淺議新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)向量教學(xué)的難點(diǎn)

陳子喻

【摘要】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，向量教學(xué)一直都是大家研究的重要內(nèi)容.尤其是在新課標(biāo)的背景下，提高學(xué)生對(duì)向量知識(shí)的掌握程度，能夠進(jìn)一步完善其數(shù)學(xué)思維.所以，為了強(qiáng)化教師對(duì)這方面的教學(xué)認(rèn)識(shí)，本文對(duì)新課標(biāo)背景下高中數(shù)學(xué)向量教學(xué)的難點(diǎn)展開(kāi)分析，希望起到一些積極的參考作用.

【關(guān)鍵詞】新課標(biāo);高中數(shù)學(xué);向量教學(xué);難點(diǎn)分析

大量教育工作者、學(xué)者通過(guò)分析、統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，向量在高考中所占據(jù)的分量不容小覷，并且其與其他的考點(diǎn)，也有一定的交匯性.所以，為了強(qiáng)化學(xué)生的解題認(rèn)知，教師在展開(kāi)向量教學(xué)的時(shí)候，需要把控其中的重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容，深化學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)認(rèn)知，開(kāi)闊其解題視野.這樣在幫助學(xué)生利用向量建立解題思維的同時(shí)，還可以有效提高學(xué)生的解題速度，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提升大有裨益.

一、新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)向量教學(xué)存在難點(diǎn)的原因

（一）教材和教學(xué)因素

在新課程標(biāo)準(zhǔn)下，教材特點(diǎn)更加突出其基礎(chǔ)性，強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)知識(shí)的形成過(guò)程，知識(shí)難度增加，交叉性比較強(qiáng).同時(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)具有抽象性和系統(tǒng)性特點(diǎn)，結(jié)構(gòu)緊湊，應(yīng)用較為廣泛.向量是高中數(shù)學(xué)的基本數(shù)學(xué)概念之一，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、抽象性強(qiáng)，在運(yùn)算的過(guò)程中，和以往的運(yùn)算具有很大的不同.這些因素都使得向量知識(shí)的學(xué)習(xí)有著一定的難度.

（二）學(xué)生認(rèn)知能力方面

在學(xué)習(xí)新的知識(shí)和技能的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)受到很多因素的影響，其中的基本因素包含學(xué)生已有的認(rèn)知和技能.夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，能使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本概念的理解更加準(zhǔn)確.但是，在以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中逐漸形成了一定的思維定式，教師常常將實(shí)數(shù)運(yùn)算法則照搬向量運(yùn)算，使得學(xué)生出現(xiàn)解題錯(cuò)誤.

（三）非智力方面因素

在解題的過(guò)程中，學(xué)生興趣、動(dòng)機(jī)、意志以及情感等非智力因素，對(duì)學(xué)生同樣有著一定的影響.對(duì)于一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生需要具備一定的意志與自信心，才能保證解題活動(dòng)順利開(kāi)展.因此，教師在教學(xué)中要注重情感態(tài)度和價(jià)值觀等非智力因素對(duì)學(xué)生的影響.

二、新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)向量教學(xué)的難點(diǎn)突破策略

（一）幾何問(wèn)題的代數(shù)化思路

在高中數(shù)學(xué)解題中，針對(duì)幾何類的問(wèn)題，教師可以考慮借助向量?jī)?nèi)容，進(jìn)而從代數(shù)化的角度解決問(wèn)題.當(dāng)向量的大小、方向相同時(shí)，可以根據(jù)其特性分析出進(jìn)一步的解題思路.

例1 圓O的方程是x2+y2=9，點(diǎn)P位于圓上，過(guò)點(diǎn)P作PD，使PD垂直于x軸，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，1），動(dòng)點(diǎn)Q滿足DQ=23DP.在動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡上，是否有兩個(gè)不重合的點(diǎn)M，N，使OE=12（OM+ON）（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）？如果不存在，請(qǐng)說(shuō)出理由;如果存在，求出直線MN的方程.

針對(duì)這類問(wèn)題，在解決的時(shí)候，我們需要認(rèn)識(shí)到，幾何知識(shí)點(diǎn)中有較多的向量?jī)?nèi)容，我們可以對(duì)其中的向量知識(shí)展開(kāi)坐標(biāo)化的分析，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題.

解 將點(diǎn)Q設(shè)定為（x，y），點(diǎn)P為（x0，y0），則D（x0，0），

進(jìn)而推出DQ=（x-x0，y），DP=（0，y0），

又因?yàn)镈Q=23DP，所以x-x0=0，y=23y0.

又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O上，

易得點(diǎn)Q的軌跡方程為x2+94y2=9.

假設(shè)點(diǎn)M，N存在，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

因?yàn)镺E=12（OM+ON），所以E（1，1）是線段MN的中點(diǎn)，所以x1+x2=2，

y1+y2=2，

又M，N在點(diǎn)Q的軌跡上，所以x21+94y21=9，

x22+94y22=9，

進(jìn)而得出（x1-x2）（x1+x2）+94（y1-y2）（y1+y2）=0，

設(shè)直線MN的斜率為k，

則易得2+92k=0，解得k=-49.

因?yàn)辄c(diǎn)E（1，1）在橢圓內(nèi)，

所以直線MN與橢圓相交，

且直線MN的方程為：4x+9y-13=0.

在這類題目中，針對(duì)向量?jī)?nèi)容，需要讓學(xué)生掌握其中的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，首先是對(duì)坐標(biāo)點(diǎn)的情況進(jìn)行相應(yīng)的分析;其次，對(duì)于所求的點(diǎn)可以利用設(shè)而不解的思路進(jìn)行求解;最后，還應(yīng)該考慮存在性的內(nèi)容，即在得出解的時(shí)候?qū)ζ湔归_(kāi)相應(yīng)的驗(yàn)證，以免產(chǎn)生根的增失情況.

（二）向量的平行和共線問(wèn)題

對(duì)于向量?jī)?nèi)容，教師在帶領(lǐng)學(xué)生解題的時(shí)候，還可以用平面向量解決幾何中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的平行及共線的問(wèn)題，解題的時(shí)候，可以先從平行知識(shí)的相關(guān)條件入手，然后在解析平面幾何的基礎(chǔ)上，對(duì)非零平行向量的充要條件展開(kāi)合理化的應(yīng)用，這樣就能達(dá)到理想化的解題效果.

例2 點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），直線l為x=-1，并且上面存在一動(dòng)點(diǎn)B，∠AOB的平分線與AB在C點(diǎn)處相交，請(qǐng)求出點(diǎn)C的軌跡.

針對(duì)這種類型的題目，在解決的時(shí)候，首先要把握住角平分線這一關(guān)鍵點(diǎn).當(dāng)然，為了降低解題的難度，同時(shí)建立更為清晰的思路，教師不妨帶領(lǐng)學(xué)生從向量坐標(biāo)的角度出發(fā)，以此來(lái)提升大家解題的效率.

解 設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，p），

則OC=（x，y），OB=（-1，p），OA=（2，0）.

因?yàn)閏os ∠BOC=cos ∠AOC，

所以-x+yp1+p2x2+y2=2x2x2+y2，

整理得p（y2-x2）=2xy.

又因?yàn)锳B=（-3，p），AC=（x-2，y），

且AB∥AC，所以-3y=p（x-2），

進(jìn)而推出x2-3y2+4x=0，

即（x+2）24-3y24=1.

進(jìn)而C點(diǎn)的軌跡是雙曲線（x+2）2[]4-3y2[]4=1的右支.

在解題中，大家需要了解到，向量平行是充要的條件，根據(jù)平行、共線的內(nèi)容，還應(yīng)該注意三項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)，首先是根據(jù)條件的特征對(duì)向量方面的知識(shí)建立一個(gè)綜合性的應(yīng)用意識(shí);其次，在利用向量知識(shí)解決問(wèn)題的時(shí)候，需要明確其中的限制性條件，這樣解題思路可以更為綜合;最后，在解題的時(shí)候，對(duì)于向量知識(shí)，還應(yīng)該明確基礎(chǔ)性的概念，進(jìn)而靈活應(yīng)用.