一種改進RAIM 算法在列車定位中的應用

楊芝鳳，王瑞峰

（蘭州交通大學 自動化與電氣工程學院，蘭州 730070）

0 引言

列車運行過程中，定位精度和可靠性是行車安全的一項重要指標[1-2]。京張高鐵首次采用北斗衛星導航系統（BeiDou navigation satellite system,BDS），開啟了BDS 在鐵路中的應用。接收機自主完好性檢測（receiver autonomous integrity monitoring,RAIM）算法利用接收機內部的冗余值進行自主檢測而不依靠外部設備，它具備自主故障檢測能力，可以在BDS 導航衛星出現錯誤并導致定位精度下降時報警，有效保障了列車在運行過程中的定位安全[3-4]。

文獻[5]提出使用水平保護級別（horizontal protect level,HPL）方法來對RAIM 算法進行可用性預測，對RAIM 在定位中的應用提供可靠性保障；文獻[6]提出一種加權的HPL 算法，仿真驗證了加權HPL 算法可以提高RAIM 算法的可用性；文獻[7]將RAIM 應用于室內定位中，并解決了室內信號衰減大的問題，將水平方向定位結果控制在10 m 以內；文獻[8]隨著多星座組合導航的出現，提出通過對可見星星座進行篩選來提高定位的精度以及魯棒性；文獻[9]對衛星在列車定位中的應用作出可行性分析，并對RAIM 算法在鐵路中的應用給出可用性評估；文獻[10]研究了一種沿股道方向保護級別（along track protect level,ATPL）算法，將RAIM 應用于鐵路領域，并仿真驗證了RAIM 在鐵路應用中的可行性；文獻[11]在ATPL 算法中引入加權因子來檢查故障衛星，以提高列車定位中的故障檢測率。

RAIM 算法在列車定位中存在精度不足以及容易漏檢的問題。改進的RAIM 算法分析特征斜率對衛星漏檢率和定位精度的影響，進而對加權矩陣進行判定，并對觀測方程進行處理，可以有效降低衛星故障漏檢的風險，從而提高算法定位精度，滿足鐵路運行的需求。

1 RAIM 算法基本原理

1.1 BDS 定位原理

衛星到列車接收機的距離由衛星發射信號的時間到接收機接收信號的時間差乘以光速所得。由于衛星發射信號時間與接收機接收信號時間有鐘差，此距離的計算公式[12]為

式中：i為正整數；γi為第i顆衛星的偽距；（x(i),y(i),z(i)）為第i顆衛星的坐標；（xu,yu,zu）為接收機坐標；bu為鐘差；ε(i)為第i顆衛星觀測誤差。

通過測量多顆BDS 衛星與列車接收機之間的偽距觀測量，結合三球交會的原理，只需要3 顆衛星即可完成定位運算；但是衛星偽距中含有衛星鐘差和接收機鐘差，所以至少4 顆可見衛星才能完成定位。其原理如圖1 所示。

圖1 衛星定位原理

1.2 可用性判斷

算法可用性判斷一般分為最大精度因子法、近似徑向誤差保護法和水平保護限值法[13]3 種。本文采用水平保護限值法進行可用性判斷，將水平保護限值HPL 與列車行駛階段的水平告警限值（horizontal alert limit，HAL）進行比較后得到。衛星仰角大于15°時衛星可見，在可見衛星數大于 4 顆且HPL

表1 完好性水平

2 改進的RAIM 算法

2.1 RAIM 算法原理

BDS 定位的偽距觀測方程為

式中：y為衛星到列車的N維偽距矢量，N為可見衛星的個數；x為4×1 維列向量，表示列車的3 維坐標以及鐘差；H為N×4 維觀測矩陣，由衛星的仰角和方位角決定；ε為N×1 維的測量誤差矢量。當N=4 時，ε較小，一般取0；當N>4 時，ε取均值為0、方差為δ2的正態分布，觀測矩陣為

式中：θN是第N顆可見衛星的仰角；αN是第N顆可見衛星的方位角。

最小二乘解為

偽距殘差為

衛星的特征斜率為

式中：i表示第i顆可見衛星；Li表示第i顆衛星的特征斜率。

水平定位誤差和檢驗統計量的劃分[10]如圖2所示。

圖2 檢測結果劃分

圖中虛線部分將結果劃分為4 個區域，在低密度鐵路線路中，HAL 為50 m，TD為檢驗統計量，T為檢驗門限。由圖左上角區域可得，HPL>HAL且TDT，此時為誤檢狀態；其他2 個區域為系統正常運行的2 個狀態。

漏檢狀態是系統最危險的狀態，該狀態威脅到列車的安全運行。減小漏檢狀態，就要保證每顆衛星都不漏檢，即保證最大特征斜率的衛星不漏檢。因為衛星的特征斜率越大，相應的水平定位誤差越大，也就越容易漏檢。改進的RAIM 算法可以利用衛星特征斜率的特性進行加權處理，將斜率較大的衛星分配盡量小的權值，從而減小漏檢的概率。通過加權處理后，可以提高RAIM 算法的可靠性，保障列車在運行中的安全。

2.2 改進RAIM 算法

在以上分析的基礎上，構建權值矩陣W為

權值矩陣W為N?N維矩陣。在式（2）的基礎上進行加權，即

加權最小二乘解為

定義列車接收機的初始坐標為x0=（0,0,0,0）,對方程進行求解后得到最小二乘解，則列車位置為x1=x0+Δx。給定Δx一個預設范圍，如果‖Δx‖大于范圍值，則將x1代入式（8）中作為初始坐標進行求解，直到‖Δx‖小于范圍值，輸出x1的坐標值，即為列車接收機的坐標值。

偽距殘差矢量為

式中：IN為N×N維單位陣；Q=IN－H(HTWH)-1HTW，為一個N×N維的矩陣。

偽距殘差向量的平方和SSE 為

由式（11）可知，在列車正常行駛過程中，衛星系統在正常的工作狀態下，偽距殘差矢量的變化影響SSE的大小，SSE 偏大時系統易發生故障。因此可用SSE 來構造檢驗統計量，用以判斷系統是否正常工作。

構造偽距殘差的檢驗統計量為

列車正常行駛過程中，若BDS 正常運行，ε為均值為0、方差為δ2的正態分布，SSE/δ2滿足自由度為（N-4）的χ2分布；若系統出現故障，ε的均值不為0，SSE/δ2滿足自由度為（N-4）、非中心化參數為λ的卡方分布。

當BDS 系統正常工作時，有

式中PFA為誤檢概率。

BDS 最大誤檢率取3.33×10-5，利用式（13）可以求出檢驗門限T。

當有故障衛星時，有

式中：P代表PFA與PMD的分布范圍；PMD為漏檢概率。

式中M=（HTWH）-1HTW。

RAIM 檢測流程如圖3 所示。

圖3 RAIM 檢測流程

將式（12）與式（13）計算出的TD與T進行比較，TDT則發生故障。

3 實驗與結果分析

3.1 改進RAIM 算法可用性驗證

利用MATLAB 軟件對算法進行仿真分析，首先進行可見星個數以及方位角、仰角的判定，確定算法的可用性。設置仿真時間步長為120 s，采樣時間樣本為180 次，得到可見星的個數如圖4 所示。由圖4 可得，可見衛星分布在7 到10 顆之間，大于5 顆，故滿足算法需求。

圖4 可見衛星

通過衛星的仰角和方位角，選取某一時刻對衛星特征斜率進行驗證，特征斜率如表2 所示。

表2 特征斜率

由表可知：當可見衛星數為7 時，15 號衛星的特征斜率最大，它所對應的定位誤差也為最大；7 號衛星的特征斜率最小，它所對應的定位誤差也最小。通過上文所述方法改進算法，并通過式（15）計算出HPL，其變化如圖5 所示。HPL的波動范圍為22～28 m，小于50 m，滿足低密度鐵路線路的要求。

圖5 HPL的變化

3.2 故障檢測

算法可用性判定完畢且確定可見衛星數大于5 顆之后，對衛星進行故障檢測的識別。在鐵路定位需求中，一般設定漏檢概率PMD=0.001，誤警概率PFA=3.33×10-5。利用MATLAB中的逆積分布函數可以求得檢驗門限T=4.685 6，根據T可得到檢驗統計量與檢驗門限，如圖6 所示。

圖6 故障檢測判斷

從圖中可以看出：傳統RAIM 算法所有時刻衛星的最小二乘法檢驗統計量均在檢測門限的范圍之內，未發現可見衛星故障情況；而在使用改進后的算法情況下，在600～680 s 間檢測到了故障。說明改進后的算法對故障更加敏感，這有效降低了漏檢的概率。

3.3 精度判定

精度衰減因子（dilution of precision,DOP）的值越大，說明衛星定位的誤差越大；反之，DOP的值越小，說明衛星的分布情況越好，定位誤差越小。精度因子分別有水平精度衰減因子（horizontal dilution of precision,HDOP）、垂直精度衰減因子（vertical dilution of precision,VDOP）、三維位置精度衰減因子（position dilution of precision,PDOP），幾何精度衰減因子（geometric dilution of precision,GDOP)、時間精度衰減因子（time dilution of precision,TDOP）。各精度因子的計算方法為：

在算法可用且衛星均未出現故障的情況下，對定位的精度進行評估，通過式（17）～式（21）對精度因子進行評估分析，從而驗證算法定位的準確性。對改進前后算法的HDOP、PDOP 值進行仿真分析，其中改進后算法的HDOP、PDOP 值分別用WHDOP、WPDOP 來表示，具體情況如圖7、圖8 所示。

圖7 HDOP 精度

圖8 PDOP 精度

從圖中可以看出，HDOP 與PDOP的值波動較小，表明衛星位置分布良好，且改進后的RAIM 算法比未改進的算法在定位精度上有所提高，這更好地保證了列車的運行安全。利用MATLAB 測定列車定位的誤差，設置默認時間為0，時間步長為60 s，采樣時間次數為60 次，經過迭代計算后，東向誤差的均方根值為4.275 2 m、北向誤差的均方根值為3.214 2 m。說明該算法能夠對列車進行比較良好的定位。

4 結束語

本文在對RAIM 檢測的漏檢率以及定位精度等問題進行分析后，提出一種改進的RAIM 算法，通過分析衛星特征斜率對漏檢和誤檢概率的影響，引入斜率矩陣進行修正，并通過數據仿真驗證算法的可用性，得到改進的RAIM 算法擁有更好的故障檢測率，可有效降低衛星漏檢的可能性的結論。在未出現故障的情況下，改進RAIM 算法定位精度因子的值更小，HDOP值在1.20～1.30 m之間，PDOP 值在1.50～1.60 m 之間，且各精度因子的值趨于穩定，表示定位結果相對更好。改進的RAIM算法更能滿足列車定位服務中高精度、高可靠性的需求。