說它們是相等的！”

0.9999……=1？

“我覺得你的想法好像有道理啊，那老師是怎么解釋的呢？”爸爸先安撫了一下瑞瑞的情緒，讓他把想說的話全部說出來。

瑞瑞想了想，拿出紙和筆寫了起來。不一會兒，紙上便出現了兩種證明方法。

瑞瑞解釋完這兩種方法后，爸爸繼續追問：“你覺得老師給出的這兩種證明方法有什么問題嗎？”

“問題我倒是看不出來，可我心里就是覺得0.9只是無限接近于1，總差那么一點點。”說完，瑞瑞把大拇指和食指捏在一起。

爸爸知道，上面的證明方法是有問題的。為什么有問題呢？這是因為0.9=0.999……是一個無限循環小數。在數學中，無限循環小數是不能進行加減乘除運算的。不過上邊的結論是正確的，0.9確實等于1。但要小學生理解這個概念，還真有些難度，瑞瑞的老師這樣證明也算是用心良苦了。對于這個結論，可能要等孩子們長大了，學習了高等數學后才能更深刻地理解。

正確的證明方法

有沒有比較直觀的方法能讓瑞瑞更好地理解0.9=1，打消他心中的疑慮呢？爸爸沉思了好一會兒，才問瑞瑞：“如果兩個數不相等，那么它們倆中間是不是一定還存在其他的數呢？”

瑞瑞想了想，肯定地回答：“是的，比如3和4不相等，那么3和4之間就會有像3.1、3.055、3.80009等無數個數。”

“那么，我們反過來想。如果兩個數之間不存在其他數了，是不是就意味著它們其實是相等的呢？”爸爸繼續發問。

瑞瑞思考片刻后，重重地點了點頭。

爸爸不緊不慢地說：“假設存在一個數，它比0.9大，但又比1小。那我們想一想，這個數長什么樣？”

“首先，它的整數部分不可能是1。如果整數部分是1的話，那它就不可能比1小了。”瑞瑞邊想邊說，“所以，它的整數部分只能是0。”

“很好，繼續說下去！”爸爸不失時機地給予瑞瑞鼓勵。

“它的整數部分是0，小數部分全部是9的話，就和0.9一樣大，不會比0.9大。”受到鼓勵后，瑞瑞的語速變快了，“也就是說不存在這樣的數，對嗎？”

“是的，0.9和1之間不存在其他數了，這是不是可以說明它們其實是相等的呢？”

瑞瑞驚嘆道：“真是太不可思議了！直覺告訴我0.9一定比1小，數學卻證明了直覺有時是不可靠的。”

看著瑞瑞興奮的表情，爸爸知道他心中的疑慮已消除得差不多了：“沒錯。在古希臘，曾有許多先賢智者經常討論一些看起來意義不大的問題，如阿基里斯的追烏龜悖論等。因為他們意識到有時候經驗并不真實，而推理和證明才更加可靠。有了這樣的思想，我們才能更好地認識這個世界，更加接近真理！”

有趣的數學事實

不打開繩結、不割斷繩子，可以把左圖中的兩個人解開嗎？

只要瑪麗先抓住自己手上的繩子的中間部分，將其穿過杰克右手的繩圈，方向是從手腕到手掌。隨后，瑪麗將繩子回繞過杰克手掌并伸到手外側，就可以解開繩子了。

看，圖中的三角形后來為什么會空出一格呢？

這是因為紅色三角形和藍色三角形并不相似，所以不能把三角形拼成原樣。我們可以通過計算面積來驗算，假設正方形格子的邊長為1 cm，那么上方拼組圖形的面積為5×2÷2+5×3+8×3÷2=5+15+12=32（cm2）。如果上方拼組圖形是一個三角形，那么面積還可以這樣計算：13×5÷2=32.5（cm2），由此可以知道上方圖形并不是一個三角形。因此，將上方的圖形拼板重新排列后，會空出一格。

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