引入競爭機制的改進AR譜估計間諧波分析方法

劉海濤，孫放，夏書悅

（1.南京工程學院 電力工程學院，江蘇 南京 211167；2.江蘇省配電網智能技術與裝備協同創新中心，江蘇南京 211167）

近年來，隨著電力電子技術的迅速發展，電力系統中諧波問題越來越復雜，嚴重影響了電力設備的安全經濟運行。其中，由較大電壓波動或沖擊性非線性負載引起的間諧波，不僅具有諧波的危害，還會導致次同步震蕩、電壓閃變及波動等問題。因此，精確地檢測和分析間諧波具有非常重要的工程實際意義[1-2]。

針對電力系統中間諧波的分析與檢測，眾多學者進行了大量研究，并取得了豐碩成果。目前較為常用的間諧波分析方法有很多，包括傅里葉變換、自回歸（autoregressive，AR）譜估計法、小波變換法、S 變換法等[3-5]。文獻[6]提出了一種小波包變換和快速傅里葉變換相結合的檢測方法，從而確定諧波的相位、幅值以及頻率信息，但在低頻諧波的檢測方面誤差較大，需要進一步改進算法來得到更加精確的低頻諧波參數。文獻[7]通過把CEEMD 和改進Prony 相結合實現諧波分量特征參數的有效提取，具有良好的抗噪性能，但是對頻率和相位的檢測精度較差，間諧波的檢測精度偏低。文獻[8]提出了一種最優加權Burg 譜估計來分析間諧波，進一步改進了Burg 算法的性能，提高了頻率分辨率，但檢測間諧波的幅值和相位精度不高。文獻[9]將Synchrosqueezing 小波變換應用到電力系統諧波檢測中，對連續小波變換的結果進行同步擠壓，以此計算電力信號主頻率，并結合最小二乘擬合和Hilbert 變換，計算噪聲背景下諧波的幅頻參數，有效地抑制了噪聲的干擾，但在對間諧波頻率檢測時誤差較大，且算法運算量很大。

上述文獻的方法在針對間諧波檢測方面都有一個共同點：若要最終求得的間諧波參數足夠精確，首要的是獲得間諧波信號中各個分量的頻率，接著再展開下一步的計算。而上述這些方法都很難做到同時兼顧諧波檢測的高分辨率和高精度。針對多數諧波檢測方法諧波頻率精度低的問題，文中采用頻率分辨率較高的AR 譜估計法進行求得間諧波頻率，但由于AR 譜分析無法精確估計間諧波幅值及相位，因此需要對間諧波的幅值及相位進一步優化。文章基于已有成果，提出了一種具有競爭機制的改進混合遺傳粒子群算法，利用AR 譜估計法獲取間諧波的階數和頻率，并將間諧波信號幅值編碼于改進混合遺傳粒子群算法中，最后利用該算法對間諧波的相位及幅值進行參數的估計，進而使諧波檢測中參數估計的精確度和抗干擾性得到有效提高。

1 基于AR模型的間諧波譜估計

在現代譜估計中AR 譜估計是較為常用的一種間諧波分析方法，由于其頻率分辨率高以及計算量小的特點，得到了廣泛的研究和應用[10]。對于一個間諧波信號x（n），其AR模型可以表示為

式中：u（n）為白噪聲序列；p為AR 模型的階數；ak（k=1，2，…，p）為AR模型的參數。

由式（1）可得AR模型的Yule-Walker方程：

式中：rx（m）為信號x（n）的自相關函數；σ2為白噪聲序列的方差。

利用x（n）的前p+1 個相關函數rx（k）（k=0，2，…，p）能夠獲得AR模型的參數ak，所求參數ak代入式（2）能夠得到x（n）的功率譜：

由式（3）可知，若想求得間諧波信號x（n）的功率譜Px（ω），就要求得AR 模型參數ak以及方差。這樣，間諧波譜估計可以轉化成AR 模型的參數估計問題。

由于相比其他算法，Burg 算法求得的頻率分辨率較高且更易實現，因此文中采用該算法求解AR模型參數。p階前、后向預測誤差分別為

式中：kp為反射系數。

由式（5）求得kp后，再根據Levinson-Durbin 遞推公式即可計算AR 模型的參數，進而得到間諧波信號的功率譜密度估計。并且由于使用Levinson-Durbin 遞推公式進行計算，使得整體計算的復雜程度低于Prony 法、MUSIC 法等空間譜估計方法。

2 改進混合遺傳粒子群算法

粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）是一種具有全局搜索能力的智能優化算法，以速度為步長進行迭代尋優，第t+1 代第i個粒子的速度與位置更新的進化方程分別為

遺傳算法（genetic algorithm，GA）也是一種基于生物進化規律而產生的全局搜索智能算法，因此這2 種算法都具有群體優化的優點，但同時自身也存在某種不足和缺陷。對于粒子群算法而言，其實現相對比較簡單，迭代求解初期的收斂速度很快，不過隨迭代次數的增加，所有粒子都不斷地朝最優粒子的方向靠近，導致整個種群很容易陷入局部最優。而遺傳算法具有較強的全局搜索能力，但操作較復雜且后期搜索效率較低。基于2種算法的優缺點，人們嘗試將兩者結合，進行取長補短，研究出性能更為優越的算法[11]。

目前，遺傳算法與粒子群算法主要有2 種結合方式。一種是將2種算法以同等地位混合，即串聯和并聯。串聯是指在每一代進化過程中對所有個體依次進行遺傳操作及粒子群優化，并聯則是在進化過程中使兩種算法各計算1/2。文獻[12]提出了一種遺傳算法和粒子群算法結合的多子群分層串聯混合算法（hybrid genetic algorithm and particle swarm optimization，HGAPSO），采用分層結構，一系列遺傳算子組成底層，每個子群最優個體的精英群組成上層，但是相比標準粒子群算法，這種方法增加了近1 倍的計算量。另一種是把遺傳算子引入到粒子群算法中，以提高算法尋優能力。文獻[13]將選擇算子引入到粒子群算法中，一定程度提升了收斂速度，但由于選擇機制的影響，種群的多樣性有明顯的降低。文獻[14]將變異算子引入到粒子群算法中，雖然在一定程度上增加了種群的多樣性，但并不足以改變群體優化的本質特征。

基于淘汰和精英學習的策略提出了一種具有競爭機制的改進混合遺傳粒子群算法，通過篩選精英粒子、淘汰劣質粒子，同時在精英粒子間互相學習，以獲取最優粒子。實驗表明，采用這種競爭策略不僅避免了粒子易陷入局部最優和搜索能力欠佳等問題，還顯著提升了算法的求解精度。其操作方式主要由排序、選擇、交叉以及變異4部分組成，具體內容包括：

1）排序操作。在每次迭代的過程中，通過適應度值對粒子進行比較并排名，以此來確定該粒子是否為精英粒子，即將前50%的粒子標記為精英粒子，保存并記錄該精英粒子群體，將后50%的粒子標記為劣質粒子并淘汰剔除。

2）選擇操作。由于在排序操作中剔除了劣質粒子群體，使得粒子群體規模減少了1/2，因此需要對淘汰的粒子群體進行補充使群體規模完整。為了獲得高質量的粒子以補充淘汰粒子，采取優中選優的方式選取父代，即從精英粒子群體中隨機選擇2 個粒子進行適應度值比較，并記錄適應度值較小的粒子，作為父代parent1，采取同樣的操作選取出父代parent2，進行交叉而獲得子代作為新生的生命體，并對淘汰的粒子群體進行補充。

3）交叉操作。對2 個父代進行交叉操作，具體操作表達式為

式中：child1（x），child2（x）分別為父代parent1（x）和parent2（x）經過交叉產生的子代粒子位置；rand為0～1 之間均勻分布的隨機數；child1（v），child2（v）分別為父代parent1（v）和parent2（v）經過交叉產生的子代粒子速度。

檢查更新后的速度與位置是否超出范圍，超出范圍的取邊界值。

4）變異操作。種群的變異操作能夠恢復粒子或者再次開發粒子的遺傳物質，以防止粒子在求解過程中出現早熟收斂。文中采用的變異方式為

改進HGAPSO算法基本步驟如下：

步驟1：確定算法的種群規模N、搜索維度d、慣性權重w、加速系數c1和c2、迭代次數k；

步驟2：在求解問題定義范圍內隨機初始化每個粒子的速度和位置；

步驟3：通過適應度值對每個粒子進行升序排序，確定出精英粒子群體和淘汰粒子群體；

步驟4：根據選擇操作確定父代粒子，通過式（8）～式（11）進行交叉計算，直到種群規模完整為止，并更新該部分粒子的個體歷史最優值和全局最優值；

步驟5：通過式（6）、式（7）更新精英粒子的個體歷史最優值和全局最優值；

步驟6：通過式（12）對所有粒子進行相應的變異處理，更新粒子群體的個體歷史最優值和全局最優值；

步驟7：判斷是否滿足條件，滿足則輸出結果，否則返回步驟3。

3 基于改進HGAPSO 算法的AR 譜估計法

間諧波信號模型如下：

式中：M為信號模型的階數；Ak，fk，φk分別為第k個諧波分量的幅值、頻率和初相位；λ（t）為方差為σ2的白噪聲。

根據三角公式，式（13）可變為

通過式（14）將幅值和初相位的分析轉化為參數ak和bk的計算。經過改進HGAPSO算法實現幅值參數ak，bk的優化計算，即把所求參數ak，bk編碼于粒子群的位置當中。在一定的諧波分析時間Ta下，使粒子群的目標函數值F最小，即

改進HGAPSO 算法基于式（15）進行優化計算后，獲得幅值參數ak，bk的估計值，并通過下式計算出幅值Ak和初相位φk：

結合AR 譜估計法獲得諧波頻率及階數后，使用改進HGAPSO 算法對間諧波進行分析計算。圖1 為AR 譜估計結合改進HGAPSO 算法進行間諧波分析的流程圖。

圖1 基于AR譜估計和改進HGAPSO算法進行間諧波分析的流程圖Fig.1 Flow chart of inter-harmonic analysis based on AR spectral estimation method and improved HGAPSO algorithm

4 算例分析

4.1 簡單間諧波信號參數檢測

考慮簡單間諧波信號如下：

式中：λ（t）為白噪聲，信噪比40 dB。

表1 和表2 分別為使用AR 譜估計、插值FFT及加窗BT譜分析諧波頻率和幅值的估計結果。

表1 AR譜估計、插值FFT及加窗BT譜分析的諧波頻率估計結果Tab.1 Analysis result of harmonic frequency with AR spectral，interpolation FFT and windowed BT spectral estimation

表2 AR譜估計、插值FFT及加窗BT譜分析的諧波幅值估計結果Tab.2 Analysis result of harmonic amplitude with AR spectral，interpolation FFT and windowed BT spectral estimation

從表1 可以看出，與插值FFT 以及加窗BT 譜分析相比，使用AR 譜估計法能夠獲得較高的頻率分辨率，但從表2 的諧波幅值估計結果發現其幅值分析出現了較大誤差。因此本文旨在AR 譜估計獲得較高頻率分辨率的基礎上，采用智能算法對諧波的幅值和初相位進行優化計算。

4.2 復雜間諧波信號參數檢測

4.2.1 無噪聲干擾下的間諧波參數檢測考慮無噪聲干擾下的復雜間諧波信號如下：

式（18）中各諧波、間諧波的頻率、幅值和初相位如表3所示。

表3 諧波及間諧波參數Tab.3 Harmonic and inter-harmonic parameters

取采樣頻率2 000 Hz、采樣點數1 024、頻率細化插入點數100，分別采用文中提出的改進HGAPSO 算法、HGAPSO 算法、標準PSO算法和標準GA 算法對諧波模型進行優化。優化參數具體設置為：粒子數目50，迭代步數500，w=0.729 8，c1=c2=1.494 4，搜索范圍ai，bi∈[-1，1]，i=1，2，…，9。粒子在每次迭代過程中通過計算目標函數的最佳適應度值，進而獲得諧波的幅值和初相位，迭代收斂曲線如圖2所示。

圖2 4種算法迭代收斂曲線Fig.2 Iterative convergence curves of four kinds of algorithms

從圖2 可以看出，隨著迭代的增加，改進HGAPSO 算法適應度值呈現持續下降的趨勢，并在第500 步迭代終止時收斂到10-6數量級，達到了較高的精確度。而其他3種算法從迭代初始便陷入了局部最優，最終PSO 算法和HGAPSO 算法的適應度函數值下降了3個數量級，而GA算法僅下降了2個數量級。因此文中提出的改進HGAPSO 搜索速度更快，適應度值的數量級遠超于HGAPSO 算法、PSO 算法和GA 算法，對諧波的幅值和初相位的計算具有明顯的優勢。仿真結果如表4～表7所示。

表4 基于改進HGAPSO算法諧波和間諧波參數的仿真結果Tab.4 Simulation results of harmonic and inter-harmonic parameters based on improved HGAPSO algorithm

表5 基于HGAPSO算法諧波和間諧波參數的仿真結果Tab.5 Simulation results of harmonic and inter-harmonic parameters based on HGAPSO algorithm

表6 基于PSO算法諧波和間諧波參數的仿真結果Tab.6 Simulation results of harmonic and inter-harmonic parameters based on PSO algorithm

表7 基于GA算法諧波和間諧波參數的仿真結果Tab.7 Simulation results of harmonic and inter-harmonic parameters based on GA algorithm

由表4～表7 可以看出，文中提出的改進HGAPSO 算法能有效地估計9 個諧波分量的幅值和初相位。其對于幅值和初相位的求解精度明顯高于采用HGAPSO 算法、PSO 算法和GA 算法。4種算法幅值和初相位誤差如表8所示。

表8 幅值和初相位誤差Tab.8 Errors of amplitude and initial phase

從表8 可以看出，改進HGAPSO 算法優化后幅值的絕對值誤差和初相位絕對誤差也明顯低于其他3種優化算法。可以發現，使用PSO算法對幅值和諧波進行優化計算時，計算精度明顯要高于GA算法，總體來看，對于諧波的優化計算使用PSO算法更加合適，并且能夠達到工程的實際要求。

4.2.2 噪聲干擾下的諧波和間諧波參數檢測

實際工程中，諧波的分析通常伴有噪聲存在，故在算例4.2.1 復雜間諧波信號中加入隨機噪聲λ（t）進行仿真實驗。定義間諧波參數的綜合誤差Et如下式：

λ（t）依次取0.01，0.02，0.03，0.04，0.05 做仿真試驗，隨機噪聲對間諧波綜合誤差的影響如表9所示。

從表9 可以看出，隨著隨機噪聲值的不斷增加，間諧波估計參數的綜合誤差不斷增加，說明隨機噪聲的增加對算法分析諧波的精度具有一定的影響。經過比較可知，改進HGAPSO 算法的求解精度明顯強于其他幾種算法。

表9 隨機噪聲對間諧波綜合誤差的影響Tab.9 Effects of random noise on inter-harmonic combined error

5 結論

1）AR 譜估計法具有較高的頻率分辨率，同時可較準確分辨信號中所含間諧波的個數，但是對諧波的幅值和相位計算誤差較大，因此不能單獨使用AR譜估計法對諧波各參數進行分析。

2）基于淘汰和精英學習的策略，提出了一種具有競爭機制的改進HGAPSO 算法，并將其與其他3 種算法的仿真結果進行比較。結果表明，改進HGAPSO 算法可以較好地實現間諧波幅值和相位的參數優化，間諧波參數的綜合誤差Et低于3%，且該算法求解精度更高，能夠有效地逃避局部最優，具有強健的穩定性。

3）采用AR 譜估計法和改進HGAPSO 算法相結合的諧波分析策略，能夠有效地分析諧波頻率、幅值及初相位，求解精度較高且易于實現。但在實際求解過程中，由于使用群體智能算法的影響，使得諧波分析時間較長，因此，如何加快諧波分析效率仍然是今后需要研究的問題。