“生物數學”本、碩一體化系列課程的研究與探索
——兼談數學建模能力培養之途徑

張春蕊， 鄭寶東， 楊瑞智

(1.東北林業大學 理學院 數學系, 哈爾濱150040； 2.哈爾濱工業大學 數學學院, 哈爾濱150001)

1 引 言

復旦大學李大潛院士曾指出：“數學建模是聯系數學與應用的重要橋梁，是數學走向應用的必經之路.”“抓住了數學建模，就抓住了聯系數學與應用的最重要的紐帶，構建了溝通數學與應用的橋梁，為數學與應用的有效結合建立了可靠的保證和基礎，并為今后進一步的發展，包括數學科學本身的發展，提供了無窮的契機并鋪平了廣闊的道路”[1].學生數學建模能力需要通過數學知識傳授、數學專業訓練來逐步培養.因此，數學教育的任務是建立一種新的培養機制，以加強培養學生數學理論與實際工作很好結合的能力，提高學生處理應用問題時提煉數學模型的能力，提高學生求解數學模型的能力，提高學生將所得理論結果用于指導解釋客觀事物的能力.

本文以東北林業大學教學團隊實施的“生物數學”本、碩一體化系列課程為例，探索培養數學建模能力，培養學術型拔尖創新人才的具體可行措施，為人才培養提供可行性建議.

針對“已有的“數學建?！闭n程多以競賽為導向，即課程教學圍繞著數學建模競賽展開，而且大多只面向準備參加建模競賽的學生開設”的背景，東北林業大學教學團隊立足學生發展，整合了本科生、研究生兩個層次的“生物數學”系列課程，構建了“理論學習—專題研究—課外研討班”一體化教學體系.依托學科，教學與科研相結合，組建高水平研究型教學團隊，以林業生物問題為背景，探索了“問題—建模—求解”的研究型教學模式，創造性地將創新人才的能力要素具體化，把能力培養落實到課堂教學的各個環節之中，完成了教學理念、教學模式和教學方法的系統改革，解決了培養數學建模能力的課程體系和實訓平臺問題；解決了培養數學建模能力的研究型教學方法問題.全面提升了學生的數學建模能力.

2 課程內容和教學體系設計方案

研究型教學是國際上普遍認同和實施的一種新的教學方法[2].生物數學課程是利用數學方法研究生物學問題的學科交叉課程，其教學模式有其特殊性，尤其是通識教育背景下的生物數學研討型課程的教學模式更有別于傳統數學課程的教學模式[3].近年來，“本碩一體化”受到越來越多的高校的重視，各種改革方式層出不窮[4-6].本文的“本碩一體化”主要討論本科、碩士階段生物數學系列課程的銜接.東北林業大學教學團隊將本、碩“生物數學”系列課程一體化，構建研究型教學體系，搭建數學建模實訓平臺.該體系設計考慮了本課程群兩階段培養目標的差異性，體現了課程內容的提升和延伸，形成了完整的課程系統和知識結構，從興趣和素養兩方面達到了培養學生數學建模能力的目的.

(a)本科階段以“常微分方程”為支撐課程，在“生物數學”課程的教學中，側重于基礎理論的掌握，同時培養學生將理論應用于實踐的能力.結合大學生創新項目，對學生加以高層次研究訓練和培養，使得學生對生物數學問題的建模方法有初步的和全面的認識.

(b)研究生階段以“微分方程現代理論”“動力系統”為支撐課程，在“生物數學”課程的教學中，更側重于問題的理解和解決，主要講授“生物數學”領域的最新理論，引導研究生使用各自熟悉的理論工具理解生命科學中的數學問題，并設計解決方案加以實現，主要講授“生物數學”領域的最新理論，指導學生使用運用動力系統、微分方程等理論和研究方法處理生物數學問題，提高學生的數學建模能力.下圖是本、碩“生物數學”系列一體化課程的課程設計圖

3 生物數學系列課程教學方法的變革與探索

生物數學是東北林業大學數學專業本科及研究生階段的共同課程.相關課程是本科生的常微分方程、研究生階段的微分方程現代理論及動力系統.本科生的生物數學課程開設于2013年，在沒有進行一體化課程設計之前，其內容與研究生的生物數學課程在銜接上有些困難.經過幾年的教學實踐，課題組梳理了相關課程，對課程重新定位：課程特色是興趣引導，問題驅動，加強實訓，全面提升學生實際數學建模能力.數學專業的基礎課程大都采用傳統的教學模式，即在課堂上以教師講授為主，課程注重基本理論體系的完整性、流暢性，讓學生“接受”有關的知識，強調對學生扎實的基本技能的培養.該系列課程旨在培養學生應用數學的能力，開闊學生的視野，教學目的不僅僅是讓學生掌握數學理論內容，而能重要的是教會他們用已有的數學知識去解決生物數學問題，使他們體會到應用數學的奧妙且使他們體會到應用已學知識去創造性地解決實際問題的樂趣.生物數學架起了現實生活中的生命現象和抽象數學之間的橋梁.該課程是融入數學建模思想，培養學生建模能力的重要途徑.

本科及研究生的生物數學課程均為32學時，均為相關數學理論的常規教學16學時，課程實踐16學時.通過課堂上系統地學習科學知識的基礎上，應用所學知識創造性地解決來源于現實生活的，復雜的、綜合性的問題，引導學生進行主動思考、積極探索，并在此過程中培養能力，提高素質.

本科階段保留傳統的理論教學模式，使得學生對“生物數學”要解決的問題和基本方法有全面的認識.課程內容分為三部分：基礎理論教學+模型講解+實訓作業.實現問題驅動課堂、探究引導學生的學習、研究、實踐的有機結合，最終實現“大幅提高學生實際建模能力”的目標.本科階段生物數學課程講授定性及穩定性理論初步，是常微分方程課程的續論.講授的數學模型有“單種群模型”“兩種群相互作用模型”“傳染病倉室模型”等基本的生物數學模型.

研究生階段采用講授生物數學現代理論與研討課兩種教學形式，理論上既延續又區分.研究生階段生物數學課程除講授深入的定性及穩定性理論之外，還要介紹分支、混沌、規范型等理論.講授的數學模型有“神經動力學模型”“具有外界干預的SIR模型”“害蟲綜合治理模型”“甲型流感控制模型”“兒童手足口病模型”等研究實例.采用探索參與式教學、專題研討式的研討、實踐(上機實驗、模擬仿真)、小論文等多種形式的個性化教學方法，教學形式由單一的課堂教學轉化為多形式的互動交流，將提升“建模能力”貫穿于課程教學的全過程.

課程實踐是生物數學課程的主要特色，根據學生的不同層次，通過生物案例如流行病的傳播、種群間相互作用等生命現象的分析，教會學生構建相應的數學模型，在利用生物數學知識完成最優解答.在此基礎上，回到問題情境中解釋相關問題，培養學生的數學建模能力和應用能力.課題組教師結合林業院校特色，為學生介紹如“林火生態模型”“森林松線蟲模型”等與實際問題密切相關的模型，同時也介紹熱點話題，例如非典(SARS)、埃博拉(EBOLA)等突發性傳染病的模型.整個教學過程，強調問題的驅動，培養了學生的學習興趣，也使得枯燥的“定性與穩定性理論”變成了活生生的現實，從數學建模能力層面上加深了這些基本教學內容的深度，同時也使學生們體會到數學理論的重要意義.部分本科生及研究生通過生物數學研討班的形式，參加了教師的科研課題，在升學之際分別考取了該方向的碩士、博士研究生.

生物數學研討班是對課程教學的補充(本科生、碩士生均可參加).研討班利用課余時間，每周舉辦一次，以閱讀科技文獻和寫作科研論文為主線，此時的建模更接近科學前沿，與實際生物學問題密切相關.團隊教師均從事生物數學相關課題的研究，自身科研水平較高，有豐富的科研課題支撐每周一次的生物數學研討班的研討話題.研討中將科研問題與科研成果融入課堂，保障了研究型教學模式的實施.解決了教師如何將科研成果融入課堂教學，在授課過程中把學生帶到科學發展的前沿陣地，開闊學生科研視野的問題，使學生體會到了科學研究與數學建模相輔相成的奧秘.

考試方法改革也是研究型教學模式不同于傳統教學形式的特色之一.課程采用1+1形式的融知識、素質、能力在內的綜合性的水平考核模式.階段考試采用傳統的閉卷形式.學期末以課題論文的形式結業，要求學生查找資料，建立數學模型，解決日常生活中的生物數學問題.目的是考核學生的創新能力、實踐能力等綜合素質.經過這樣的鍛煉，部分學生在課程結業時已經能夠寫出有獨特見解的小論文，初步嘗到了科學研究的甜頭.

4 循序漸進地培養學生的綜合數學建模能力

已有的“數學建模”課程，多以競賽為導向，即課程教學圍繞著數學建模競賽展開.教學團隊通過對“生物數學”本、碩一體化系列課程教學內容和模式的設計，立足本科教學牢牢夯實基礎、研究生教學突出實踐和創新，構建了數學理論與生物專業知識交融的教學體系，達到了全方位地培養學生的數學建模能力的目的，豐富了傳統的數學建模內涵，解決了培養學生數學建模能力的實訓平臺問題.

針對本課程學科交叉的特性，利用“生物數學”系列課程的研究型教學模式，實現了如何通過有效的課程教學設計，構造出一套以學生為主體， 以教師為主導，以問題為導向，以課程專題研究為主要訓練載體，以培養學生數學建模能力為目的的研究型教學方法及具體實施方案.詮釋了數學建?！叭笠亍钡膶崿F過程.彌補了數學建模課程中理論講授不足的缺憾.

通過本科生及研究生兩個層次的“生物數學”系列課程的研究型教學，實現了理論學習—專題研討—課外研討班教學全過程的模式改革；依托學科，教學與科研結合，組建了教學團隊，以林業生物問題為背景，通過“問題—建模—求解”的研究模式，提高學生數學建模能力，創造性地將創新人才的能力要素具體化，并落實到課堂教學的各個環節之中，實現教學理念、教學模式和教育方法的系統改革.

5 教學效果

本、碩一體化生物數學課程的開設，提升了東北林業大學數學系本科畢業生、碩士畢業生的專業能力.多名在一體化教學過程中成長起來的學生表示，科研訓練與數學建模能力的提升使他們順利通過國內著名大學的博士生申請考核.2018屆碩士畢業生對課程的評價是“一門好課改變一生”“生物數學課程引導我走向科研之路”.2019屆碩士畢業生對課程的評價是“生物數學特有的魅力促使我選擇攻讀博士學位，也使我作為交換生在國外交流時展示了自己的科研實力.”

學生通過生物數學研討班的訓練、參與團隊教師的科研課題、主持創新實驗項目、參加各類競賽等，展示了突出的數學建模能力，提升了數學專業學生數學建模競賽、數學競賽成績，2016年-2020 年期間，本學科學生獲得美國大學生數學建模競賽、全國大學生數學建模競賽、全國大學生數學競賽獎勵270 余項.數名本科生依托大學生創新項目發表生物數學方向SCI收錄科研論文；在2016年-2020年期間，每年都有20余名本科生撰寫生物數學方向畢業論文.部分學生畢業后選擇在本校生物數學相關方向攻讀研究生，這些研究生在讀期間就在國際著名SCI期刊發表研究論文、在國際會議作學術報告.

本、碩一體化“生物數學”系列課程培養數學建模能力的思想方法，拓展了團隊教師的教學研究視野，使得生物數學教學團隊師資水平大幅提升，微分方程與生物數學方向也成為數學一級學科的支撐方向微分方程與生物數學方向成為數學一級學科的支撐方向.團隊4名教師先后進入林業工程、生物學等相關學科博士后流動站從事博士后科研工作，主持與生物數學方向相關的國家級、省級各類科研項目10余項；1名教師在林業工程自動化學科擔任博士生導師.近5年，團隊教師在SCI收錄期刊發表研究論文30余篇.本、碩一體化“生物數學”系列課程培養數學建模能力的思想方法，拓展了團隊教師的教學研究視野.團隊教師發表相關教研論文 26 篇，在科學出版社出版生物數學專著2部.

6 結 論

問題驅動的生物數學研究型系列課程構成了本、碩一體，層次分明，循序漸進的數學建模能力培養平臺，實現了“理論學習—專題研究—課外研討班”模塊化教學模式改革.問題驅動的生物數學研究型系列課程教學彌補了數學建模課程多以競賽為導向、課程教學圍繞數學建模競賽展開的不足.通過對實際生物問題的建模與仿真，塑造學生的研究精神，培養學生的研究能力.在多年的教學中，教是團隊對該部分教學內容與課程體系改革不斷提出新要求，賦予新內涵，引入新的教學內容，進行新的教學實踐.利用鮮活的例子，鼓勵學生發現、探索、求解新問題.

教學團隊教師都從事生物數學相關課題的研究.在長期研究型教學實踐中，經過“科研—教學—科研—教學”的反復迭代，不僅提高了師資隊伍的教學水平，也提高了師資隊伍的研究水平，打造了一支教學科研兼備的學者型教學團隊.

從生物數學系列課程的教學實踐中發現合理設計本、碩一體化研究型課程的教學過程，滲透數學建模能力“三要素”的思想，通過“問題—建模—求解”的研究型教學模式，創造性地將創新人才的能力要素具體化，并落實到課堂教學的各個環節，解決了培養數學建模能力的實訓問題，實現教學理念、教學模式和教育方法的系統性改革，對提高學生的數學建模能力有較大的作用[7].

生物數學本碩一體化課程設計，優化了教學資源，實現了橫向學科交叉、縱向層次遞進的系列課程設計理念，為貫通式人才培養提供了有益探索.對實現培養過程全程交叉、學科知識全科強化，營造良好的教與學生態環境、培養一批掌握堅實理論知識和實踐能力、具有廣闊學科視野和求實創新精神的高層次人才的教學理念進行了積極地探索.

目前，東北林業大學數學系的本、碩一體化課程還僅限于生物數學系列課程，研究型的教學模式還需要進一步探討.對于數學專業的教師來說，如何借助已有的數學課程體系，將數學研究的思想方法融入課堂，把能力培養落實到課堂教學的各個環節；如何將科研過程中發現的學科前沿問題、取得的科研成果融入課堂，把學生帶到學科發展的前沿陣地，開闊視野，體驗應用數學的風采，是值得思考的問題.

致謝作者感謝編輯和審稿人非常有價值的意見和建議.感謝東北林業大學研究生教育專項基金的支持.