問題驅動， 破解難點

張薇

【摘要】對高中階段的數學解題教學環節，教師不僅要注重學生對解題方法的掌握，更要重視學生的解題策略與解題能力的變化，構建集內驅力、思維力于一體的數學解題教育模式，幫助學生在問題中收集信息，以最短的時間規劃解題思路.本文對如何在高中數學教學中培養學生的數學運算能力進行探析.

【關鍵詞】高中數學;運算能力;運算策略

運算指的是利用相關數學信息與數學方法進行解答的過程.大部分教師將運算定義為一個求解的數學流程，認為運算活動只包含學生數學技能的綜合表達，對于運算活動的重視遠遠不夠.在教學中，教師要圍繞學生的“內驅力”開展計算教學活動，幫助學生形成主動計算的數學學習習慣，才能為學生運算能力的發展提供進一步的支持.

一、應用法則講計算，開展計算練習

計算法則是圍繞不同的數學問題演化而來的計算原則.在計算法則的推動下，學生能夠以專業、客觀的視角對有關數學問題進行分析，進而從數學問題的基本元素入手，對繁雜的數學計算進行化簡.在高中數學解題指導活動中，要想全面提升學生的運算能力，使其又快又準地完成計算任務，教師就必須做好數學法則的應用工作.基礎計算法則是調動學生的計算內驅力的重要手段，更是培養學生運算能力的沃土.在指導學生進行解題、思考的過程中，教師必須強調基礎法則在計算教學環節中的應用，夯實基礎，才能更有效地提升學生的計算效率.

在蘇教版數學“三角函數的誘導公式（一）”這部分內容的教學中，四組公式的記憶對于學生來說是一個難點，教師切不可只呈現公式讓學生死記硬背.教師可以設計如下問題：（1）與角α終邊相同的角的位置有哪些情況？（2）對應的角如何表示？（3）所求的三角函數值有何關系？為什么？通過討論，學生對角之間的關系有了更深刻的理解，會從以下幾個方面考慮三角函數值的關系：三角函數的定義或者三角函數線.在學生推導出四組公式后，教師可以追問：這四組公式能否由其中的三組推導出另外一組？從而在推導活動中加深學生對公式的理解.

對一些記憶困難的學生，教師可以再追問：這四組公式是對任意角α都成立的，我們該如何記憶它們呢？因為學生對銳角三角函數值比較熟悉，所以我們可以用特殊角來記憶：假設α為銳角，正負號取決于對應角的象限以及三角函數值在該象限的正負號.就這樣，教師通過追問加深了學生的記憶與理解.

再以蘇教版教材中“兩角和差的正余弦”的新授課為例，當“sin”“cos”等概念同時出現在解題活動中時，學生的解題思路無法向所學知識靠攏，解題效率就會隨之下降.以下列數學問題為例：求sin 25°cos 35°+cos 55°sin? 65°的值.部分學生在解題時一籌莫展，因為其對三角函數的理解停留在“sin? 60°”“cos 60°”等基礎概念當中，面對公式中不曾提及的數值，學生很難進行高效計算.教師可通過以下幾個問題對學生進行引導：（1）這個式子從形式上與哪個公式比較相似？（2）區別在哪里？（3）難點是什么？能不能轉化成我們所熟悉的問題？通過這幾個問題，學生會向已學的內容靠攏，利用三角函數的誘導公式對原問題進行轉化處理：sin? 25°cos 35°+cos 55°sin? 65°可轉化為sin? 25°cos 35°+cos 25°sin? 35°，利用兩角和差的正余弦公式進行計算，可將其轉化為“sin? 60°”，此時，問題的答案便呼之欲出了.在解題的過程中，教師應重視學生對已學知識的運用，合理應用兩角和差公式，才能幫助學生快速解決相關問題.

對于部分數學問題，雖然題目表述較為復雜，但教師如果在進行計算指導活動的過程中引導學生嘗試對基礎定理、運算法則進行合理應用，追根溯源，后續的數學運算質量便能得到一定的保障，學生的整體運算能力也會隨之提升.

二、圍繞方法求結果，規劃解題思路

數學問題從不同的角度考查著學生對數學知識點的掌握程度.在圍繞有關問題開展教學指導活動的過程中，教師必須對學生的解題方法與解題思路進行指導，構建高效化、便捷化、多元化的教學模式，利用全新的解題結構提升學生的學習效率.面對相對復雜的計算，學生如果只通過大量的計算推導數學結果，而不去思考如何去優化計算，那么學生的計算內驅力就會被復雜的計算要求所壓制，從而導致整體的解題效率降低.

教師可圍繞有關數學問題對學生的解題方法進行指導，幫助學生結合所學知識及數學探究活動等重新規劃解題思路.

例如，求函數y=x-1x2的值域的解題過程中，學生的普遍思路為：

令t=x-1，則y=t（t+1）2=tt2+2t+1=0，t=0，1t+1t+2，t≠0，

當t>0時，0

教師可以追問：從形式上看，可以轉化為我們學習過的函數嗎？

學生想到：令t=1x，則y=t-t2（t≠0），此時轉化為二次函數求值域問題.

很明顯第二種方法更簡捷，但是由于思維慣性和缺乏觀察，學生首選的方法為第一種.對于學生來說，當其解題經驗十分豐富，已經獲得了一定的解題經驗與解題方法時，教師可要求學生對自身的解題技能進行重新整理，利用已掌握的數學方法求解數學問題，完成解題互動.

換元是高中解題教學活動中較為常見的一種解題方式，合理應用換元法，能夠幫助學生將復雜的數學問題轉化為單一的數學問題，并依靠新構建的“元”來提升解題效率.但在換元的過程中，學生可能會出現關鍵信息遺漏、解題要求遺漏等問題.對此，教師應對學生的有關解題短板投入相應的重視，依靠對換元法的合理應用，挖掘學生的解題內驅力，使其在解答數學問題的過程中得到更高的成就感，進而提升解題效率.

在利用換元法解題的過程中，學生必須遵循以下原則：1.題干要求不得遺漏;2.題目信息不得遺漏;3.換元之后必須重新書寫題目中的被換元部分，避免解題錯誤.強調換元準則，才能提高換元計算的精確性.以蘇教版數學教材中函數問題的有關求解為例，在這一單元的例題中，復雜的題干與值域相關問題同時出現，使學生的解題思路極易被擾亂.以下列問題為例：已知函數f（x）=3x-13x+1，是否存在實數k，使得函數f（x）在[m，n]上的值域為k3m，k3n？若存在，求實數k的取值范圍.該問題可以等價為方程3x-13x+1=k3x有兩個不等實數根.但是學生的視線很容易被指數干擾，對此，教師可以用以下問題引導學生：（1）這個形式比較復雜，如何轉化為我們熟悉的較為簡單的方程？（2）該方程有何特點？依靠換元，轉化為方程t-1t+1=kt，即t2-（k+1）t-k=0在t∈（0，+∞）上有兩個不等實根，整體的解題效率更加高效.本題的難點在于問題的等價轉換.