基于推理表現水平進階的猜想、說理與例證
——《比的基本性質》同課異構教學解析與思考

文|宋煜陽（特級教師）

推理能力作為小學生必備的數學核心素養之一，是學生數學學科能力中的一項核心能力，是提升學生學科核心素養的關鍵。培養和發展學生的推理能力，是數學教學的重要目標。

推理能力是否得到發展，本質上是學生推理表現水平進階的反映。而刻畫學生推理表現水平，既需要選取典型的課例作為學習載體，又需要整個推理活動過程加以貫穿。猜想、說理和例證是推理能力表現水平的重要元素，同時又是推理學習過程的核心活動，為此，圍繞推理表現水平進階，對《比的基本性質》教學中的猜想、說理與例證等活動的討論，具有重要的意義。

一、表現水平的進階：理解與刻畫教學目標的重要基點

《比的基本性質》一課，作為六年級上冊的推理內容學習，它究竟承載著怎樣的教學目標？我們有必要回到《數學課程標準（2011年版）》相關目標要求來思考。如第二學段課程內容目標指出，“在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結果”；又如在實施建議中提出要處理好“合情推理與演繹推理的關系”，要“通過實例使學生逐步意識到，結論的正確性需要演繹推理的確認，可以根據學生的年齡特征提出不同程度的要求”等。

問題在于，對于六年級學生來說，怎樣才算是能比較清楚地表達自己的思考過程？演繹推理怎樣的程度要求才算是適切的？特別是，我們該如何為即將升入第三學段的學習對象作出必要的銜接？這一系列問題，都需要借助推理能力表現水平指標將相關課程目標具體化。

參照徐斌艷教授“數學學科核心能力框架模型”研究成果，推理能力表現水平可劃分為記憶與再現、聯系與變式、反思與拓展三個層次。各水平層次的表現指標和本課例表現行為作如下描述。

水平一：記憶與再現。

主要表現指標：能夠形成一些合理的猜測；能夠有條理地表達獲得猜想的推理過程；能夠在簡單情境下解釋命題的正確性。

課例表現行為：能對“比的基本性質”作出猜想，但表述不完整；能通過舉例子、計算比值進行不完全歸納說明，但缺少大量例證和反例意識；驗證意識、論證過程的完整性都需要引導。

水平二：聯系與變式。

主要表現指標：能在較復雜的問題情境下提出認知水平層次較高的猜想；能清晰地表述思考過程；能夠聯系他人的推理與已有經驗進行解釋。

課例表現行為：能對“比的基本性質”作出猜想，會用語言完整表述；能采用不完全歸納推理的方法來進行說理，知道例證的基本要求；能讀懂他人利用“除法與比的關系”“商不變性質”演繹推理得出“比的基本性質”的過程與方法，初步學會利用“分數與比的關系”仿照進行演繹推理，但不能獨立完成整個演繹推理過程。

水平三：反思與拓展。

主要表現指標：能夠獲得更多猜想，對結論進行反思和檢驗；有理有據地表達，說理充分；能通過枚舉歸納和演繹推理兩種思路進行解釋說明。

課例表現行為：能對“比的基本性質”作出猜想，會用語言完整表述，并能對后續“比例”的性質以規律形式進行猜想；在不完全歸納推理的基礎上，能利用“除法與比的關系”“分數與比的關系”“商不變性質”“分數的基本性質”等數學事實進行演繹推理，獨立完成整個過程，能說出每步推理的依據。

作為推理活動的核心元素，猜想、說理和例證成為推理表現水平進階的關鍵。為此，兩個課例在猜想、驗證（推理）過程上給出了充足的活動時空，同時在活動要求上也給出了較高的要求。就推理能力表現水平進階而言，兩節課例的學習活動目標定位都是合理的，也是必要的。

二、知識經驗的聯結：推進猜想與說理活動的重要抓手

在“比的基本性質”之前的學習中，學生經歷了多次規律和性質的探究歸納、舉例說理活動，積累了一定的“猜想”“驗證”等推理活動經驗。因此，如何有效激活知識經驗之間的內部聯結、實現學習者的自主遷移，成為本課推進猜想與說理活動的重要抓手。

就猜想與說理活動板塊來說，本課主要有兩個地方的知識經驗內部聯結。

聯結一，關于分數、除法和比之間的知識內聯，包括三者各部分名稱和三條性質之間的等價聯結。此處的聯結目標主要指向兩個：一個是幫助學生激活經驗，開展合情推理活動，根據商不變性質、分數的基本性質內容，對新的“比的基本性質”進行類比猜想；另一個是利用三者等價關系的轉化進行說理，開展各類推理活動，這是推理表現水平進階的節點，也是本課的學習難點與關鍵。課例教學中，兩位教師都非常重視這個知識內聯的激活與延展。鮑老師是借助“關于比，你有哪些了解”“‘基本性質’不是第一次見了，你還記得哪些‘基本性質’？”“猜想一下，比的基本性質會是怎樣的？”等問題，展開復習回憶并完成“比的基本性質”類比猜想。王老師則借助具體學習任務巧妙展開，先給出等值的一組數與算式（，組織學生觀察討論它們的相同之處和不同之處，激活三者之間的關系；緊接著通過“0.3÷0.5”的快速求值，激活商不變性質，進而類比猜想“比的基本性質”。盡管知識聯結的手法略有不同，但都有效激活了分數、除法和比之間的知識內聯，既快捷達成了類比猜想的聯結目標，又為后續利用三者關系說理奠定了扎實的基礎。

聯結二，關于不完全歸納推理的經驗內部聯結，聯結目標主要是調用學生舉例驗證、判斷說理的已有經驗方法，對新的“基本性質”進行論證。教學中，兩位教師都圍繞“從嚴格意義上講，只能驗證你們舉的例子是成立的，這些例子能說明所有的比都成立嗎？”“舉例子是數學證明中常用的方法，只是這樣的一、兩個例子就能證明剛才的猜想成立嗎？”等核心問題，展開正例數量與結論可靠性之間的思辨，既有利于學生推理表現水平從“記憶與再現”向“聯系與變式”提升，又增進了學生的質疑意識。特別是鮑老師，在得出比的基本性質后還進行了方法回顧、梳理，有助于學生向“反思與拓展”這一推理表現水平進階。

三、推理路徑的豐富：體會例證數量與方式的重要支點

“基本性質”的推理路徑學習經歷了三個階段，分別是：在“商不變性質”中學習歸納推理；在“分數的基本性質”中側重學習歸納推理，補充了解演繹推理；在“比的基本性質”中將歸納推理、演繹推理整體推進學習。整個推理路徑學習序列呈現從單一到豐富、從側重合情推理到兩類推理整體推進的特點，而這個特點既可以視為推理表現水平進階，也是對課程標準實施建議“處理好合情推理與演繹推理的關系”“根據學生的年齡特征提出不同程度的要求”的具體理解。

從兩節課例實際教學來看，“比的基本性質”推理路徑主要有不完全歸納推理、科學歸納推理和演繹推理三類。兩位教師都基于結論的正確性，圍繞例證的數量與論證方式對推理路徑加以豐富并穿插比較。

當學生呈現慣用的不完全歸納推理方法時，兩位教師都對其特點與局限進行了及時點撥，如“這些例子能說明所有的比都成立嗎？”“這樣的一、兩個例子就能證明剛才的猜想成立嗎？”等問題，幫助學生明確不完全歸納推理的論證基本思路是“舉例驗證———不完全歸納確認結論”，體會它是需要大量例證支撐，結論確定性存在一定風險的特點。在此基礎上，拋出“還有其他方法說明這個結論一定成立嗎？”“他沒有求比值，能說明它們相等嗎？”等問題思考，進而呈現另外兩類推理路徑。其中，王老師充分結合圖1 中材料展開推理依據的追問，并形成圖2 的板書圖，幫助學生借助個例中除法、比、商不變性質之間的因果關系，實現了科學歸納推理，了解了“舉例——尋找因果關系——確認結論”。在鮑老師的課堂上，學生直接將除法和比聯系在一起，通過“比的前項相當于被除數，比的后項相當于除數，比值就是商，因為除法中有商不變性質，所以比的前項和后項同時乘或除以一個不為0 的數，比值不變”，推導得出結論成立，呈現了較為完整、清晰的演繹推理路徑。兩位教師都非常重視說理依據的追問，強調“有理有據地表達”。如果兩位教師能夠對后兩類推理路徑的特點與步驟進行及時點撥，比如“這樣的驗證需要多少個例子？”“這樣驗證的基本步驟是什么？”將促使學生對推理路徑多元化和優化有更深的體會，也將有助于“反思與拓展”表現水平的達成。

兩節課例雖說同課異構，但都以推理表現水平進階為目標，以猜想、說理和例證為抓手，以豐富推理路徑為手段，呈現許多相似性。同時，后測研究表明兩節課例的學習成效都達到了較高水平。其中，對后續“比的基本性質”教學中采用找規律（圖3）、解釋說理（圖4）的方式進行了測查統計，近20%的學生解釋說理時能夠將比轉換成分數形式，再利用圖3 獲得的規律作為前提進行演繹推理，表明學生已經達到了“反思與拓展”水平層次，實現了推理表現水平的進階。