修形內斜齒輪成形磨削砂輪廓形優化研究

任小中，李昊凱，蘇建新，李志方

（1.河南科技大學機電工程學院，河南 洛陽 471003；2.河南省機械裝備先進制造河南省協同創新中心，河南 洛陽 471003）

1 引言

行星齒輪傳動因其承載能力大、傳動效率高等特點，現已廣泛應用于化工、汽車、飛機等多個領域［1-2］。實際情況表明，內斜齒輪行星傳動運動誤差比內直齒輪的運動誤差小［3］，因此內斜齒輪傳動取代內直齒輪傳動將成為一種潮流。

大量的實驗和理論分析表明，齒面經過修形可有效改善載荷分布，降低噪聲。國內對修形內斜齒輪成形磨削技術研究極少，國外則進行技術封鎖，鑒于此對修形內斜齒輪成形磨削的研究具有重要的工程價值和研究意義。成形磨齒過程中，砂輪的廓形精度直接影響到最終齒輪的加工精度［4］。文獻［5-6］對外斜齒輪磨削成形進行了研究分析，基于誘導法對磨削干涉進行了分析，并通過砂輪安裝角和固定點位置對砂輪廓形進行了優化。文獻［7］對內斜齒輪數控成形磨削中較難解決的磨削干涉問題進行了研究，用數值法模擬出所求砂輪的實際磨削齒形并與理論漸開線齒形作比較，以檢驗磨削是否干涉及砂輪半徑和安裝角的選取是否正確。文獻［8］對漸開線螺旋齒輪的成形磨削方法進行了研究。文獻［9］建立了RV減速機修形擺線輪成形磨削的數學模型。文獻［10］以外斜齒輪為研究對象，提出了一種減少修形外斜齒輪齒形誤差的砂輪廓形優化方法。在上述研究的基礎上，利用嚙合原理，建立修形內斜齒輪砂輪廓形數學模型，用二分逼近算法求解非線性方程得到砂輪廓形。基于空間坐標變化，反求了工件虛擬磨削齒形，通過數值模擬方法，對修形內斜齒輪和未修形內斜齒輪齒形誤差進行了比較分析。

2 修形內斜齒輪磨削成形砂輪廓形求解數學模型

2.1 修形內斜齒輪漸開螺旋面方程數學模型

修形內斜齒輪成形磨削技術的研究重點在于根據修形內斜齒輪的端面廓形求解對應的砂輪廓形。修形內斜齒輪的漸開線端面齒形，如圖1所示。定義ΔL為徑向修形量并將修形函數簡化為二階拋物線曲線函數［11］：

圖1 修形內斜齒輪端截形Fig.1 The Transverse Profile of Modified Internal Helical Gear

式中：L—每個給定點的展開長；L0—發生線長度；u—漸開線的展開角；ac—修形系數。標準內斜齒輪左齒面方程如下：

將標準內斜齒輪左齒面方程與式（1）聯立得：

式中：rb—基圓半徑；δ—x軸與oa的夾角，參變量為∠aom=u，p—螺旋參數；θ—端截形上任意一點n′繞z軸轉過的角度。

2.2 修形內斜齒輪成形磨削建模與砂輪廓形的求解

修形內斜齒輪成形磨削示意圖，如圖2所示。其中，O-XY Z和O0-X0Y0Z0分別為齒輪和砂輪的位置坐標系，E為OO0的距離；砂輪軸線Y0與Z軸方向的夾角為∑；從齒輪坐標系轉換到砂輪坐標系的轉換矩陣用式（3）表示。

圖2 內斜齒輪成形磨削示意圖Fig.2 Internal Helical Gear Forming Grinding Schematic

其中，tanβb=rb∕p。求解此非線性方程的一系列數值解：根據齒輪參數及等誤差原則選取參變量u；將u代入方程（9）并通過二分逼近法進行迭代求出θ，將對應的u與θ代入方程（4），求出的x0，y0，z0即為砂輪坐標點。

3 內斜齒輪工件端面截形求解數學模型

由磨削砂輪反算齒輪齒形的坐標系，如圖3所示。O-XY Z和O0-X0Y0Z0分別為齒輪和砂輪坐標系，O0-XG0Y G0Z G0是砂輪初始位置處的坐標系，建立一輔助坐標系Oh-XhYhZh，其與齒輪坐標系平行且原點距離O-Oh為E，Z是齒輪軸線，Y0是砂輪軸線，Y0和Y G0重合，X、X0、Xh重合，Φ為砂輪轉動的角度。

圖3 砂輪反求工件坐標系Fig.3 Grinding wheel Reverse Workpiece Coordinate System

設從砂輪坐標系到砂輪初始位置坐標系的轉換矩陣為M1，從砂輪初始位置坐標系到輔助坐標系的轉換矩陣為M2，從輔助坐標系到齒輪坐標系的轉換矩陣為M3。（由于篇幅所限，上述矩陣不再一一列出）則從砂輪坐標系到齒輪坐標系的轉換矩陣為：M=M3M2M1，即：

再將r2轉換到齒輪端截面內，其轉換矩陣為：

其中，θ1=-Z2∕p，Z2為矢量r2的Z向坐標。將式（10）、式（11）相乘：

對于所有點x0、y0，讓參數Φ在一定范圍內以很小的間距改變，每次改變均用式（12）計算，可得到一曲線族的包絡線，其中包絡線軌跡為砂輪磨削軌跡，包絡線軌跡邊界處即為修形內斜齒輪仿真加工的齒形。

4 計算實例分析

基于以上理論，用Matlab編制了修形內斜齒輪砂輪廓形求解與仿真加工程序。某內斜齒輪的主要參數如下：齒數z=50、法向模數m=5mm、螺旋角β=15°、法向壓力角α=20°、砂輪半徑R=50mm。通過仿真結果可知：砂輪安裝角優化為75.2°時，消除了磨削干涉，砂輪實際加工齒形與理論廓形最一致，其仿真結果如圖4所示，對應的砂輪廓形，如圖5所示。通過上述方法所得到仿真加工齒形與理論齒形進行對比，即可得到齒形誤差。圖6所示為修形內斜齒輪齒形誤差，其最大誤差約為（6～7）μm；而圖7采用文獻［7］計算方法，得到的未修形內斜齒輪齒形誤差局部放大圖，所示的最大齒形誤差約為（13～15）μm。

圖4 砂輪安裝角75.2°仿真結果Fig.4 Grinding wheel Installation Angle 75.2°Simulation Results

圖5 砂輪廓形Fig.5 Wheel Contour

圖6 修形內斜齒輪齒形誤差Fig.6 Shaped Internal Helical Gear Tooth Profile Error

圖7 未修形內斜齒輪齒形誤差Fig.7 Unshaped Inner Helical Gear Tooth Profile Error

5 結論

（1）根據嚙合原理建立了修形內斜齒輪成形磨削砂輪廓形解析求解數學模型，提出了修形內斜齒輪修形砂輪廓形優化方法。

（2）通過模擬仿真加工內斜齒輪端面齒形和理論齒形對比分析，砂輪安裝角優化為75.2°可消除磨削干涉。

（3）數值模擬具體實例分析表明，修形內斜齒輪齒形誤差較未修形內斜齒輪齒形誤差降低約50%，可以用來加工5-6級精度齒輪。