“新工科”背景下《運籌學》創新思維培養的教學探索與實踐
——從一個課堂討論案例談起

趙金玲， 徐 爾， 孫玉華

(北京科技大學 數理學院，北京100083)

1 引 言

2017年2月18日，教育部在復旦大學召開了高等工程教育發展戰略研討會，討論高校對新時期工程人才培養，探討新工科的內涵特征、新工科建設與發展路徑，形成了“復旦共識”，而后又相繼產生了“天大行動”和“北京指南”，并發布了《關于開展新工科研究與實踐的通知》和《關于推進新工科研究與實踐項目的通知》，探索建立“新工科”建設的新理念、新標準、新模式、新方法、新技術、新文化.

運籌學作為一個應用性和實踐性很強的數學分支，被廣泛應用于經濟管理、軍事、工程技術、社會生產和生活各個領域，因而，運籌學在許多高校被設置為數學類和管理類本科生的必修課，也是一些理工類本科生的通識課和大量理工科研究生的重要選修課.從課程理念來看，運籌學講求“運籌帷幄之中，決勝千里之外”，教學中在將優化思想根植于學生的思維中，建立不斷尋優創優、追求優而更優的主動探索科學精神；從課程應用來看，運籌學與數學、管理學、經濟學、工程技術等多學科深度交叉融合，優化技術亦在機器學習和數據科學中處于核心地位[1-2]，這些特點決定了在“新工科”的背景下，運籌學課程設計模式理念和創新思維培養導向對于理工科人才培養質量的提升起著關鍵性的作用.

早在2006年，胡發勝等介紹了山東大學數學與系統科學學院在運籌學教學中以“掌握理論、強化應用、突出能力”為課程培養目標的改革與探索，通過精選案例、實踐教學、建模競賽、改革考核體系等方式加強學生能力培養[3]；2019年，陳紅兵等探討了運籌學教學改革中的多元化教學模式和考核方式[4]；同年，陳家焱等具體討論了以案例庫建設為載體的運籌學課程教學改革[5].鑒于運籌學是一門應用極為廣泛的交叉學科，在課程教學中注重理論與實踐相結合，以應用性案例為思維啟發點和實踐著陸點目前已得到廣泛認可，許多文獻也進行了這方面的探索.

運籌學不僅是數學類和管理類高年級本科生的必修課，也是工科研究生的一門重要選修課，以北京科技大學為例，每年約有300名理工科碩博士研究生修讀運籌學課程，其中95%以上是工科學生，而在“新工科”的背景下，對創新型工程人才的培養提出了更高的要求.近年來，《高等數學》等課程已形成了一系列關于創新意識培養的教學研究成果[6-8].《運籌學》作為一門應用廣泛的課程，在模型建立和算法講解的過程中，設計適當的教學情境，給學生充分的創造探索空間，讓學生深度參與，既有助于學生增進對所學知識的理解，又有助于激發學生與課程思想內涵之間的共鳴.基于以上想法，本文主要探討“新工科”背景下如何引導學生的運籌優化思維，提升學生的創新思維質量，以《運籌學》課程中教師引導的一次關于共軛梯度法的課堂討論為例，嘗試和探索通過問題驅動、激發頭腦風暴來提升學生的優化創新意識和數學思維質量.案例中以學生為主體、由教師引導和激發學生創造力的創新性討論模式更有利于學生在頭腦中把相關知識“調動”起來，創造性地解決問題和進行理性分析.更為重要的是，這樣讓學生參與討論、提出想法并分析解決問題的過程能夠大大增強課程對于學生創新思維和科學精神的培養和塑造，強化了課程的育人效能.這一模式對于數學類和管理類《運籌學》教學以及其它類似交叉學科課程教學也有著較大的借鑒意義.

2 探索與實踐

《運籌學》課堂教學改革，重在優化思維和創新意識的培養，可針對適當的內容，引導學生發現問題，層層遞進分析解決問題，激發頭腦風暴展開討論，審視方法追求優而益優，從而達到將運籌優化思想根植于學生頭腦和激發創新思維的目的.下面以一次關于共軛梯度法的課堂討論為例來說明.

2.1 引導發現問題

首先引導學生發現以前所學方法的缺點和存在的問題.根據《運籌學》課程內容安排，在講授共軛梯度法之前，已學習了求無約束優化問題minf(x)的最速下降法，其迭代步為：

x(k+1)=x(k)-λk?f(x(k))，

其中λk為一維搜索步長.最速下降法采用當前迭代點xk處的負梯度方向-?f(x(k))作為搜索方向，負梯度方向為該點處函數值下降最快的方向，故而稱為“最速下降方向”.

圖1 最速下降法迭代中的鋸齒現象

2.2 分析解決關鍵問題

不難發現，由于鋸齒現象，最速下降法當迭代點接近極小點時，收斂速度顯著變慢，這就引發了對于新的搜索方向的探索.那么怎樣的搜索方向才更好呢？

定義1[9-10]設Q∈n×n是對稱正定矩陣，若一組非零向量p(1)，p(2)，…，p(m)∈n滿足：對?i，j=1，…，m，i≠j，都有(p(i))TQp(j)=0成立，則稱p(1)，p(2)，…，p(m)相互Q共軛，也稱為Q正交.

從定義可見，Q共軛是通常意義下正交性的推廣，當Q為單位陣，則為通常的正交.不難證明，Q共軛的一組向量必線性無關.

定理1[9-10]設Q∈n×n是對稱正定矩陣，p(1)，p(2)，…，p(n)相互Q共軛，則從任意一點x(1)出發，依次以p(1)，p(2)，…，p(n)為搜索方向的下述算法

x(k+1)=x(k)+λkp(k)，

該定理中的算法實為共軛方向法，其中的精確一維搜索步長λk，對于定理中目標函數

是二次函數的情況，可通過公式

計算而得，與上節所講最速下降法的步長計算類似.定理中所指出的共軛方向法經過至多n次迭代即可獲得二次函數的極小點的性質，稱為“二次終止性”，即，共軛方向法具有二次終止性.

至此，從算法收斂速度來看，共軛方向法具有更好的效率.那么，最為關鍵的就是，如何獲得一組共軛方向呢？

2.3 激發頭腦風暴，深入探討解決方法

圖2 正交與Q共軛

引導學生了解共軛方向在求解目標函數極小點中的重要性，并明確了共軛方向與對稱正定矩陣Q聯系密切之后，一個問題自然而然地產生了：該如何求得或生成一組共軛向量呢？展開課堂討論，一名同學提出：是否可以映射到與Q有關的另一個空間來找方向？這為大家提供了一個思路.于是，已具備線性代數基礎的同學們經過探討得到了如下辦法：由于矩陣Q對稱正定，可將之分解為Q=MTM，利用Q共軛定義

(p(i))TMTMp(j)=(Mp(i))TMp(j)=0，

這說明p(i)和p(j)經線性變換后所得向量Mp(i)與Mp(j)正交，因此在n空間中可令

Mp(1)=e1，Mp(2)=e2， …，Mp(n)=en，

進而可解得

p(1)=M-1e1，p(2)=M-1e2， …，p(n)=M-1en，

e1=(1，0，…，0)T，e2=(0，1，…，0)T， …，en=(0，0，…，1)T，

又因Q對稱正定，知M可逆.由定理1，依次采用這組方向進行精確一維搜索，即可經至多n次迭代收斂于

的最優解.進一步，有一些矩陣分析或計算方法基礎的同學甚至明確指出，可以利用Cholesky分解[11]等方法來得到矩陣M，而且M是上三角陣，很方便計算p(1)，p(2)，…，p(n)，編寫程序也很容易實現.

至此，老師很欣慰于學生們積極探索的態度和熱烈討論的氛圍，大家能夠基于已學知識，通過討論自主發現一種生成共軛方向的方案，這無疑是非常值得鼓勵的.同時，老師也在同步思考這一方法的可行性和計算效率.

然后，老師提出第二個問題：這一方案的可拓展性如何？如果優化問題的目標函數不再是正定二次函數，沒有明確的矩陣Q，還能否類似地得到搜索方向？這時，同學們發現，剛才所得到的求共軛方向p(1)，p(2)，…，p(n)的方法是基于矩陣Q的分解，不易推廣到一般非線性函數的優化問題，因為一般非線性函數的Hessian矩陣不是常數矩陣.

2.4 審視方法優劣，尋求更快更優、拓展性更好的方法

老師所提出的兩個問題，引導學生去思考和審視一種方法的計算效率和可拓展性，這正體現了運籌學教學中需傳遞給學生的不斷優化算法、追求優而更優的思維方式和理念.有了上述準備，接下來水到渠成地引入利用迭代方式來生成Q共軛方向的共軛梯度法：

x(k+1)=x(k)+λkp(k)，

p(k)=-g(k)+βk-1p(k-1)(k>1)，p(1)=-g(1).

為簡便，此處以g(k)記目標函數在xk處的梯度，即g(k)∶=?f(x(k)))，λk為一維搜索步長.

共軛梯度法中，采用g(k)與上一次迭代中搜索方向p(k-1)的線性組合來構造共軛方向，運用了負梯度方向的同時，也充分利用了前次搜索方向的信息.當目標函數是正定二次函數

時，參數

可以證明，由該方法中的迭代p(k)=-g(k)+βk-1p(k-1)(k>1)，p(1)=-g(1)所產生的方向p(1)，p(2)，…，p(n)是Q共軛的，且精確一維搜索搜索步長

注意到上述βk-1的計算式中含有Q，如欲推廣到目標函數更一般的情形，需公式中不再含有Q.由于

g(k)=Qx(k)+b，g(k-1)=Qx(k-1)+b，

故而，有

g(k)-g(k-1)=Q(x(k)-x(k-1))=λk-1Qp(k-1)，

這便是著名的Hestenes-Stiefel公式(Hestenes et al.，1952).這樣就將共軛梯度法推廣到了目標函數是一般非線性函數的情形.當然，此時步長λk應采用一維搜索技術來計算.

注意到采用精確一維搜索時有(g(k))Tp(k-1)=0，則上式可化為

該公式被稱為共軛下降公式(Fletcher，1987).

若對分子和分母進行變化，則不同的組合可演變出不同的βk-1的選取方式，對應著不同的非線性共軛梯度法，著名的βk-1的選取方法有如下四種[4]：

分別稱為Fletcher-Reeves公式、Polak-Ribiére-Polyak公式、Hestenes-Stiefel公式(前面已提到過)和Dai-Yuan公式.此外，若沿用共軛下降公式中的分母，還可以得到

即Liu-Storey公式.

以上公式的推導并不困難，事實上，由精確一維搜索可知，(g(k))Tp(k-1)=0，又注意到

p(k)=-g(k)+βk-1p(k-1)，

不難知道

-(p(k))Tg(k)=(g(k))Tg(k)=‖g(k)‖2，

此外，還可以證明得到(g(k))Tg(k-1)=0，從而，以Hestenes-Stiefel公式為基礎，對分子和分母進行不同的演變，即可得到上述公式.

此刻，學生很自然會想到一個問題：這么多公式都是為了計算共軛梯度法中的βk-1，這樣來回轉化有什么意義呢？其實不難發現，當目標函數是二次函數的時候，上述公式是等價的，但它們對于一般的非線性目標函數并不互相等價，從而對應的是不同的共軛梯度法.而且，在算法執行的過程中會受到計算中誤差累積的影響，故而往往存在“等價不等效”的現象.上個世紀后半葉，近50年的時間里，人們對于各種共軛梯度法收斂性和收斂速度的討論可謂是一場思維盛宴，精彩紛呈，建議學生拓展閱讀文獻[10，12].

至此已看出，共軛梯度法的拓展性優于最初學生討論所得的方法，而且，由于共軛方向是由迭代點處負梯度方向與前一次搜索方向的線性組合，連同βk-1的計算，其中只需向量乘法與加法運算，大大降低了計算復雜度.

圖3 共軛梯度法迭代過程

3 教學效果

圖4 教學效果評價

該課堂討論案例中，教師針對學生所提出的有價值的問題、想法和關切點，激發頭腦風暴，引導大家討論解決問題，并得到了一種新的方法，進一步帶領學生進行算法優劣的比較，最后因勢利導地回歸授課內容中的共軛梯度迭代方法.雖然學生所得到的方法具有局限性，但學會審視方法的優劣也非常重要，這樣以學生為主體的學習討論可讓學生對共軛梯度法理解更深刻，討論過程也有利于學生優化意識和創新思維的培養.

在課程評價中，學生對于這樣的討論形式也是頗為肯定，表示“更能激發求知欲”，“對科研思路很有幫助”，“不僅有了科學的規劃手段，還形成了合理的思維方式”，課程滿意度達到99%，其余1%為基本滿意，不滿意為0.還有學生建議增加關于應用案例、建模、算法實現等的討論.在此基礎上，作者主講的理工類研究生《運籌學》課程獲北京科技大學第九屆“研究生教育獎”.

4 結 論

本文結合《運籌學》教學中的一個課堂討論案例進行了關于如何培養學生創新思維和激發尋優創優意識的探析.案例中，學生通過參與討論帶著興趣主動地完成了一次運籌方法構造的訓練，對于其提升數學思維質量和創造性思維大有助益.運籌學旨在培養學生建立系統思維，掌握定性與定量分析相結合的數學建模方法，運用優化技術手段求解，進而作出決策和指導實踐的能力.正所謂“運籌帷幄之中，決勝千里之外”，運籌學教學目標不僅是讓學生掌握建模方法和求解算法，而是在教學理念中將引導學生的優化思想和追求優而更優的思維方式貫穿于始終，從知識層面上升到思想層面，激發創造性思維和自主探索新方法和新技術的科學創新潛質；與此同時，也把運籌學的思維方式作為載體，將不斷追求卓越和超越自我的價值理念深扎學生心中，達到潤物無聲的課程思政育人效果.本文是為更好地達成這一教學目標的課堂實踐探索和教學思考.

此外，有成效的課堂討論對于教師而言也是教學相長的實際體驗，并且對教師提出了更高的要求，需要對線性代數、矩陣分解理論和數值計算等均有相當的知識儲備，才能予以有針對性的引導和反饋.故而，欲將學生自主創新討論融入課堂，高素質的運籌學課程教學團隊建設也勢在必行，可定期組織教學研討，從而提高整個團隊的育人質量.

致謝作者對參考文獻給予本文的重要啟示以及審稿專家對本文修改所提出的寶貴意見和建議致以由衷的感謝.