關于傅里葉變換教學中的拓展

楊杰

[摘? ? ? ? ? ?要]? 傅里葉變換作為重要的數學工具在數學學科本身和工程的應用中都起到非常重要的作用，這部分內容也是復變函數和復變函數與積分變換課程中的教學重點和難點。主要討論如何在傅里葉變換的教學中推廣到分數階傅里葉變換，并探討它們之間的聯系，從而讓學生對傅里葉變換的理解更加深刻。

[關? ? 鍵? ?詞]? 傅里葉變換;分數階傅里葉變換;Hermite-Gauss函數

[中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號]? 2096-0603（2021）11-0090-02

一、引言

傅里葉變換是工程領域，特別是信號處理領域一種很重要的算法，例如在信號與系統和數字信號處理等相關課程中都占了比較大的篇幅。但是為什么要進行傅里葉變換，其變換的物理含義是什么，一直是學生對其理解的難點。本文主要根據自己多年從事復變函數和復變函數與積分變換的教學實踐，為了讓學生所學知識更好地為后續專業課的學習服務，適時地激發學生的學習興趣，對這兩門課程中關于傅里葉變換教學中所存在的問題進行分析，提出了一點自己的意見和建議。

傅里葉變換是傅里葉在十八世紀初為了得到熱傳導方程的簡便解法而提出來的，后來在其他自然科學和工程技術領域迅速得到了廣泛的應用，特別是成為信號處理方面不可或缺的一種數學工具。傅里葉變換作為復變函數與積分變換課程教學內容的核心之一，一方面表現在教學中，傅里葉變換是其他積分變換法的基礎。傅里葉變換擁有良好的基本性質，這是決定其重要性和廣泛應用的關鍵因素之一，因此對傅里葉變換基本性質的講解要作為教學中的重點內容，這也是作為工科學生應用的基礎。對學生來說掌握有一定的難度，并且往往理解不夠深刻，另一方面，傅里葉變換對處理某些問題具有局限性。本文主要從另一個角度來介紹傅里葉變換，讓學生理解傅里葉變換更加深刻，進一步通過這種方法把傅里葉變換進行推廣，從而得到分數階傅里葉變換，讓學生了解到分數階傅里葉變換的重要性和科學發展的歷史性。

二、傅里葉變換到分數階傅里葉變換的拓展

為了讓學生對傅里葉變換有系統的認識，在講解傅里葉變換前簡單介紹傅里葉變換的由來，讓學生認識到理論發展的歷史機遇和現實之間的聯系，然后重點講解傅里葉變換的概念、主要性質、一些常用函數的傅里葉變換和傅里葉逆變換以及傅里葉變換在頻譜分析中的應用。大家熟悉的傅里葉變換定義形式為：

通過這兩個定義表達式，讓學生知道可以把一個信號本身的時域特性經過傅里葉變換后就轉化成信號的頻域特性，然后進行系統的頻域分析和信號傳輸，最后再利用傅里葉逆變換還原為信號本身，從而達到信號分析和傳輸的目的。

為了讓學生對傅里葉變換有更深刻的認識，用一次課的時間從另一個角度來討論傅里葉變換，從而把經典的傅里葉變換推廣到分數階傅里葉變換。在1980年，Namias將傅里葉變換的特征值與特征函數作為出發點，引入了分數階傅里葉變換的定義。具體來講，普通的傅里葉變換是定義在信號空間上的連續線性算子F，對其特征方程是

這樣，通過特征值和特征函數就完全定義了分數階傅里葉變換。由上式可知，當p=1時，可退化為經典的傅里葉變換，當p=-1時，可退化為經典的傅里葉逆變換。通過這種形式的講解，讓學生學會從多種角度看待問題，提高學生的科學素養，開闊他們的視野。然后通過對比經典傅里葉變換和分數階傅里葉變換的性質，讓學生更加清楚兩者之間的聯系。

三、經典傅里葉變換與分數階傅里葉變換的性質比較

傅里葉變換和分數階傅里葉變換有很多性質都是相似的，上表中我們只列出了這兩種變換主要而且常用的三個變換性質，而這三個性質也是在信息處理中常用的。由上表可知，性質1是指變換的平移特性，性質2是變換的微分特性，性質3是變換的積分特性。從形式上看，經典的傅里葉變換的性質比分數階傅里葉變換簡單，但分數階傅里葉變換的參數a可以任意取值，當它取特殊值時，這樣可以讓表達式得到簡化。在下一節，我們用具體的例子說明利用分數階傅里葉變換的微分性質，一方面選擇特定a可以降解，另一方面，還得處理變系數的微分方程。需要說明的是對經典的傅里葉變換，冪函數與能量有限信號的乘積不一定是可積的，也就是經典傅里葉變換積分發散。但對分數階傅里葉變換來說，冪函數與能量有限信號的乘積積分在取特定的a時是收斂的，這樣，處理的信號就比經典傅里葉變換更加廣泛。讓學生認識到科學的發展是循序漸進、不斷完善的一個過程。

四、分數階傅里葉變換在工科實際問題中的應用

傅里葉變換的應用是廣泛的，其中一個應用是對信號進行時頻分析，另一個應用是解決常系數微分方程的求解。為了讓學生更加深刻地理解分數階傅里葉變換，作為分數階傅里葉變換的應用討論變系數的微分方程的求解，以物理和工程中出現的量子諧振子的時間獨立的薛定諤方程的求解，來給學生展示這種積分變換的意義。

五、總結

本文主要從物理中的微分方程簡單介紹了分數階傅里葉變換的作用，如果課時允許，還可以從信號處理角度給出它的應用。這樣可以把原有的理論知識與工程實踐密切結合并達到觸類旁通，提高專業素養的目的。通過上述關于傅里葉變換和分數階傅里葉變換的討論，可以進一步讓學生認識到隨著時代的進步和社會的發展，對人才的需求也在不斷發生變化，作為教師，在為學生提供教學服務時，應該了解不同專業學生的需求，并且適當地為學生介紹一些現代分析問題的工具，從而激發學生學習數學知識和現代科學技術的積極性。

參考文獻：

[1]蘇變萍，陳東立.復變函數與積分變換[M].3版.北京：高等教育出版社，2018-07.

[2]陶然，鄧兵，王越.分數階傅里葉變換及應用[M].北京：清華大學出版社，2009-09.

[3]鐘玉泉.復變函數論[M].4版.北京：高等教育出版社，2012-08.

[4]四川大學數學學院高等數學、微分方程教研室.高等數學[M].3版.北京：高等教育出版社，2009-07.

編輯 馬燕萍