一面兩銷夾具布局的魯棒性研究

沈為清，張 磊

（1.江蘇財經職業技術學院智能工程技術學院，江蘇 淮安 223003；2.徐州工程學院江蘇省工程機械檢測與控制重點實驗室，江蘇 徐州 221018）

1 引言

一面兩銷以其能對零件實現完全定位、便于施加夾緊力等優點，在箱體、蓋板、杠桿、支架類等零件的夾具設計中得到了廣泛應用。傳統一面兩銷定位方案的設計常采用經驗法和試錯法，設計效率低下，無法獲得最優布局［1］。近年來，隨著CFAD（Com?puter Aided Fixture Design）技術的發展和應用，以定位零件受力變形最小，基于有限元分析耦合各類智能仿生算法成為求取一面兩銷最佳布局設計的主流方法［2-10］。一面兩銷中的“一面”，即定位面，其定位方案一經確定，“兩銷”，即圓柱銷和菱形銷的布局就成為設計重點。最優的定位銷布局應盡可能減小定位零件上加工或被測要素對于誤差輸入的敏感程度，增大夾具設計的魯棒性［11］。本文即是研究一面兩銷中定位銷的布局優化問題，與基于CFAD的求解思路不同，根據剛體動力學分析和矩陣理論提出了一種面向定位銷誤差輸入的敏感度指標，實例證明，使用該指標進行定位銷布局設計，能夠增加一面兩銷夾具設計的魯棒性，且不產生使用智能仿生算法的計算消耗。

2 狀態空間偏差建模

文獻［12］曾采用狀態空間方法描述一面兩銷定位零件在笛卡爾坐標系下的偏差狀態，本文引用該方法進行零件偏差狀態的分析和計算。如圖1所示為某一剛體零件，采用一面兩銷定位，圓形為圓柱銷，橢圓形為菱形銷，銷距為L，L與x軸正向間的夾角為γ；0點和1點是零件上的任意兩點，其中0點與圓柱銷中心位置重合，二者連線長為l，則由圖1左圖可得0點和1點的理想位置坐標關系應滿足。

圖1 零件上任意兩點間的偏差狀態關系Fig.1 The Deviation State Relationship Between Any Two Points on a Part

式中：（x0，y0），（x1，y1）—0點和1點的坐標；x01和y01—坐標偏差。

由于定位銷定位偏差或者磨損故障，零件由圖1左圖所示的理想位置偏置到圖1右圖所示的位置，0點和1點偏置到0′和1′點，分別產生了δx0，δy0，δx1，δy1的偏置位移和δγ的偏置角位移。則由圖1所示的平面幾何關系，偏置后的坐標關系如下式所示：

其中，（x0′，y0′），（x1′，y1′）為0′、1′點位置坐標。由于δγ極小，cosδγ≈1，sinδγ≈δγ，故上式可近似為：

將（1）式代入（3）式，因為x′1-x1=δx1，y′1-y1=δy1，x′0-x0=δx0，y′0-y0=δy0，則可得：

將（4）式寫成向量式，可得：

（5）式的左端為1點的偏差，右端為0點的偏差，故式（5）為零件上任意兩點間的偏差狀態模型；但仔細觀察式（5），兩點偏差尚未與定位銷偏差建立數學聯系，且其系數矩陣中包含有δγ的未知量。為此，需要進行零件上任一點偏差狀態與定位銷偏差關系的數學推導。

3 定位銷偏差輸入下的零件偏差

如圖2所示為定位銷有偏差輸入時的零件定位情形，此處為與圖1上的1點區分，記圓柱銷為P1，菱形銷為P2，其它符號標識的含義不變。首先考慮最簡單的情形：單銷、單坐標軸有偏差輸入，如圖2所示，圓柱銷P1有偏差輸入，菱形銷P2無偏差輸入；且偏差位移僅沿y方向，記為δP（1y）。在δP（1y）的作用下，定位孔的中心偏置到了P1′，零件產生了δγ的微小角位移，逆時針為正，如局部放大圖2（b）所示，則由圖2（b）的平面幾何關系可得：

圖2 圓柱銷y向偏差導致的零件偏差Fig.2 Part Deviation Caused by y-Direction Deviation of Cylindrical Pin

式中：δP（1y）—P1在y方向偏差位移；L—銷距；γ—L與x軸正向間的夾角。

同理，若P2僅有y向磨損位移δP（2y），P1無磨損，則：

若P1和P2同時僅有y向磨損位移，則由（6）、（7）可得：

若P1和P2同時僅有x向磨損位移，則由式（8）可得：

若P1和P2同時有x、y向磨損位移，則由（8）、（9）可得：

式中：δP（1x）、δP（1y）和δP（2x）、δP（2y）—定位銷偏差。、

將式（10）代入式（5）的系數矩陣，且δx0=δP（1x），δy0=δP（1y），可得下式所示的矩陣式：

式（11）的左端為零件上任意一點的偏差量，可以看作加工要素或被測要素偏差；右端為定位銷輸入偏差，故式（11）為這里所推導的有定位銷偏差輸入下的零件偏差模型。兩銷布局設計的最優方案應是使零件加工或被測要素的偏差，即式（11）的左端，對式（11）右端輸入下的定位銷偏差最不敏感。故下面由式（11）推導兩銷布局設計的敏感度指標。

4 敏感度指標

由（11）式，［δx1，δy1］T是向量，這啟發作者可以使用向量的模作為目標函數進行大小比較，即定義下式作為敏感度評價指標。由（11）式，令：

其中，v=［δP1（x），δP1（y），δP2（x），δP2（y）］T，A=T T T。則由（12）式，f是關于向量v的元素的二次型。由二次型的性質，v TA v經正交變換后必定可以化為下式所示的標準型

式中：λ1，λ2，λ3，λ4—矩陣A的特征值。

由（13）式，欲令f最小，就是最小（λ1+λ2+λ3+λ4），而（λ1+λ2+λ3+λ4）=tra（A），為矩陣A的跡。故根據（11）式，將A展開，計算tra

由（14）式可知，最優的定位銷布局方案就是確定圓柱銷和菱形銷的位置使下式所列出的平面幾何關系式最小：

式中：i=1，2，…n，—零件上加工要素或被測要素的個數；D—這里推導的定位銷布局的最終敏感度優化指標。式（15）說明，確定定位銷布局僅需進行平面幾何距離計算，無需采用智能仿生算法。下面將敏感度指標應用于實例并通過數據分析揭示指標后所隱藏的規律。

5 實例研究

如圖3所示為某型號液壓閥端蓋零件，有T、P、B、A、G五個通油口，已被加工完畢，當前工序進行F1、F2、F3、F4四個安裝孔的加工，若采用一面兩銷定位，T、P、B、A、G均可作為兩銷的定位選擇，下面采用本文所提出的敏感度指標來獲得最優的圓柱銷和菱形銷布局。

圖3 某型號液壓閥端蓋Fig.3 A Certain Type of Hydraulic Valve End Cover

將T、P、B、A、G的排列共計20種列表，首字母表示圓柱銷位置，次字母表示菱形銷位置，按（15）式計算每種排列的敏感度指標，將敏感度指標由小到大排列，得到結果，如表1所示。

表1 圓柱銷、菱形銷不同排列的誤差敏感度計算Tab.1 Calculation of Error Sensitivity of Cylindrical and Rhombic Pins in Different Arrangements

由表1可知，采用A孔為圓柱銷，G孔為菱形銷的布局可使加工要素對銷的制造和磨損誤差最不敏感。故AG為最佳銷布局方案。仔細觀察表1中的計算數據，發現L和D表現出較強的負相關，做回歸分析如圖4所示，可求得相關系數為-0.8822。

圖4 L和D的回歸分析Fig.4 Regression Analysis of L and D

6 結論

（1）本文所提出的敏感度指標可在一面兩銷定位方案中，有效評價零件上加工要素或測量要素對定位銷制造或磨損誤差輸入的敏感程度；

（2）敏感度指標D與兩銷距離L的回歸分析揭示：L越大，定位方案對定位銷誤差的輸入敏感度越小，即定位方案越健壯；

（3）實例分析顯示：同一定位方案中，互換兩銷的位置，對定位方案的健壯性影響不大。