基于APOS理論《完全平方公式》的教學設計

李英

【摘要】關于怎樣讓學生理解好完全平方公式，如何進行有效教學，是我們中學教師一直在研究的話題。本文以 APOS 理論為指導，設計了完全平方公式的新教學模式，嘗試以APOS理論為突破口，進行完全平方公式教學的有效性研究。

【關鍵詞】完全平方公式;APOS理論;教學設計

APOS理論是關于數學學習過程的以建構主義教學思想為指導的理論，理論的定義包含“Action、Process、Object、Schema”四個階段，這四個階段體現了數學知識是如何建構的，更利于學生學習。在數學公式的教學過程中主要采用兩種形式：原理至例子、例子至原理，后者是一種發現式的學習方式，與建構主義的學習理論是相符合的，所以本文主要是研究如何將APOS理論運用至《完全平方公式》的教學上去，探究APOS理論對于《完全平方公式》教學的促進作用。

一、操作階段

操作階段是學生構建數學概念知識圖示的重要基礎階段，將學生原有的知識框架以及分析模式與現有問題核心的數學知識進行進一步的聯系，構筑初期的感性認識。

教學設計：

一個皇帝準備獎賞兩個將軍。而這兩個將軍現在都各自已經擁有了一塊正方形的土地，其邊長是a米。其中一個將軍對皇帝說，我想請求您給我一個正方形封地，它的邊長為b米。另一個將軍說：“我只需要每一邊再多給我b米”國王很困惑，于是問道：你倆的要求不是一樣嗎？

師生活動：教師通過PPT來展示故事，學生讀題和思考，計算，再比較兩者。

設計意圖：將枯燥的數學問題納入有趣的故事中，以此來提高吸引力，并思考如何使用數學知識來解決實際的問題，感受數學中蘊含的智慧，增強學生學習數學的興趣。

二、過程階段

此階段是對操作階段解決的問題及其特性進行總結和反饋。由此，學生需要進行進一步的抽象概括，總結相應式子的特點，提升學生自身的思考能力。在這一個過程當中，教師應當根據學生自身的理解能力和問題解決的情況做出適當的引導，促使學生對此階段之前的活動內容進行反思。

教學設計：

活動一：發現公式

作圖對比面積大小。說說怎么樣才能讓兩位將軍的面積相等？

從圖比較的過程中發現（a+b）²=a²+2ab+b²

師生活動：學生通過PPT上展示的封地面積圖回答問題，同時教師引導學生思考圖形的幾何意義，通過觀察、思考、對比列出式子。

設計意圖：從土地面積計算入手，將完全平方公式引入，讓學生學會運用幾何圖形解析代數運算和公式。

活動二：代數角度推導公式

師：請同學們利用我們之前所學的知識填空并回答下列問題？

（1）（p+1）²=（p+1）（P+1）=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

（2）（m+2）²=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

2.觀察上面式子，回答下列問題：

a.等式左邊有什么相同的特點？

b.計算出的結果有相似之處嗎？

3.根據上面的規律你能直接寫出下列式子的結果嗎？

（a+b）²=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

換元拓展

師：等于什么？可否利用上面的公式表示出來？

師：你能找出（a+b）²=a²+2ab+b²、（a-b）²=a²-2ab+b²這兩個公式的共同點與區別嗎？

師生活動：讓學生觀察算式并獨立思考，進行分組交流、討論總結出算式特點，并總結公式。

設計意圖：通過具體到抽象的這樣一個過程，來加深學生的認識，也符合我們所說的“最近發展區理論”，在已學過知識的基礎上，讓學生自主觀察、自主探索的這種“觀察與計算”的任務逐步推進、從易到難，可滿足學生的不同學習需要，也利于引導學生開展實踐探究。積極地開展思維活動，尋求算式兩邊的聯系，從而找到“完全平方式之間的結構特征”。

三、對象階段

對象階段的個體，具備有將“運算過程”看作一個完整的部分進行轉換的能力。而此過程則變成了他的一種心理對象。此時的個體可以在各種相關聯的數學運算中實施和操控這一對象。

教學設計：

例1：運用完全平方公式計算。

2.運用完全平方公式思考并計算：

（1）99²（2）103²

師：你能用幾何圖形表示他們的意義嗎？

3.運用完全平方公式計算。

師生活動：教師要展示例題，讓學生自主思考、計算并回答問題，教師點評。

設計意圖：對學生來說，掌握乘法公式是怎么來的，如何計算的，以及它們之間的不同，是較難的事情，因此在平常練習中，需要聯系已經學習過的公式，對做題中出現的錯誤多思考總結，以加深學生對公式結構特征的理解，同時聯系公式的幾何意義，為后續學生圖式階段的發展做好鋪墊。

四、圖式階段

數學中的“圖式”是一種認知框架，由過程、活動、對象和相關知識的圖式組成。它的功能和特點是決定刺激是否屬于這種模式，并做出不同的反應。

教學設計：

1.已知a+b=5，ab=4，求（a+b）²， （a-b）²

2.計算（a-b-c）²

師：你能用圖形來解釋這一結果嗎？能總結一下這一節課所學內容嗎？

師生活動：教師進行提問，讓學生自主思考、計算并回答問題，教師注意對學生不同的解答方法給予肯定，注意學生對于公式的使用是否正確，及時指導反饋。

設計意圖：通過拔高訓練使學生深入辨析、思考公式，達到對于完全平方公式的靈活運用。學生總結這一節課的知識，使學生對知識的本質理解更深刻，做到心理圖式的穩定建構。

結論：公式的教學不能是學生被動的接受知識的過程，而需要學生有一個反思內化的過程，領悟公式的結構特征和本質。

【參考文獻】

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