對拉普拉斯變換的教學理解

楊晶

[摘? ? ? ? ? ?要]? 拉普拉斯變換是本科常微分方程教學中的一個基本理論，也是研究生數學物理方程教學中的重點，被廣泛應用于微分方程的求解中。從拉普拉斯變換的定義及拉普拉斯變換在微分方程求解中應用的角度對拉普拉斯變換進行認識，從而幫助學生更好地理解及掌握拉普拉斯變換這一知識點。

[關? ? 鍵? ?詞]? 拉普拉斯變換;應用;教學;微分方程

[中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2021）11-0164-02

隨著18世紀傳統力學的蓬勃發展，在物理學的研究中產生了大量的微分方程，而對這些微分方程的研究受到了眾多學者的關注。拉普拉斯變換，作為解決電工計算中遇到的一些基本問題應運而生。拉普拉斯變換是一種簡化微分方程的“運算”，可將復雜的微積分計算轉化為簡單的代數計算，是研究和求解微分方程的一種簡便方法，為工程技術工作者所普遍采用，在電學、力學及自動控制等科學領域得到廣泛的應用。下面我們將從一個教師的角度，針對拉普拉斯變換的定義、性質及應用闡述關于教學的思考和理解。

一、拉普拉斯變換的定義與性質

在進行拉普拉斯變換的教學之前，學生已經學習過傅里葉變換[1-2]的相關知識。怎么從傅里葉變換過渡到拉普拉斯變換，或者說怎么引入拉普拉斯變換是教師在教學中應該要思考的問題。傅里葉變換的重要性毋庸置疑，它將原來難以處理的時域信號轉換為易于分析的頻域信號，是數字信號處理領域一種很重要的算法，也是求解微分方程的重要手段。但是在學習傅里葉變換時，我們已經知道進行傅里葉變換的函數除了要求滿足狄利克雷條件外，還必須在整個實數域上絕對可積。但在物理、無線電技術等實際應用中，許多以時間t為自變量的函數在t<0時是無意義的，或者說對于有些函數是不需要考慮t<0時的情形的。這樣，傅里葉變換的應用范圍就受到很大限制。怎樣弱化這些限制就顯得尤為重要，而且這也是值得學生探討和思考的問題。

前面已經提到過傅里葉變換是特殊的拉普拉斯變換，傅里葉變換自法國數學家Joseph Fourier于1801年解釋圓環面周圍熱流動時首次提出之后，成為許多學科用來解決無界區域上同方程有關的定解問題的一個重要工具[5]。它的重要性和適用的廣泛性在學習傅里葉變換時學生已經很清楚了，那么對于拉普拉斯變換而言，它同樣可以用于求解微分方程，接下來我們給出拉普拉斯變換的應用，以幫助學生進一步理解及掌握拉普拉斯變換。

二、拉普拉斯變換的應用

在本科階段常微分方程的學習中，學生已經知道了借助拉普拉斯變換可以把常系數線性常微分方程（組）轉換成復變量s的代數方程（組）。然后通過一些代數計算，進行拉普拉斯逆變換即可求出微分方程（組）的解。同樣借助拉普拉斯變換我們可以求解無界區域上的偏微分問題（如下例）。

值得注意的是，利用拉普拉斯變換解決偏微分方程的問題時，在答題之前對哪個變量進行拉普拉斯變換是需要學生認真考慮的地方。并且在由像函數求像原函數的拉普拉斯逆變換過程中，應該盡量避免直接進行復雜的復積分計算。一般的做法是將像函數分解為最簡分式，盡可能利用拉普拉斯變換表得到各個最簡分式的原函數，從而由拉普拉斯逆變換的線性性質即可得到所要求的像原函數。

拉普拉斯變換是常微分方程和數學物理方程中極其重要的環節，對此部分內容的教學，教師應通過弱化傅里葉變換限制條件的方式引入，以學生的思維方式為基礎，讓學生自己去發現拉普拉斯變換的本質，進而過渡深化到理論上更深層次的理解。同時，教師在教學過程中應盡量引入能夠幫助學生理解的感性材料，降低學習的難點，激發學生的主觀能動性，同時有意識地引導學生對所學知識及時總結，對傅里葉變換和拉普拉斯變換進行整理比較，對所學的知識能夠形成一個有機整體，進而能夠靈活運用并解決實際問題。

參考文獻：

[1]陳才生，李剛，周繼東，等.數學物理方程[M].北京：科學出版社，2008-04.

[2]李志榮，白靜.高等數學[M].北京：北京理工大學出版社，2018-07.

[3]吳志堅，吳筱堅.傅里葉變換與拉普拉斯變換[J].石油大學學報（自然科學版），1996（10）.

[4]謝緒愷.工數筆談[M].沈陽：東北大學出版社，2018-12.

[5]田保，田宏根.關于拉普拉斯變換法的一個注記[J].伊犁師范學院學報，2007（4）.

編輯 薛直艷