培育并提升高職學生的數學應用素質

揭勛

習近平總書記多次論述職業教育工作的重要性，反復強調加強職業教育的迫切性和必要性。粵港澳大灣區以及各地經濟的快速發展，需要高職院校為其培養大量的高素質的職業人才。數學能力是理工科專業人才技術創新的必備素質，而數學感知素質和數學基礎應用素質，是學生數學能力的雛形，高職院校應當擔負起培育在校學生數學感知素質和提升數學應用能力的責任。

要求高職院校培養在校學生具備全方位的高級數學應用能力是有難度的，不現實的，而側重培養在校高職學生的數學感性認知素質和初步應用素質則是可行的。目前，高職院校的數學教育教學現狀難如人意，傳統照本宣科的教學方法，難以使基礎較差的高職學生掌握好抽象的數學知識，而把相應的數學知識利用具體感性的實踐體驗去理解把握，則會使數學教學生動有趣起來，學生既學到了知識，又具備了對有關數學知識進行應用的能力，因此，高職院校應當進行有效的數學教學改革，培育和提升學生的數學感知素質和應用素質。

本文提倡對傳統高職數學教育教學模式進行改革，以著重培養高職學生的數學感知和基本應用素質，為高職學生未來的數學實踐應用能力打下必要的能力基礎。

一、高職院校數學教學的現狀

經濟數學、高等數學是高職院校經濟管理類或者理工類各專業學生重要的必修的公共基礎課，是學好本專業其他相關課程的銜接性基礎課程，有著不可或缺的地位和重要性。國內各高職院校對該課程充分重視，不斷地對該課程的教學進行改革探索，但是，現階段高職院校數學課堂教學中最常見的情形依舊是：教師依仗著嘴巴和粉筆，年復一年地在講臺上照本宣科;學生則被動地帶著紙筆，引頸豎耳地聽得愁眉百結。高職院校大部分學生的知識基礎欠扎實，學習的意志品質欠佳，加之這種傳統的填鴨式教學方式過度地強化了高職數學教學的抽象性和枯燥乏味，導致大多數高職學生在數學的學習上無所適從，每一屆學生的數學考試補考率總是居高不下。有些學校的學生、領導因此而質疑數學知識的實用性，要求學校取消數學課程或者驟減數學課的教學課時，甚至把高等數學由必修課降格為選修課來組織教學活動。

顯而易見，這種教學效果收效甚微的人才培養模式，已經不再適應人才市場的需求，已經很難為粵港澳大灣區和各地的建設培養出大批合格的畢業生。

二、以人才需求為導向，培育和提升高職學生數學感性認知素質和數學應用素質教學改革的意義分析

本文所述的數學感性和應用素質，是指位于掌握抽象的高等數學知識能力和熟練應用數學能力之前的、通過具體的實踐常識體驗來感知數學知識并初步理解數學應用的一種能力，屬于數學應用能力的一種初級的基本的數學感知和應用能力，這種數學素質的訓練，能把抽象的數學知識及應用以通俗易懂的實踐感性認知材料來加以理解，能使數學教學活動生動趣味化，又能為學生參加工作后的數學實際應用能力打下堅實的素質基礎。

粵港澳大灣區及各行各業的發展，離不開高職院校為其培養大量合格的建設者，其中具有數學應用素質的人才更是供不應求，在這種情勢之下，為大灣區的建設提供各類高質量的人才資源，體現著高職院校辦學的意義，是壓在高職院校身上的重任。高等數學是理工科專業的核心基礎課程，是不得不學好的一門課，否則學生的數學應用能力和其他創新能力都會大打折扣，因此，在高職院校進行培育并提升學生數學感性應用素質的教育教學模式改革已成必要。教師應當根據高職學生的實際學習能力和就業情況，把數學教學從側重教學數學的抽象性理論回歸到注重培養學生的數學感性認知和應用素質方向來，應當從觀念改變、實施開展、保障措施等角度著手，探索并進行培養學生數學感性應用素質的教學改革。

三、粵港澳大灣區建設用人需求的背景下，高職院校培養和提升學生數學感性認知素質和應用素質的教育教學改革探索

（一）高職院校領導層形成對高等數學進行教育教學改革的認可共識，這是培養和提升高職學生的數學感性認知和應用素質的先決條件

廣東文理職業學院主管教學的副院長、教務處處長、系主任等各級領導都持有相同的觀點：高職傳統數學教學偏重于解惑數學知識抽象性，弱化了對高等數學的系統性感性認知能力和應用能力的訓練，導致學生的數學綜合素質不高。在信息網絡化和人工智能化飛速發展的當今社會，數學的應用能力愈顯重要，在高職院校進行培養學生數學感性素質和應用素質的教育教學改革是非常必要的，符合高職院校培養職業型人才的國家政策要求。

經過對廣東文理職業學院、湛江幼兒師范專科學校、湛江市技師學院、嶺南師范學院的領導和教師所作的多次教學調研了解到：任何教學改革舉措，如果沒有學校領導層強大的政策支持和人力物力支持，都不可能在大面積的范圍內施行。只有各個高職院校的領導層成達了共識，產生了決心，并采取強力有效的手段推進改革，才能在各個學校范圍內甚至跨校的范圍內形成教育教學改革的氛圍，才能通過教師和學生的教學活動去完成改革任務。這與若干個教師在所教班級里進行教學改革，效果是大不相同的。

（二）學校牽頭要求下屬教學單位制訂與教育教學改革相適應的教學大綱，這是培養高職學生數學感性應用素質的必要步驟

教學大綱是學校培養人才的計劃方案，是對教學任務、教學活動進行規劃的綱領性文件。廣東文理職業學院教務處通過對各個系的教學檢查中發現，該學院數學教學團隊教師的教學大綱寫得非常詳細，各個知識點均加入了培養學生數學感性應用素質的內容。例如，他們把“函數在某點導數的定義”這一小節的教學要求具體寫作為：“物體運動的速度問題，已為學生們深度感知，同樣，各種現象（當然也包括數學中的變量）之間的相關數量變化關系亦可通過速度去感性形象地反映，通過對導數定義的教學，使學生掌握：某函數在某一點處的導數值，是指該函數在該點處的函數值相對于自變量變化的瞬時速度。”學生獲取了“導數反映原函數變化的速度”這個角度的感性認知后，心理上會自然而然產生長期的記憶痕跡，從而降低了“導數”貌似孤僻難懂的抽象性，對導數應用的學習增加了興趣和期待。為更好地培養經濟建設應用型人才，每個高職院校應互相交流合作，根據各自的實際情況，揚棄傳統的過于抽象過于教條的教學大綱表述，制訂本校的培養學生數學感性應用素質的數學課程教學大綱，使數學教育教學的開展更加符合教育學和心理學的規律。

（三）高職院校要組織教師認真編寫符合教學大綱的高等數學教材，這是培養和提升學生數學感性認知素質和應用素質的關鍵因素

有人曾經認為，教材的優劣甚至存在與否都無關緊要，只要教師講得好，學生認真做筆記就行了。這種觀點顯然是錯誤的，高職學生自學能力普遍較差，那些不適用的甚至錯漏百出的教材會使教師的備課、上課工作無所適從，學生的學習無本可依。更多高職院校的領導、教師和學生認為：一本優秀的形象生動的數學教材，是教學活動得以順利開展的依仗，是展示所學數學內容的知識寶庫，是培養合格人才的詳細施工圖紙，不可或缺。然而，在大量查找、翻閱國內眾多教材后會發現，我國還很是缺乏各類優秀的高等數學教材，很多教材雖然編著者、出版社不同，但從知識點的內容甚至文字表達格式看，都有粗制濫造和不盡人意的現象。各個高職院校應建立交流合作、配合互動的機制，為培養高職學生數學感性認知和應用素質出謀獻策，均應從實際出發，投入人力和資金編著培養學生數學感知和應用素質的數學教材，因為這件事情關乎高職人才培養的質量以及高職院校存在和發展的意義。教材編著者應認真研究相關專業課程的數學應用內容，認真篩選與相應章節內容高度吻合的淺顯易懂的數學感性認知材料，細心推敲各個知識點的數學感性認知與數學應用的聯系和依據。高等數學教材不能單純體現數學教學的抽象性，更應該體現數學知識的感知性和應用性，讓學生從教材中感受到數學知識的應用之美和感性之美使他們覺得數學并不難懂難學。

廣東文理職業學院教務處領導和系領導非常關心重視校本教材的編寫，把它作為教學改革和師德師風建設的一項具體工作。在各級領導的關懷下，該校數學教學團隊刻苦鉆研高職院校數學教學規律，籍團隊十幾年教學之經驗，積幾年辛勞之功，認真編寫了高等教育“十三五”規劃教材《高等數學》（汪富泉，王艷芬主編），該教材大量體現了高職數學教學的感知性和應用性，已在校內使用了4年多，反響良好。例如，在“一元函數的極值”這一小節，教材中可增加以下數學感性認知和應用材料：一般地，一元連續函數f（x）的圖像可以看作為一列由西向東延伸的連綿起伏的山脈的輪廓線，結合一元連續函數極值點的定義分析可知，唯有每座山峰的山頂點是且必是函數的極大值點，其中，那些山勢圓滑的山頂點是函數的駐點，那些山勢尖起的山頂點是函數的尖點（即不可導點），經觀察還可知，每個山頂點兩側的單調性必是“左增右減”的。

唯有每個山谷點是且必是函數的極小值點，同理，那些山勢圓滑的山谷點是函數的駐點，那些山勢尖陷的山谷點是函數的不可導點，而每個山谷點兩側的單調性肯定是“左減右增”的。函數的極值點必是駐點或不可導點，而函數的駐點或不可導點不一是極值點（因為有些駐點或不可導點是位于半山腰上的）。那么，如何求連續函數極值點呢？根據上述感性認知分析并加以應用，可以先求出函數的所有駐點和不可導點，再利用所有駐點和不可導點把函數的定義域劃分為若干個單調區間，然后根據每個駐點和不可導點兩側的增減性，便可判斷每個駐點和不可導點是否極值點，便可求出每個極值。從教學實踐可以看到：教材里增加這些數學感性認知和數學應用材料后，能夠使學生產生對相關知識的觸覺體念，為相關經濟函數的極值求解等數學應用打下堅實的基礎。

（四）高職院校數學教師積極實施數學課堂教學改革，加強數學感知和數學應用教學，這是培養和提升學生數學感性認知素質和應用素質的核心環節

高職院校教師要刻苦開展教學和科研活動，備課時要全面、深刻地掌握數學課的知識內容，深入發掘所授知識在實際應用中的感性材料，課堂教學中或者通過教學用多媒體，或者通過教學實訓活動，或者通過教學實用模型，致力于把抽象的數學知識通過生活中的相關直接體驗有機地、精準地聯系并表達出來，這種淺顯具體的教育教學方法能增強學生對高等數學的感性認知，加強學生對數學知識的具體理解和恒久的記憶痕跡，強化其學習興趣和數學應用意識。在充分打好學生數學知識的基礎上，再進行有方法有步驟的數學應用教學，更能收到良好的教學效果。

廣東文理職業學院數學教學團隊在學院的組織下到嶺南師范學院調研學習，在深入高等數學課堂聽課的時候，嶺南師范學院的主講教師講授了“關于一元函數的零點定理”。

零點定理：若函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，且f（a），f（b）異號，則（a，b）內至少存在一點ξ，使得f（ξ）=0.

該教師借助七夕節牛郎織女的神話故事進行課堂教學，增進了學生對該定理的感性認識。利用定理的幾何意義，他把x軸比喻為神話中的天河，函數f（x）在[a，b]上的圖像的兩個端點分別比喻為牛郎與織女，那么分隔在天河兩側的他們要相會的話，其行走路線就必然要至少穿過天河一次（即喜鵲至少必須架起一座鵲橋），而過河點便是定理中所說的零點。對“一元函數零點定理”的這般感性教學，很多聽課教師是第一次聽到，大家不由得會心一笑。在完成該定理的內容教學之后，該教師再對該定理的應用進行應用教學，所教學生的學習效果明顯見好。

廣東文理職業學院數學教師鄧金虹于2017年參加“廣東文理職業學院第四屆青年教師教學基本功大賽”，獲得廣東文理職業學院第四屆青年教師教學基本功大賽一等獎和教案設計一等獎。鄧金虹在大賽課堂中，感知性地講授了羅爾微分中值定理。

羅爾中值定理：如果函數f（x） 在閉區間[a，b] 上連續，在開區間（a，b） 內可導，且在區間端點的函數值相等，即f（a）=f（b），那么在（a，b） 內至少存在一點ξ，使得函數f（x） 在該點的導數等于零，即f ′（ξ）=0.

鄧金虹分別準備幾個滿足和不滿足定理條件的函數圖像的教學模型，手指著教學模型進行直觀分析：所謂函數在開區間（a，b） 內點點可導，是指函數圖像處處圓滑不存在尖點;所謂點點連續，是指整個圖像不存在間斷點。向學生展示滿足定理條件的函數圖像的教學模型，并感性地解說，這種函數圖像就好像一列由西向東延伸的連綿起伏且處處圓滑的山脈的輪廓線，如果一頭小恐龍沿著輪廓線爬山，當它爬到山頂點或山谷點（即駐點）站住的時候，它長長的身軀（可比喻為過駐點的切線）就會平行于x軸。經過教師的點撥，學生能理解圖像的駐點必須至少存在一個，且過駐點的切線是平行于x軸的，這就是羅爾中值定理的內容。鄧金虹接著將上述分析過程通過多媒體進行演示，再把羅爾中值定理的應用實例進行形象的分析教學，學生對羅爾定理的印象不再枯燥無味，而是興趣盎然地深刻起來。

函數的幾何圖像教學可以作為培育學生感性應用數學素質的一個有效途徑。比如，函數的極限，通過函數的圖像進行教學可以讓該問題的教學形象生動;經濟函數的彈性、邊際經濟函數的應用，利用相關經濟函數的幾何意義，可使問題化難為易;借助不定積分和被積函數的圖像聯系，能使學生加深對不定積分和定積分的深入理解。矩陣和線性方程組的數學應用問題，利用多媒體結合實際應用例子進行數學感性應用教學，學生能形象地感知相關知識在數學應用方面的重要性和操作規則。

廣東文理職業學院數學教學團隊經過多年的教育教學實踐，通過多次向湛江幼兒師范專科學校、湛江市技師學院、嶺南師范學院等兄弟院校的調研學習和常年的相互交流，總結了大量豐富的關于函數的導數、函數的彈性、函數的凹凸性、函數的積分、行列式的計算、矩陣的運算、線性方程組的求解等知識點恰當淺顯的、多種多樣的數學感性教學材料和數學應用教學材料，并長期開展數學感性應用教學，教育教學質量逐年提高。

（五）高職院校積極實施數學應用實訓教學活動，這是培養和提升高職學生數學感性認知素質和應用素質的有效途徑

現階段，數學應用的實訓教學還得不到有些高職院校應有的重視，有些領導和教師甚至對多媒體數學教學也持排斥態度，認為高等數學不必要也難以開展實訓教學，只要布置足夠的數學題目給學生做作業就行了，這種觀念必須糾正過來。高職學生學習數學的目的是為了更好地應用數學知識去解決工作中遇到的問題，開設數學應用實訓教育教學模式，是增強學生數學知識的應用體驗，培養其數學應用能力的有效途徑。高職院校應當配置數學實訓館室，配置先進的數學教學用多媒體和電腦以及規格齊全的數學教學模型，通過形象具體的實訓教學模式，使學生對相關數學應用產生看得見摸得著的感性感覺，進而培育其數學應用的基礎能力。數學應用的實訓項目可以交叉參考其他專業課程的相關內容確定，也可以根據校內或者校外實訓基地的實訓功能確定。廣東文理職業學院積極開展數學感知和數學應用教學，在校內開展數學建模比賽、運用Mathematica數學軟件操作等數學實訓教學中，積累了豐富的經驗。各地高職院校可以積極利用各種教學平臺進行交流合作，或者開展校際數學建模比賽，或者開展數學感性和應用教學的交流活動，共享教學資源，高效地培育高職學生的數學感性素養和數學應用能力，為經濟的繁榮發展培養市場合格的人才。

（六）各高職院校建立教學改革督導、評判、獎罰機制，這是培養和提升高職學生數學感性認知素質和應用素質的有力保障

高職院校應當成立教學改革督導機構，該機構成員必須配備具有豐富的數學感性素質和應用素質教育教學經驗的領導和教師，其成員應當定期或不定期地深入數學課堂和實訓館室聽課，評課，檢查教學材料，收集教師和學生反饋的信息，實行人員的以老帶新及獎懲、評優等制度，積極指導與促進數學感知和數學應用相結合的教育教學模式改革，保證其順利進行并可持續發展。

四、高職院校開展培養學生數學感知素質和應用素質教學改革的可行性分析

1.高職院校培養高職學生數學感性認知素質和應用素質是一項系統性教育工程，不僅牽涉數學教學方法、學習方法的轉變，還牽涉傳統教學觀念的變革，要從培養人才的各種實效途徑著手改革，進行數學教育教學的系統性改革創新。在實踐教育的背景下，改變高職院校數學教育教學方法抽象化、效果低效化的現狀，注重培養學生的數學感知素質和初步應用數學能力，是高職數學教學的創新出路，也是由各地市場經濟建設特別是粵港澳大灣區經濟建設對人才需求的背景決定的。

我國高職教育的發展經歷了二十多年，社會各階層已經對高職教育的辦學特點和辦學規律有了深入的了解，高職數學教育不能照搬培養理論研究型和技術開發型人才的那一套教學模式，那會導致勞而無功的后果。高職院校的生源實際質量決定了教學方法必須要因材施教，企業的用人需求決定了高職教育的目標必須是培養技術型和應用型人才，用人市場對人才的質量需求已經深刻地影響著高職教育的改革方向，高職數學教育培養學生數學感性素質和初級應用素質，在頂層教育設計上已成為可能。

2.我國高職教育從舉辦到推廣的二十多年間，恰逢我國經濟迅猛發展的時期，大批從事高職數學教學的教師已步入中年或壯年，他們高職數學教學經驗豐富并且年富力強，經過對不同專業的、多屆高職畢業生的就業情況調查和對不同企業用工需求的調查，經過多種途徑的教學積累和教研科研活動，逐步發現了高職院校培養的畢業生質量與各地及粵港澳大灣區建設所需人才素質的差距與原因，更加了解高職數學知識在市場應用中的常用模型和知識板塊，具備了在教學中培養學生相應素質的較高能力，并編寫了大批實用的高職高專數學教材，為推進培育學生數學應用素質的教育發展打下了堅實可行的基礎。

現代多媒體教學技術和先進教學實訓設備的運用，為高職教育培養學生數學感性應用素質提供了強大的技術支撐。比如，經濟學中常用一元或二元需求函數、價格函數、供給函數、成本函數、收益函數、利潤函數等，可以依據經濟運行的各種詳細數據和計算機的高速運算能力，把它們的表示方法通過圖像法表示出來，而描出了這些經濟函數的圖像，我們就可以利用多媒體，形像地通過幾何的方法講授經濟函數的凹凸性、邊際經濟函數的意義、經濟函數的彈性等數學應用知識，培養學生的感性應用數學素質。

3.在當今知識大爆發的經濟繁榮時代，學生的學業壓力會越來越大，良好的教學方法能達到事半功倍的教學效果，生動形象而兼具化難為易特點的數學感性應用教學模式，會越來越為高職學生所歡迎并極大地提高高職數學的教學質量。

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[基金項目：廣東省教育廳2020年度“特色創新”普通高校科研項目“無條件及附條件連續經濟函數極值問題的系統化探索與研究”（2020KTSCX385）;廣東文理職業學院2019—2020年科學研究和教育教學研究項目“提升高職學生高等數學實踐認知能力的教學模式的創新研究”（GWL202002006）。]

責任編輯 何麗華