雙列圓錐滾子軸承優化設計方法研究

周彥沛，毛范海，邱 俊

（大連理工大學機械工程學院，遼寧 大連 116024）

1 引言

早在1985年，文獻[1]就對當時已存在的幾類軸承優化方法進行了整理。文獻[2]以軸承的額定動負荷與額定靜負荷為優化目標，建立了圓錐滾子軸承的多目標優化方法。隨后，文獻[3]提供了雙列圓錐滾子軸承結構尺寸的詳細計算方法，并以軸承額定動載荷為目標優化得到了雙列圓錐滾子軸承的主參數。隨著最優化理論的發展，隨機算法快速地應用于軸承優化設計中。文獻[4]使用遺傳算法對滾動軸承進行優化設計，減少了軸承優化問題陷入局部最優的概率。文獻[5]采用了多目標遺傳算法建立了交叉滾子軸承的優化設計模型，通過優化顯著提高了軸承的額定動載荷。文獻[6]通過對種群適應度集中程度進行研究，得到了改進的自適應交叉率和變異率，并將其用于軸承的優化設計中。文獻[7]利用遺傳算法對雙列圓錐滾子軸承進行優化設計，并用蒙特卡羅模擬將各個設計參數對軸承的壽命影響進行了靈敏度分析。文獻[8]采用多島遺傳算法求解了雙列圓錐滾子軸承優化模型，并通過IN?SIGHT優化軟件分析得到了各個優化變量對軸承壽命的影響。

綜上，現有的軸承優化設計方法多以軸承的基本額定動載荷或壽命為優化目標，這類優化方法可以在確定的軸承外形尺寸下獲得承載能力更大的軸承。然而，其也存在兩處弊端。一方面，該方法設計流程繁瑣、設計周期長，由于在軸承優化設計時沒有考慮載荷對軸承設計的影響，因此采用這類方法設計完成軸承后，需要再次對軸承各項性能進行校核，若軸承性能不滿足設計要求則需要調整參數對軸承重新設計。另一方面，在進行軸系結構設計時，往往希望在保證軸承各項性能要求的情況下得到更緊湊的軸系結構，而上述方法的優化目標顯然與這一實際的工程問題不相一致，因此該方法設計的軸承過于保守，設計出的軸承性能一般也是“過剩”的。

為了解決這一難題，這里建立了以軸承體積為優化目標的優化設計方法，對軸承的幾何關系、滾子接觸應力和軸承修正壽命進行了約束，通過遺傳算法優化得到了在給定工況載荷下既滿足應力和壽命要求且體積最小的雙列圓錐滾子軸承。在滿足同樣性能要求下，優化后的軸承與原先采用的軸承相比體積減少了22%。本方法不僅大大縮短了軸承設計周期，而且節約資源、降低了成本。

2 雙列圓錐滾子軸承優化模型建立

2.1 優化目標

雙列圓錐滾子軸承結構參數，圖中：d—軸承內徑，mm；D—軸承外徑，mm；B1—軸承內圈寬度，mm；C1—軸承外圈寬度，mm；Dpw—軸承滾子組節圓直徑，mm；α—接觸角，°；φ—半錐角，°。如圖1所示。

圖1 雙列圓錐滾子軸承結構Fig.1 Double Row Tapered Roller Bearing Structure

通常情況下，選用軸承時，總希望找到一個既能滿足軸承各項性能要求且體積又小的軸承。這樣不僅能減小整個軸系結構尺寸，又能減少材料、降低成本。故這里將軸承的空間體積作為優化目標，其計算公式為：

其中，軸承內徑d、外徑D和軸承寬度B1與優化變量之間的詳細幾何關系的推導參見文獻[3]。

2.2 優化約束

在建立軸承優化模型時，除了考慮到軸承幾何約束，還對軸承的修正壽命和滾子接觸應力進行了約束。

軸承的壽命計算可參考文獻[9]。在軸承優化中，需要對滾子的接觸應力進行約束，首先由文獻[10]軸承內部載荷分布計算方法，求解出滾子最大接觸載荷。按照Hertz接觸理論，滾子和滾道接觸時其表面壓力可看成橢圓柱分布，滾子最大接觸應力的計算方法參見文獻[11]。

在軸承優化時，需要對軸承結構尺寸的幾何關系、滾子最大接觸應力和軸承的修正壽命進行約束，具體的約束條件如下：

約束1～6是為了保證軸承的內外徑和寬度在規定的設計尺寸范圍內。其中，dmin—軸承內徑下限，mm；dmax—軸承內徑上限，mm；Dmin—軸承外徑下限，mm；Dmax—軸承外徑上限，mm；B1min—軸承寬度下限，mm；B1max—軸承寬度上限，mm。

約束7是為了避免滾子間的相互碰撞而設置的滾子個數約束。其中，Dwe—滾子平均直徑，mm。

約束8和約束9是為了保證滾子的長度和直徑比值在某一確定的范圍內。其中，KLDmin—滾子長徑比的下限系數，KLDmax—滾子長徑比上限系數。

約束10是為了保證軸承在極限載荷工況下，滾子最大接觸應力在許用應力范圍內。式中，σ1max—軸承在極限載荷工況下滾子的最大接觸應力，MPa；[σ1]—軸承在極限載荷工況下的許用接觸應力，MPa。

約束11是為了保證軸承在疲勞載荷工況下，滾子最大接觸應力在許用應力范圍內。其中，σ2max—軸承在疲勞載荷工況下滾子的最大接觸應力，MPa；[σ2]—軸承在疲勞載荷工況下的許用接觸應力，MPa。

約束12是為了確保軸承在疲勞載荷工況下，其壽命達到期望壽命。其中，t—軸承的期望壽命，（年）；tm—軸承在疲勞載荷工況下的修正壽命，（年）。

2.3 優化變量

雙列圓錐滾子軸承在正常工作條件下的失效形式主要是套圈內表面的裂紋或斷裂、滾道的壓痕、磨損和接觸面疲勞破壞等。而這幾種失效可通過限制軸承最大接觸應力和保證軸承最低疲勞壽命來預防。因此，確定軸承優化變量時，將影響這些性能要求的軸承主參數作為優化變量。因此優化變量可以表示為：X=

2.4 優化算法與設計流程

在雙列圓錐滾子軸承優化設計中，優化約束較多且相應的函數計算較為復雜，其中修正壽命計算和軸承接觸載荷的計算屬于非連續性函數問題的求解。采用一般的最優算法往往容易陷入到局部最優解中，而遺傳算法通過交叉變異的方式具有很好的全局搜索能力來尋找本優化模型的最優解。

在遺傳算法中，為了使可行解種群朝著更好的方向進化，每個個體都可以發生交叉或變異遺傳。進化通常從一組隨機生成的種群開始迭代，每次迭代的種群稱為一代。交叉率為1意味著所有的后代都是交叉后代，而不同的交叉率對最終的優化結果有著較大的影響，因此選擇合適的交叉率非常重要。因此本算法分析了不同的交叉率對優化目標值的影響，以找到該模型下的最佳交叉率。最終，本算法的優化設計程序框圖，如圖2所示。

圖2 算法流程圖Fig.2 Algorithm flowchart

3 雙列圓錐滾子軸承優化算例

某風機主軸承運行時，在極限載荷工況下的等效徑向力為4700kN，軸向力為850kN；在疲勞載荷工況下的等效徑向力為840kN，軸向力為300kN。軸承設計時，所采用軸承鋼的彈性模量為2.06×106N∕mm，泊松比為0.3。軸承工作條件與性能要求，如表1所示。

表1 軸承工作條件與性能要求Tab.1 Bearing Working Conditions and Performance Requirements

根據軸結構參數，軸承內徑變化范圍為（800～810）mm，外徑變化范圍為（900～1100）mm，軸承寬度變化范圍為（150～250）mm。根據相關的技術文件，優化變量的取值范圍，如表2所示。

表2 優化變量范圍Tab.2 Optimization Variable Range

本算例分析了（0.15—0.95）間的交叉率對優化結果的影響，并找到了該優化模型下的最優交叉率，如圖3所示。

圖3 不同交叉率下的優化結果Fig.3 Optimization results at different crossover rates

圖中，黑色曲線表示在不同交叉率下優化出的軸承體積的變化情況?？梢钥闯霎斀徊媛试冢?.15～0.95）間變化時，體積的變化范圍為（81～85）dm3之間，體積波動變化量占總體積不到4%。圖中紅色圓圈處表示最佳交叉率0.58處的體積大小，為81.25dm3。

將本算法優化出的參數與原先選用的軸承進行對比，從本算法優化結果可以看出，軸承壽命為21年接近壽命邊界值，因此壽命是影響該軸承體積減小的一個主要約束。軸承在極限載荷下，原先軸承的接觸應力為1895MPa遠低于許用應力2800MPa，在疲勞載荷下其修正壽命為40年也遠高于期望壽命20年。原先的軸承體積為104.46dm3，本算法優化出的軸承體積為81.25dm3，在滿足同樣性能要求下，優化后的軸承體積減少了22%。因此，原先使用的軸承設計過于保守，浪費了資源、增加了成本，如表3所示。

表3 原先軸承與本算法優化結果對比Tab.3 Comparison of Original Bearing and Optimization Results of This Algorithm

4 結論

對雙列圓錐滾子軸承的幾何關系、壽命計算方法、滾子接觸載荷和滾子接觸應力進行了分析，提出了以軸承體積作為優化目標的優化設計方法。在給定的載荷下，通過遺傳算法優化得到軸承的關鍵參數，并給出軸承校核結果。分析了不同交叉率對優化結果的影響，找到了最優交叉率。通過該優化方法對某風機主軸承進行了優化設計，并給出了其結構尺寸和極限載荷下的接觸應力與疲勞載荷下的修正壽命。

本算法將軸承各項性能作為約束條件，引入到軸承優化設計中，極大簡化了軸承“設計—校核—再設計”這類繁瑣的設計方法，更縮短了軸承設計周期。將本方法優化出的軸承與原先使用的軸承進行了對比，在同時滿足軸承性能要求的前下，本設計方法設計出的軸承體積減少了22%，節約了資源，降低了成本。