一種磁斥力負剛度結構的線性優化設計

王衛榮，張子文，葛新方

（合肥工業大學機械工程學院，安徽 合肥 230009）

1 引言

由于振動在機械制造和應用的諸多領域中往往會帶來不利影響，例如產生噪聲，降低精度，縮減壽命等，因而始終是人們關注并著力解決的重要問題。為了盡可能消除振動的危害，形成了被動隔振、主動隔振、半主動隔振以及混合隔振等諸多解決方案。被動隔振由于結構簡單，成本低廉而被廣泛應用，但傳統被動隔振結構在精密加工中的低頻和超低頻隔振問題中受自身特性所限而無法使用，因而人們往往采用造價較高，結構復雜的主動隔振結構［1］。近年來，各國學者開始廣泛關注可應用于低頻隔振的被動隔振結構［2、3］，其中最具有代表性的就是正負剛度并聯結構［4］。通過構造負剛度與正剛度結構的并聯，可以解決單純串聯正剛度結構帶來的支撐力不足和穩定性缺失問題，有效降低系統動態剛度的同時保持較高靜態剛度，從而降低系統固有頻率，提高其低頻隔振性能［5］。磁致負剛度結構是其中應用較多的結構之一［6］。文獻［7-8］分別提出了基于永磁體間磁引力和磁斥力的三磁體負剛度結構，較好地降低了系統的固有頻率。文獻［9］在此基礎上用電磁鐵作為替代，研究了對應負剛度結構的特性。文獻［10］則研究了基于磁力的準零剛度隔振器特性。但目前常見的負剛度結構仍然存在一些問題，尤其是負剛度值的非線性較強，會隨負剛度結構的振動位移發生顯著變化，難以在整個振動位移范圍內保持穩定，振動位移較大時，負剛度值甚至會急劇衰減，這就導致整個結構在工作中無法保持穩定不變的性質，限制了這樣的負剛度結構在更多場合的應用。而在分析計算時，由于其非線性較強，一般只能在微振動時將其負剛度值視作不變或線性，大大增加了計算的復雜性。為了盡可能實現負剛度結構的剛度線性化，文獻［11］從磁體尺寸入手，在一定程度上降低了磁致負剛度結構的剛度非線性。文獻［15］通過改變三磁體負剛度結構的磁體尺寸和間距，將結構的最大非線性度從70%降低至25%，取得了良好的效果。總體上講，雖然部分研究涉及到一些負剛度結構的剛度線性優化問題，但對于負剛度結構剛度線性化設計的專門研究工作目前還不是很多。

為此，設計了一種基于磁斥力的負剛度結構設計，仿真結果和動力學分析表明，它能顯著改善基于磁斥力的三磁體負剛度結構剛度值的非線性，提高在較大位移范圍內的負剛度值穩定性，從而相應提升負剛度結構的可用振動位移范圍，為負剛度結構的應用提供理論參考。

2 磁斥力負剛度結構的基本原理

2.1 正負剛度并聯結構工作原理及負剛度結構特性

雖然正剛度結構直接串聯可以降低系統剛度，獲得更低的固有頻率，但同時也會使系統出現支撐力不足的問題，導致穩定性大幅下降。而對于正負剛度并聯結構，則是首先單純利用正剛度元件使系統達到靜平衡，再在這個靜平衡位置給系統施加負剛度。由于負剛度結構不提供支持力，所以靜止時系統的質量完全由正剛度元件支撐，負剛度結構完全不影響正剛度結構的性能，而運動時，負剛度結構脫離平衡位置開始工作，就可以達到降低系統動態剛度的目的［12］。由于結構的構造原因，負剛度結構的剛度曲線往往是非線性的［13］，需要分析其具體模型，而其性質與正剛度結構相反。理論和實驗研究表明，正負剛度并聯結構的靜載能力不會因此降低，反而會相應提高［4］。

2.2 永磁體間的磁斥力模型

磁斥力負剛度的實現依靠磁體之間的相互排斥作用，下面對永磁體模型進行簡單分析［14-15］。設兩長方體磁體M和m，尺寸分別為2A×2B×2C和2a×2b×2c，根據矩形永磁體之間的受力關系可知磁體m受磁體M的作用力為：

2.3 基于磁斥力的三磁體負剛度結構

下面簡要分析基于磁斥力的三磁體負剛度結構的負剛度形成原理。將磁體M1、M2和m作豎直平行布置，磁極方向應使磁體m與M1、M2均互斥，m位于固定的M1、M2的連線中點處，此時m受力平衡，如圖1所示。假設受到外界擾動，磁體m脫離平衡位置且沿y方向運動且無法自行恢復，表現出y方向的負剛度特性。基于式（1）以及剛度的定義，該結構在y方向上的剛度為：

圖1 磁斥力負剛度的形成原理Fig.1 Principle of Triple-Magnet Repulsion Force Negative Stiffness

假設永磁體為釹鐵硼材料［18］，相應的，J、j的大小取1.35T。令磁體M1、M2和m的尺寸均為（200×20×20）mm（分別為x、y和z方向上的尺寸，下同），可以得到Ky變化的三維曲線，由磁體在z方向的尺寸可知，zd至少為20mm，如圖2所示。

圖2 zd或ym一定時的剛度特性變化曲線Fig.2 Stiffness Characteristic Curve（zd or ym is constant）

可以看出，給定磁體m在y方向的位移ym和M，m的間距zd，結構剛度唯一確定。在|ym|＝0的平衡位置附近剛度為負，且負剛度值隨著zd的增大而減小。|ym|增大時，負剛度值會在一定范圍內迅速減小（后面的討論都只限于這個負剛度值單調變化的位移范圍），甚至變為正值，造成負剛度結構失效，且負剛度值越大其非線性程度越強。因此，在使用這樣的結構時，負剛度值雖然理論上是|ym|＝0時的剛度值，但一旦位移較大或安裝位置不夠理想時都無法保證這個值的穩定。

3 新型磁斥力負剛度結構模型

3.1 新型磁斥力負剛度結構設計

前面介紹了基于磁斥力的三磁體負剛度結構（以下簡稱三磁體結構）形成負剛度的原理，由于負剛度結構的不穩定性，實際使用時需并聯正剛度元件。之前提到，正負剛度并聯結構是在正剛度元件使系統達到靜平衡時施加負剛度，因此負剛度結構不影響靜態時系統的支撐性能。由于二者可以直接并聯，這樣工作時的總剛度即為二者之和，所以可以單獨研究負剛度結構。

根據前面的分析，三磁體結構的剛度特性取決于其中的三塊磁體，其剛度曲線為圖2所示的形式，因此存在非線性特性強的問題。為了改善這類磁致負剛度結構的剛度非線性度，下面就以三磁體結構為基礎，設計一種剛度非線性度較低的磁致負剛度結構。

考慮圖中的結構，兩邊分別采用鉸接連桿與三磁體結構構成兩個對稱布置的負剛度單元，如圖3所示。

圖3 新型磁斥力負剛度結構簡圖Fig.3 Structure Diagram of the New Type of Negative Stiffness Structure Based on Magnetic Repulsion Force

圖中實線部分為平衡位置，此時磁體m1、m2不受力。設桿A1A2只有z方向的平動。首先分析-z方向，如圖中虛線部分所示，受到擾動后，連桿機構會帶動磁體m1、m2分別產生+y和-y方向的位移，從而脫離平衡位置，形成負剛度，并通過傳導，最終得到-z方向（即A1A2與C1C2之間）的負剛度。與此同時，M11和M22會隨A1A2向下移動。因為磁斥力比m的重力大很多，能達到其幾十甚至上百倍，因此忽略m的重力。從而由于+z和-z方向的斥力，m能始終保持在上下兩磁體的中間平面上。對于+z方向，分析與-z方向對稱，這里不再贅述。

3.2 結構的剛度特性分析

為了簡便分析圖中的部分，如圖4所示。即圖3中某一側的負剛度單元。其中L為桿AB及BC的長度，h、d分別為磁體m位于平衡位置時B點與A、C兩點的豎直和水平距離。在從圖示實線位置運動到虛線位置的過程中，磁體m以及桿A1A2均會下降，導致zd發生變化。根據幾何關系容易得到zM，zm，zd和ym之間的關系為：

圖4 新型負剛度結構特性分析Fig.4 Characteristics Analysis of the New Type of Negative Stiffness Structure

zd0為m在平衡位置時與任一M的距離，稱為基準間距。由于zd也發生了變化，因此Ky曲線將不再是圖2（a）的形式。

鑒于我們設計結構的負剛度值最終表現在z方向，這里直接計算Kz。

m在x方向沒有位移，結合式（1）、式（11），可以得到m受力也即B點受力F（yzM），方向水平向右，即Fy可完全由zM確定。進而等效到豎直方向上的力為

根據負剛度的定義，得到這一側的負剛度單元在z方向上的剛度為

此外，由于zd改變，M1和M2之間也會由于引力作用產生一個動剛度Kzp，但由于m的阻隔，M1、M2之間的磁通主要是用于排斥m，僅有外部極少的剩余磁通能夠產生二者之間的引力，因此Kzp往往比Kz小幾個數量級，可忽略不計。同理，另一側負剛度單元的剛度為K′z。由于結構的對稱性，K′z的曲線與Kz在平面坐標上關于縱軸對稱。整個結構在z方向上的總剛度為：K=Kz+K′z（14）

通過前面的分析可知，由于zd一定，三磁體負結構的剛度曲線為圖2（a）中形式，剛度值僅是ym的函數，且總是相對于平衡位置對稱變化的。但對于我們設計的新型負剛度結構中的負剛度單元而言，Ky同時受ym和zd兩個變量影響。

如圖4，當m向右側移動時，|ym|增大，m離開平衡位置，Ky隨之減小，但同時zd減小，M1、M2互相靠近，又會導致Ky增大；而m向左側移動時，也會離開平衡位置，Ky隨之減小，同時zd增大，Ky將進一步減小。如果zd對Ky的影響占主導地位，就能使這個范圍內Ky曲線單調增加或減少，進而使Kz曲線發生類似改變。若能使Kz、K′z曲線較好地保持線性增減，整個結構的負剛度值K即二者之和，就能較為穩定。為此，需要對結構參數進行具體設計。

4 新型磁斥力負剛度結構的設計

4.1 結構參數對剛度的影響

為了獲得理想的單調變化曲線，得到相對較大振幅中更穩定的負剛度值，需調整結構參數，為此要了解各參數對負剛度特性的影響，從多種影響因素中找出并分析相對重要的。首先分析磁體尺寸對剛度曲線的影響。對磁體尺寸均為（200×20×20）mm的三磁體結構，改變A或C作出Ky圖像，發現磁體在x、z方向的尺寸變化只影響Ky的大小，對Ky曲線的形狀無本質影響。

因此主要考慮磁體M1、M2和m在y方向上的尺寸變化。在α=γ=1時改變B值，分別取β＝B∕b＝0.5、2，作出Ky圖像。觀察圖5發現，當M1、M2在y方向上的尺寸與m不同時，負剛度值會出現“雙峰值”現象，即最大負剛度值不再位于平衡位置，而是對稱的出現在某一位移處，也就是說有兩個負剛度峰值，其余性質則與之前相同。而當β和zd的取值合適時，兩峰值之間Ky為負且能在較大位移內保持相對平緩的變化，這一特點正符合我們設計的新型負剛度結構的要求。

圖5 β不同時的剛度特性曲線Fig.5 Stiffness Curve whenβis Different

其次是基準間距zd0。觀察曲線可知，增大zd可以相應減小負剛度值并降低其非線性程度。若要使結構工作在較大的zd處并降低Kz，可以相應取較大的z d0。

最后分析傳動機構。其參數有L、h、d，但L一定時，確定h就能確定d，故以h為主要參數。由式（11）得，ym越大zd變化越快非線性越強，而h增大會使機構工作在非線性較小的區間，同時由式（12）知h增大也會使Fz增大從而提高Kz。

這樣在得到較穩定的剛度變化曲線以后，還可以通過適當選擇相關參數實現對負剛度值的調整。

4.2 結構參數設計實例

通過下面的設計實例，將可以看到我們設計的新型負剛度結構相對于三磁體結構對負剛度值非線性度的優化。這里采用的作為對比的三磁體結構中，三塊磁體的尺寸均為（200×20×20）mm。

根據之前內容，設計的新型負剛度結構包含兩對稱布置的負剛度單元，每個都由一個三磁體結構和相應的鉸接連桿構成。初定新型負剛度結構中磁體的尺寸與三磁體結構相同，均為（200×20×20）mm。由于兩個負剛度單元包含兩個三磁體結構，因此在得到新型負剛度結構的剛度值后，我們取該值的1∕2與作為對比的三磁體結構的剛度值放在一起比較。

從降低非線性度和保證兩側負剛度單元的負剛度值單調變化兩方面考慮，初定zd0＝50mm。經計算，此條件下上述三磁體結構的負剛度最大值即理論值為-1.2535×104N∕m。分析設計的新型負剛度結構時，仍然先得到-側剛度Kz，再由對稱性得到另一邊剛度K′z，以得到新型結構的總剛度K＝Kz＋K′z。

由于振動位移相對于傳動機構的尺寸較小時容易保持穩定，初定L=250mm，h=200mm。鑒于傳動機構輸入輸出的非線性，直接分析K曲線較為簡便。利用前述方法建立模型，得到結構剛度K關于z方向位移zM的曲線。固定m1和m2尺寸不變，改變M11、M12、M21和M22尺寸，不同β對應的K曲線，如圖6所示。可以看到不同β會帶來K值大小和非線性的變化。為了得到良好的線性度，同時希望新型結構的剛度值能盡可能接近作為對比的三磁體結構的剛度值，因此選擇β=3。由于K值略大于我們的期望值，因此適當調整h、zd0以及磁體尺寸。最終得到結構參數為：M11、M12、M21和M22的尺寸均為（200×60×20）mm，m1和m2的尺寸均為（198.8×20×20）mm，h＝210mm，zd0＝57.2mm。將K值取1∕2與作為對比的三磁體結構比較，二者剛度曲線，如圖7所示。兩種結構在不同振動位移的詳細負剛度值及誤差，如表1所示。

圖6 不同β取值時的K曲線Fig.6 Curve of K whenβis Different

圖7 三磁體結構與新型結構的負剛度穩定性對比Fig.7 Comparison of Negative Stiffness Stability between the Triple-Magnet Structure and the New Structure

表1 兩種結構在相同位移下的負剛度值及誤差對比Tab.1 Comparison of Specific Negative Stiffness Values and Errors between Two Structures under Same Displacement Conditions

可見，新型負剛度結構與三磁體結構在振動位移為0時剛度值非常接近，說明達到了預期剛度值。但三磁體結構在位移較大時無法保持負剛度值穩定，超過±1mm后隨位移增大負剛度快速衰減，結構失去原特性。而最終得到的新型負剛度結構的誤差相比則大幅降低，尤其在較大位移±5mm和±10mm時，由9.15%和33.41%分別降低至0.27%和0.79%左右。因而新型負剛度結構能大大改善三磁體結構的非線性特性，提高可用振動位移范圍，在一定振動位移下也能提供更高穩定性。

當然，如2.3部分所述，|ym|增大過程中三磁體結構的負剛度值單調變化這一性質只在一定范圍內成立，因此新型負剛度結構也有相應的允許最大振動位移，即負剛度單元的負剛度隨位移增大而單調變化的區間，觀察對應的K-zM曲線即可知道允許的最大振動位移。

4.3 動力學特性分析

用上面作為對比的兩種負剛度結構分別構成正負剛度并聯彈簧，并研究基礎受到簡諧激勵情況（即被動隔振情況）下的系統響應。設并聯的正剛度彈簧剛度為2.0000×104N∕m，負載為100kg，則并聯后系統固有頻率約為ωn＝8.6rad∕s。為了便于計算，根據圖7中的數據，可以通過擬合得到二者的近似剛度曲線為二次曲線，則系統彈性力為三次函數。設兩系統均在x方向振動，則運動方程為：

式中：xr—負載相對于基礎的位移；Fb—基礎振動的振幅；ε—非線性彈性系數。

利用諧波平衡法求解，可得負載相對運動的一次諧波解為：

式中：λ—頻率比。則負載的絕對運動為：

由此得兩正負剛度并聯系統在相同基礎激勵下絕對運動的幅頻特性，如圖8所示。這里取足夠大的10mm為基礎振幅。可以看到，其他條件均相同的情況下，未經優化的三磁體結構構成的系統的幅頻特性表現出了較強的非線性特性，阻尼比ξ提高到0.4左右時跳躍現象才會消失，通過計算可知，ξ降低到0.33以下其響應會出現無界的情況。我們設計的新型負剛度結構與之相比非線性特性則有所減弱，ξ提高到0.09左右跳躍現象就會消失。選取兩種結構均無跳躍現象的阻尼比ξ＝0.4，此時相同激勵頻率（λ＝1.5）下兩種結構的時域響應波形，如圖9所示。可以看到，新結構的響應振幅更小，結合圖8可知，非線性的減弱使其出現共振的頻率與三磁體結構相比進一步下降，共振頻率下的響應振幅也小于三磁體結構，因此隔振效果更優。事實上，如果激勵幅值降低，剛度非線性系統響應的非線性特性會隨之減弱。因此，在更小的振幅下，新型負剛度結構的非線性特性將會進一步減弱。這無論是對于非線性系統的近似分析，還是將其近似簡化為線性系統處理，都能提供一定的幫助。

圖8 不同阻尼比下兩種系統的頻域響應Fig.8 Frequency Response of Two Systems with Different Damping Ratios

圖9 相同條件下兩種系統的時域響應Fig.9 Time－Domain Response of Two Systems under Same Condition

5 結論

（1）通過對三磁體負剛度結構的剛度變化曲線及特性的分析，設計了一種基于磁斥力的新型負剛度結構。靜力學和動力學仿真結果表明，相對于原有的基于磁斥力的三磁體負剛度結構，新型負剛度結構能夠獲得期望的負剛度值，并大幅降低負剛度值的非線性特性，從而可以大大擴展負剛度結構的振動位移范圍，提高穩定性。在進行動力學分析時，這種負剛度結構的弱非線性特性也有利于近似分析或是將系統簡化為線性系統處理。

（2）結構中各參數既會影響結構負剛度的非線性度，也會影響結構的負剛度大小，為了降低結構負剛度的非線性度，同時調整得到符合期望的負剛度值，需要合理選擇這些參數。