基于課程合作式學(xué)習(xí)的《常微分方程》教學(xué)改革的探索與實踐

趙莉莉

(云南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 昆明650091)

1 引 言

數(shù)學(xué)類各課程教學(xué)方法的研究越來越受到學(xué)者們的關(guān)注，取得了不少有價值的成果，見文獻[1-4].雖然，對于合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)方法在其它學(xué)科上的應(yīng)用文章不少，但是缺乏它在數(shù)學(xué)類學(xué)科上應(yīng)用的文獻.合作式學(xué)習(xí)是引進于歐美地區(qū)的一種教學(xué)方法.奧爾森等人對合作式學(xué)習(xí)給出的定義是：合作式學(xué)習(xí)是一種有組織的群體活動，這種學(xué)習(xí)建立在小組內(nèi)學(xué)習(xí)者之間的信息交換的基礎(chǔ)之上，每一個學(xué)習(xí)者對自己的學(xué)習(xí)負責(zé)，同時也激發(fā)其它人的學(xué)習(xí)興趣[5].從上述定義可以看出：這種學(xué)習(xí)方法的重心是“合作”，現(xiàn)代社會網(wǎng)絡(luò)通信技術(shù)發(fā)達，人們可以利用計算機網(wǎng)絡(luò)與多媒體技術(shù)建立起合作式學(xué)習(xí)的大環(huán)境，實現(xiàn)小組成員之間的信息共享、組織小組成員之間或小組成員與教師之間的討論、交流和學(xué)習(xí)，達到使小組成員不受時間和地點的約束，自己掌握學(xué)習(xí)進度的目的.常微分方程是數(shù)學(xué)系一門應(yīng)用性強的學(xué)科，但現(xiàn)在的教學(xué)現(xiàn)狀是教師牢牢掌控課堂主動權(quán)、課堂互動較少、課堂教學(xué)只注重理論知識的講授，而忽略了學(xué)生實踐能力的培養(yǎng)，無法有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，教學(xué)效率不高，需要嘗試把合作式學(xué)習(xí)的思想引入到常微分方程的教學(xué)中，提高教學(xué)效率.

在反映現(xiàn)實客觀世界運動過程的量與量之間的關(guān)系中，存在著大量的滿足常微分方程關(guān)系式的數(shù)學(xué)模型，需要通過求解常微分方程的精確解或近似解、判斷常微分方程各類解函數(shù)的各種動力學(xué)性質(zhì)，去更好地了解客觀世界.例如：常微分方程中的經(jīng)典模型——馬爾薩斯人口模型.在假設(shè)人口的自然增長過程中，人口的增長不受到外來因素的影響，凈相對增長率是一個常數(shù)的基礎(chǔ)上，英國人口統(tǒng)計學(xué)家馬爾薩斯提出了Malthus人口模型：

其中N表示t時刻的人口數(shù)量，r稱為生命系數(shù)，表示的是人口的凈相對增長率.這是一個變量分離方程，由變量分離法可求出它的通解為

N=cert，

如果再假設(shè)初始時刻t0，人口的數(shù)量為N0， 代入通解之中，可得：t時刻的人口數(shù)量

N(t)=N0er(t-t0).

此模型稱為logistic模型，這還是一個變量分離方程，用變量分離法可得

顯然當(dāng)t→+∞時N(t)→Nm，即隨著時間的增長，人口數(shù)量不斷接近環(huán)境最大容量，符合客觀現(xiàn)實.從中不難發(fā)現(xiàn)常微分方程是人們發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識、改造客觀世界的重要理論工具.如果只是在班級內(nèi)被動的傳授變量分量法的相關(guān)知識，學(xué)生可能會記住變量分離法兩個步驟，其一分離變量，其二兩邊同取不定積分，但難免會讓學(xué)生覺得枯燥、無味，提不起學(xué)習(xí)的興趣.但是如果在課前能把變量分離法的具體步驟，以及提出Malthus人口模型的背景等相關(guān)知識，利用智慧教學(xué)工具先推送給學(xué)生，讓學(xué)生分組合作式學(xué)習(xí)變量分離法，再讓學(xué)生利用所學(xué)知識去求解Malthus人口模型，充分發(fā)揮每一個學(xué)生在學(xué)習(xí)上的主觀能動性，接著在課中引導(dǎo)學(xué)生思考：Malthus人口模型的解，顯示人口數(shù)量是以指數(shù)形式進行增長的，這是不是合理的？如果不合理，應(yīng)該如何修正模型，使它更加符合現(xiàn)實客觀世界？讓學(xué)生在合作學(xué)習(xí)小組內(nèi)廣泛進行討論，鍛煉小組成員有效思考的技能和主動掌握知識的能力.最后可以把荷蘭生物學(xué)家Verhulst的解決方法教給學(xué)生， 理論與實踐并重，加深學(xué)生對變量分離法的記憶與理解.從上述例子不難看出，合作式學(xué)習(xí)能充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程的積極性，增強學(xué)習(xí)的責(zé)任心，而小組成員之間合作學(xué)習(xí)的協(xié)作精神又能促進學(xué)生積極主動獲取知識、利用所學(xué)知識解決實際問題能力的培養(yǎng).

2 探索與實踐

2.1 優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，以方便開展合作式學(xué)習(xí)

常微分方程的教學(xué)內(nèi)容相對較多，課時相對較少，如果所有的理論知識都逐點講授清楚，那么留給學(xué)生的時間會相對變少，整個教學(xué)過程就會只注重了理論知識的講授，而忽略了對實踐能力的培養(yǎng)，也會顯得比較枯燥，提不起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.因此有必要優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，把更多的課堂時間“還給”學(xué)生.例如：在許多常微分方程的教材之中高階線性微分方程與線性微分方程組是分不同的章節(jié)講授的，但是事實上，每一個高階線性微分方程的初值問題都可以化為一個線性微分方程組的初值問題，且在這樣的意義下兩者是等價的：知道一個初值問題的解的條件下，可以構(gòu)造出另外一個初值問題的解；高階線性微分方程解的存在唯一性定理是線性微分方程組解的存在唯一性定理的推論；高階線性微分方程一般理論中每一個定理又是線性微分方程組一般理論中相應(yīng)定理的推論.因此，教師在講授完線性微分方程組一般理論之后，可以考慮安排學(xué)生合作式學(xué)習(xí)高階線性微分方程的一般理論，不僅能“節(jié)省”課堂教學(xué)時間，還能充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程的主觀能動性，加深學(xué)生對高階線性微分方程初值問題和線性微分方程組初值問題關(guān)系的理解，從宏觀上掌握高階線性微分方程和線性微分方程組的一般理論.再例如說常數(shù)變異法這個知識點.在常微分方程課程中，常數(shù)變異法共講了三種.其一是一階線性微分方程的常數(shù)變異法；其二是高階線性微分方程的常數(shù)變異法；其三是線性微分方程組的常數(shù)變異法.這三種常數(shù)變異法也可以做成一個專題來進行合作式學(xué)習(xí)，讓學(xué)生能夠更清楚常數(shù)變異法的本質(zhì)——待定函數(shù)的思想，也從形式上把齊次線性微分方程(微分方程組)和非齊次線性微分方程(微分方程組)的通解統(tǒng)一起來.若x1(t)，x2(t)，…，xn(t)是n階的齊次線性微分方程的一個基本解組，則n階的齊次線性微分方程和n階的非齊次線性微分方程，每一個解都可以表示為

x(t)=c1(t)x1(t)+c2(t)x2(t)+…+cn(t)xn(t).

若Φ(t)是齊次線性微分方程組的一個基解矩陣，則齊次線性微分方程組和非齊次線性微分方程組的每一個都可以表示為

x(t)=Φ(t)c(t).

2.2 選擇合適的合作式學(xué)習(xí)方式，才能有效地提高合作式學(xué)習(xí)的效率

合作式學(xué)習(xí)的方式有四種，其一為競爭形式的合作式學(xué)習(xí)，這種學(xué)習(xí)方式很大程度上受限于學(xué)習(xí)操作系統(tǒng)，學(xué)習(xí)系統(tǒng)會根據(jù)制定好的教學(xué)目標(biāo)，針對某一個知識點，提出一個問題，再提供一些解決問題的資源，兩個以或兩個以上的學(xué)生利用這些資源進行學(xué)習(xí)，在整個學(xué)習(xí)過程中每一個學(xué)習(xí)者都能看到競爭者的學(xué)習(xí)狀態(tài)，這種方式的優(yōu)點在于學(xué)習(xí)者可以根據(jù)競爭者的學(xué)習(xí)狀態(tài)，調(diào)整自己的學(xué)習(xí)策略，爭取共同進步，達到教學(xué)目標(biāo).但是這種方式的缺點在于，學(xué)習(xí)者缺乏和老師之間的溝通，缺少老師的指導(dǎo)，容易造成盲目學(xué)習(xí)的狀態(tài)，不能及時的掌握知識點，理解其本質(zhì).其二為協(xié)同形式的合作式學(xué)習(xí).這需要兩名以及兩名以上的學(xué)生共同完成合作式學(xué)習(xí).這種方式需要根據(jù)每一名學(xué)生的特長和優(yōu)勢，合理進行學(xué)習(xí)分工，小組密切合作共同完成由教學(xué)大綱制定的某一個具體的學(xué)習(xí)任務(wù).這種方式的優(yōu)點在于能充分發(fā)揮學(xué)習(xí)小組中每一位同學(xué)的優(yōu)勢特長，最大程度地調(diào)動他們學(xué)習(xí)的積極性.而這種方式的缺點在于學(xué)習(xí)小組中缺少一個“組織者”把每一位學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)成果進行歸納總結(jié)，形成一個完整的結(jié)論，讓每一位學(xué)習(xí)者對學(xué)習(xí)任務(wù)有一個完整的認(rèn)識與理解，從而完成教學(xué)大綱中所規(guī)定的教學(xué)任務(wù).其三為伙伴形式的合作式學(xué)習(xí)，這種學(xué)習(xí)方式更加適合于為了完成同一個學(xué)習(xí)目標(biāo)的期末考試或升學(xué)考試的復(fù)習(xí)，例如考研或考博，學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)上的各種學(xué)習(xí)平臺，尋找有相同學(xué)習(xí)目標(biāo)的學(xué)習(xí)伙伴，當(dāng)一方在學(xué)習(xí)上遇到困難時，可以與伙伴進行交流與討論，最終解決困難，共同完成學(xué)習(xí)目標(biāo).這種學(xué)習(xí)方式的優(yōu)點在于學(xué)習(xí)者有共同的學(xué)習(xí)目標(biāo)，可以相互交流學(xué)習(xí)經(jīng)驗，在學(xué)習(xí)上取得共同的進步.但這種學(xué)習(xí)方法的缺點在于它不太適合對某一門課程的初學(xué)過程.筆者通過自身常微分方程的教學(xué)實踐，發(fā)現(xiàn)最適合常微分方程課程教學(xué)的形式還是第四種合作式學(xué)習(xí)的形式——角色扮演形式的合作學(xué)習(xí).這種方式一般是能力各異的4-6名學(xué)生組成一個學(xué)習(xí)小組，獨立學(xué)習(xí)能力強又善于與其它同學(xué)溝通的學(xué)生擔(dān)任“指導(dǎo)者”的角色，負責(zé)統(tǒng)籌安排學(xué)習(xí)小組成員的學(xué)習(xí)任務(wù)、監(jiān)督他們的學(xué)習(xí)進度、為他們的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)與幫助，以及把學(xué)習(xí)小組每一位成員的學(xué)習(xí)成果進行歸納與總結(jié)，解決任課教師根據(jù)教學(xué)大綱所提出的問題，完成學(xué)習(xí)目標(biāo)與任務(wù).對擔(dān)任“指導(dǎo)者”角色的學(xué)生能力要求是比較高的，他不僅要對整個學(xué)習(xí)任務(wù)有一個宏觀上的把控，在學(xué)習(xí)小組遇到學(xué)習(xí)困難的時候還要和老師積極溝通，尋求教師的幫助.經(jīng)過近兩年來的教學(xué)實踐，筆者發(fā)現(xiàn)由學(xué)習(xí)小組內(nèi)部成績最好、獨立學(xué)習(xí)能力最強的學(xué)生擔(dān)任“指導(dǎo)者”的角色和學(xué)習(xí)小組成員輪流擔(dān)任“指導(dǎo)者”的角色，教學(xué)效果都不錯.第一種方式因為擔(dān)任“指導(dǎo)者”角色的學(xué)生各方面的能力都很好能及時地對每一個成員的學(xué)習(xí)給與指導(dǎo)與幫助，學(xué)習(xí)小組的學(xué)習(xí)效率會比較高，能及時的完成學(xué)習(xí)任務(wù).而第二種方式能夠讓每一個學(xué)生都得到很好的鍛煉，激勵了每一個學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

2.3 在實踐過程中要不斷的修正合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)實施方案，才能更加有效的提高教學(xué)效率

筆者曾于2018年和2019年的春季學(xué)期中，在所教的班級中使用了合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，發(fā)現(xiàn)常微分方程期末考試平均成績要比沒有實施教改的2017年教學(xué)班，提高了5-8分.而且在2018年教學(xué)班，使用了合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)方式后，筆者及時總結(jié)了其中的經(jīng)驗教訓(xùn)，例如沒有干預(yù)學(xué)生的分組情況，學(xué)習(xí)小組的分組方式采取的是學(xué)生自由組合的方式，導(dǎo)致學(xué)習(xí)小組的人數(shù)分布不均勻，多的多到十多人，而少的只有兩三人，人數(shù)過多會降低合作式學(xué)習(xí)小組內(nèi)部溝通的有效程度，也存在一些相互推諉學(xué)習(xí)任務(wù)的情況，影響了學(xué)習(xí)效率，而人數(shù)過少又會導(dǎo)致每一個成員分配的學(xué)習(xí)任務(wù)過重，又可能存在不能及時完成學(xué)習(xí)任務(wù)的情況， 影響學(xué)習(xí)進度.再例如起初因為學(xué)生對教學(xué)方式有新鮮感，能非常積極地投入到常微分方程的合作式學(xué)習(xí)之中，然而這種學(xué)習(xí)方式需要學(xué)生投入大量的時間與精力，卻因為沒有配套的課程評價體系，打擊了學(xué)生參與合作式學(xué)習(xí)的積極性，影響了教學(xué)效果.筆者及時修正了合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)實施方案：合理干預(yù)學(xué)生的分組情況、加強常微分方程課程的過程管理，讓學(xué)生的每一次合作式學(xué)習(xí)的表現(xiàn)都能在課程的綜合成績中有所體現(xiàn)，最大限度地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性，提高了教學(xué)效率.在2019年的春季學(xué)期改進了合作式學(xué)習(xí)的實施方案之后，期末平均成績又比2018年教學(xué)班的提高了2.7分.

3 教學(xué)實效

從2017年開始計劃在教學(xué)中引入合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，并開始收集相關(guān)教學(xué)數(shù)據(jù).2018年與2019年教學(xué)班中正式實施了教學(xué)改革.圖1為實施教學(xué)改革前后常微分方程成績對比表，平均成績、及格率以及最低分的提高、高分人數(shù)(90分以上)的增多都反映了合作式學(xué)習(xí)能促進學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高；圖2為實施教學(xué)改革前后學(xué)生參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽情況對比表，學(xué)生參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽積極性的提高、獲獎學(xué)生人數(shù)的增多都反映了合作式學(xué)習(xí)，能有效促進學(xué)生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)；圖3和圖4分別為2018年和2019年春季學(xué)期常微分方程學(xué)生評教結(jié)果(學(xué)生評價內(nèi)容為5項，每一項滿分為20分，總分100分)，總分分別為96.8、97.6，可以看出學(xué)生對常微分方程課程中引入合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)方法接受度較高、對教改促進學(xué)生綜合能力的提高認(rèn)可度也較高.

圖1 實施教學(xué)改革前后常微分方程成績對比

圖2 實施教學(xué)改革前后參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽情況對比

圖3 2018年常微分方程評教結(jié)果

圖4 2019年常微分方程評教結(jié)果

從以上數(shù)據(jù)，進一步分析合作式學(xué)習(xí)對提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神、提升學(xué)生綜合素質(zhì)的原因.

3.1 合作式學(xué)習(xí)提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力原因分析

原來傳統(tǒng)的常微分方程的教學(xué)都是老師講，學(xué)生聽，他們只是被動的記錄老師的“東西”，沒有對知識點進行思考，變成自己的“東西”.甚至有些學(xué)生把常微分方程當(dāng)成“文科”來學(xué)習(xí)，存在“死記硬背”公式的情形，例如求解一階的非齊次線性微分方程時，甚至是求解高階非齊次線性微分方程時，不少學(xué)生都習(xí)慣套用現(xiàn)成的常數(shù)變異公式，而不是掌握常數(shù)變異法的兩個步驟，自己利用常數(shù)變異法求出微分方程的通解.但是

和

都是一階的非齊次線性微分方程的一般形式，學(xué)生“生搬硬套”的套用常數(shù)變異公式，容易出現(xiàn)“套錯”公式的情形.而在常微分方程的教學(xué)之中，引入合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)方法之后，知識點就變成了學(xué)生在合作式學(xué)習(xí)小組的學(xué)習(xí)討論中討論出來的，是學(xué)生自己主動獲取的知識，加入了他們自己的思考是他們自己的“東西”，自然也就能加深學(xué)生對知識點的記憶和理解，同時也改進了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，提高了他們的學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生真正成為了學(xué)習(xí)的“主體”.在實施教學(xué)改革之前，基本沒有學(xué)生嘗試解答期末考卷中考查學(xué)生學(xué)習(xí)能力、思維能力的“拔高題”，沒有高分學(xué)生，最高分僅88分，而從2018年實施教學(xué)改革之后，更多的學(xué)生開始嘗試解答考卷中的“拔高題”，2018與2019學(xué)年分別有8和10位高分學(xué)生，占全班總?cè)藬?shù)的20%與25%，連續(xù)兩年最高分都為100分，從中不難看出合作式學(xué)習(xí)將學(xué)生學(xué)習(xí)方式從“被動學(xué)習(xí)”變成了“主動學(xué)習(xí)”，有效促進了學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高.

3.2 合作式學(xué)習(xí)培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神原因分析

合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)方式能加強學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神.合作式學(xué)習(xí)小組的成員是一個個不同的“個體”，在每一次合作式學(xué)習(xí)的過程之中，小組成員之間、學(xué)生和老師之間的相互啟發(fā)與相互討論，都會產(chǎn)生不少思維上“閃光點”，提出許多值得討論的問題，這是一個動態(tài)地、創(chuàng)造性地獲得知識的學(xué)習(xí)方式，在這個過程中很“自然的”就培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神.常微分方程是一門理論與實踐并重的學(xué)科，在布置合作式學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)任務(wù)時，還可以通過一些實際問題引入.在完成學(xué)習(xí)任務(wù)之后，學(xué)生不僅加深了對某一知識點的記憶與理解，也增強了學(xué)生利用學(xué)科知識解決實際問題的能力，進一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神.以高階微分方程的降階為例，不妨用這樣一個問題來引入：從海平面上向海中沉放，某種物體，求該物體與海底接觸時的速度，即需要確定物體下沉深度s(從海平面算起)與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系.假設(shè)物體在重力作用下從海平面由靜止開始鉛直下沉，在下沉的過程中還受到阻力和浮力的作用，該物體的質(zhì)量為m， 體積為T， 海水的比重為ρ， 物體所受的阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為k.用s(t)表示在t時刻物體下沉的位移，考慮到位移的導(dǎo)數(shù)是物體降落的速度，而速度的導(dǎo)數(shù)就是加速度，則由牛頓第二定理，可以列出微分方程：

(1)

原二階微分方程就可以降階，成為一階微分方程：

這是一個變量分離方程，可以用變量分離法求出其通解，再考慮到初值條件s=0，v=0， 可以得到物體下沉深度s與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系， 從而通過求出(1)式，這個二階微分方程的解，不僅能讓學(xué)生學(xué)會高階微分方程降階的技巧，也能讓學(xué)生更加清楚這個物體的遠動規(guī)律，提高學(xué)生利用常微分方程的知識點解決實際問題的能力，加強了學(xué)生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)， 知識不是用來應(yīng)付考試的，是拿來用的.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽有利于數(shù)學(xué)理論，尤其是常微分方程的理論付諸實踐，對學(xué)生創(chuàng)新能力有較高要求.在實施教學(xué)改革之前，對大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽感興趣的學(xué)生不多，得獎學(xué)生更少.2017學(xué)年僅有9名學(xué)生組成3隊參加建模競賽，其中1隊共3名學(xué)生獲獎，占全班總?cè)藬?shù)的7.5%.大多數(shù)學(xué)生更加習(xí)慣的是“按部就班”地學(xué)習(xí)與考試.實施教學(xué)改革之后，學(xué)生逐步習(xí)慣了合作式學(xué)習(xí)這一種動態(tài)地、創(chuàng)造性地獲取知識地方式，對自身創(chuàng)新能力的要求也越來越高.2018學(xué)年共有15名學(xué)生組成5隊參加了建模競賽，其中有3隊共9名學(xué)生獲獎，占全班總?cè)藬?shù)的22.5%.2019學(xué)年共有21名學(xué)生組成7隊參加了建模競賽，其中有5隊共15名學(xué)生獲獎，占全班總?cè)藬?shù)的37.5%.參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽學(xué)生人數(shù)和獲獎學(xué)生人數(shù)穩(wěn)步增多，反映了基于合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)改革能有效促進學(xué)生創(chuàng)新精神的培養(yǎng).

3.3 合作式學(xué)習(xí)提升了學(xué)生的綜合素質(zhì)原因分析

合作式學(xué)習(xí)能夠培養(yǎng)學(xué)生各方面的素質(zhì)，首先能培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和人際交往能力，這在現(xiàn)代社會中是尤為重要的.整個合作式學(xué)習(xí)小組要按照教學(xué)大綱的要求按時按量地完成既定學(xué)習(xí)目標(biāo)和任務(wù)，就需要小組中每一個成員能夠有有效地、良好地溝通，通力合作，為了同一個目標(biāo)而努力，這在無形之中就培養(yǎng)了學(xué)生的人際交往能力和合作精神.其次合作式學(xué)習(xí)還能培養(yǎng)學(xué)生的抗壓能力和心理素質(zhì).無論是在生活中，還是在學(xué)習(xí)上不可能都是一帆風(fēng)順的，會遇到各式各樣的挫折.學(xué)生大多習(xí)慣了傳統(tǒng)的教育模式——老師講授知識，學(xué)生被動的學(xué)習(xí)知識，一開始學(xué)生可能會對合作式學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)模式感覺很新鮮很好奇，激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)積極性，但是，如若他們在主動地探索知識的過程遇到困難和挫折，難免就會打擊到他們的學(xué)習(xí)熱情和積極性，這時就需要學(xué)習(xí)小組內(nèi)部成員之間相互啟發(fā)、相互鼓勵，在全策全力完成學(xué)習(xí)任務(wù)的過程之中，不斷加強自身的抗壓能力和心理素質(zhì).最后合作式學(xué)習(xí)還能增強學(xué)生的競爭意識和集體榮譽感，對學(xué)生畢業(yè)之后，融入社會大有益處.教師在布置學(xué)習(xí)任務(wù)時，可以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)合作式學(xué)習(xí)小組之間的學(xué)習(xí)競爭，激勵合作式學(xué)習(xí)小組的成員為了集體的榮譽感，積極投入到學(xué)習(xí)之中.合作精神、人際交往能力、抗壓能力和心理素質(zhì)、競爭精神、集體榮譽感是學(xué)生綜合素質(zhì)中不可或缺的部分，通過常微分方程課程的學(xué)習(xí)，這些能力是否得到有效培養(yǎng)，需要學(xué)生在日常學(xué)習(xí)與生活中自己感悟，他們才更加具有發(fā)言權(quán).實施教學(xué)改革之后，每一項評教內(nèi)容學(xué)生評教平均分均在19分以上(總分為20分)，反映了基于合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)改革能有效提升學(xué)生的綜合素質(zhì).

4 結(jié) 論

本文分析了常微分方程教學(xué)中關(guān)于合作式學(xué)習(xí)的教學(xué)改革，展示了理論知識與實際應(yīng)用相結(jié)合的教學(xué)案例，取得了良好的教學(xué)效果.為了使合作式學(xué)習(xí)方法更好地融入到常微分方程的教學(xué)之中，還需要在授課過程中優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容、合理選擇合作式學(xué)習(xí)的方式、不斷完善教學(xué)實施方案，這樣才能有效促進教學(xué)改革、提高教學(xué)質(zhì)量.

致謝作者非常感謝參考文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.