基于RL電路的球狀地質(zhì)體瞬變電磁觀測(cè)電位改正*

韓 陽(yáng)，李文堯，馬 松，隆季原

(昆明理工大學(xué) 國(guó)土資源工程學(xué)院,云南 昆明 650093)

0 引言

時(shí)間域瞬變電磁法 (TEM)是一種建立在電磁感應(yīng)原理基礎(chǔ)上的人工源電磁探測(cè)方法[1]。瞬變電磁法可應(yīng)用于找礦采礦[2-3]、工程物探[4-6]、地質(zhì)調(diào)查[7-9]等領(lǐng)域，是一種應(yīng)用廣泛的物探方法。近十幾年來(lái)，時(shí)間域電磁法技術(shù)得到了很大的發(fā)展[10-11]，取得了良好的應(yīng)用效果。

瞬變電磁法接收線圈可以等效為線圈內(nèi)阻、電感和匹配電阻組成的RL電路。在該電路中，地質(zhì)體的感應(yīng)電位等于接收線圈內(nèi)阻電位、接收線圈電感電位、接收線圈匹配電阻電位(觀測(cè)電位)之和。目前大多數(shù)TEM方法使用接收線圈的觀測(cè)電位近似代替地質(zhì)體的感應(yīng)電位，這會(huì)產(chǎn)生誤差，導(dǎo)致反演和推斷解釋結(jié)果不可靠。蔣邦遠(yuǎn)[12]對(duì)局部地質(zhì)體的觀測(cè)電位進(jìn)行了理論研究。王華軍[13]研究了層狀地質(zhì)體用觀測(cè)電位代替地質(zhì)體感應(yīng)電位產(chǎn)生的誤差。因此，需要找到一種由觀測(cè)電位改正到地質(zhì)體感應(yīng)電位的方法。本文結(jié)合前人研究[14-17]，基于基爾霍夫定律和球狀地質(zhì)體中心回線瞬變電磁法觀測(cè)電位表達(dá)式，提出了一種球狀地質(zhì)體瞬變電磁接收線圈觀測(cè)電位改正方法。

1 球狀地質(zhì)體接收線圈觀測(cè)電位公式

接收線圈的等效RL電路如圖1所示。

圖1 瞬變電磁接收線圈等效RL電路

根據(jù)基爾霍夫電壓定律有

Vi=Vr+VL+VRP，

(1)

式中：VL為來(lái)源于線圈的感應(yīng)電位；Vr為線圈的電阻產(chǎn)生的電位，r為線圈內(nèi)阻；RP為匹配電阻；L為接收線圈電感。

(2)

地質(zhì)體感應(yīng)電位與地質(zhì)體形狀有關(guān)，不同形狀的地質(zhì)體有不同的觀測(cè)電位的理論公式，本文針對(duì)球狀地質(zhì)體，推導(dǎo)其觀測(cè)電位的理論公式。

假設(shè)電導(dǎo)率為σ、半徑為a、中心埋深為h的球體位于圓形發(fā)射回線的正下方，中心回線裝置下瞬變電磁場(chǎng)的表達(dá)式[1]為

(3)

式中：q為接收線圈半徑；p為圓形發(fā)射回線的發(fā)射半徑；I為發(fā)射電流；τ為擴(kuò)散系數(shù) ，τ=μ0σa2/π2，μ0=4π×10-7H/m。

在晚期條件下，根據(jù)文獻(xiàn)[1]中得到的t≈τ/2時(shí)進(jìn)入晚期，可將式(3)簡(jiǎn)化為

(4)

(5)

(6)

求解以上公式得到方程的解：

(7)

(8)

(9)

式(9)即為球狀地質(zhì)體觀測(cè)電位公式。

2 球狀地質(zhì)體瞬變電磁觀測(cè)電位改正方法

式(9)中的RP、r、L為儀器參數(shù)，是已知的，而τ和A是未知的，因此不能直接使用式(9)計(jì)算VRP。通過(guò)野外觀測(cè)可得VRP，曲線形態(tài)為指數(shù)形式，故可用野外觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合得到VRP表達(dá)式。

曲線擬合的原理是根據(jù)采集到的大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1,2,…,n)求出y=f(x)一個(gè)近似表達(dá)式y(tǒng)=φ(x)(稱(chēng)為“擬合函數(shù)”)。從幾何角度看，就是要根據(jù)采集到的n個(gè)點(diǎn)(xi，yi)，求曲線y=f(x)的一條近似曲線y=φ(x)，與之能較好地逼近[18]。常采用最小二乘法逼近,表達(dá)式為

(10)

選取φ(x)使偏差的平方和最小。

令VRP(t)=meit+nejt，其中j為已知參數(shù)，m、n、i為未知參數(shù)。

已知觀測(cè)時(shí)間與對(duì)應(yīng)時(shí)間的觀測(cè)電位{(ti,VRPi),i=0,1,2,…,m}，采用曲線擬合的方法得到m=m1,n=n1,i=i1時(shí)達(dá)到最好的擬合效果，擬合表達(dá)式為

VRP=m1ei1t+n1ejt。

(11)

將擬合得到的VRP求導(dǎo)得

(12)

將式(12)代入式(2)得

(13)

式(13)即為改正后的觀測(cè)電位公式，其中m1、n1、i1為擬合得到的參數(shù)。將觀測(cè)時(shí)間t代入式(13)，即可得到各個(gè)時(shí)間改正后的觀測(cè)電位。

3 改正方法有效性及穩(wěn)定性分析

野外觀測(cè)電位數(shù)據(jù)是離散的，且有誤差，為了驗(yàn)證該方法的有效性，需進(jìn)行改正方法有效性和穩(wěn)定性分析。本文提出的改正方法是基于晚期條件下簡(jiǎn)化公式推導(dǎo)的,步驟如下：

a.假設(shè)已知球狀地質(zhì)體半徑a=50 m，電導(dǎo)率σ=1 S/m，埋深h=80 m，線圈電感L=0.02 H，匹配電阻RP=100 Ω，線圈內(nèi)阻r=10 Ω, 供電電流為10 A，發(fā)射回線半徑為56.7 m，接收回線半徑為5.73 m，t≈τ/2≈159 μs時(shí)進(jìn)入晚期，可以用式 (4)計(jì)算地質(zhì)體在159 μs之后的理論感應(yīng)電壓Vi。

b.根據(jù)式(9)計(jì)算出觀測(cè)電位VRP的理論值，然后分別加入5%、10%、15%隨機(jī)誤差，對(duì)加入隨機(jī)誤差的VRP進(jìn)行指數(shù)擬合，得到關(guān)于時(shí)間t的觀測(cè)電位VRP的表達(dá)式。

c.對(duì)觀測(cè)電位VRP表達(dá)式求一階導(dǎo)數(shù)，并將VRP的擬合表達(dá)式及一階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式代入式(2)得到改正后的Vi值。

d.計(jì)算理論Vi和改正后Vi的相對(duì)誤差，結(jié)果分別見(jiàn)表1、表2、表3。由表1-表3可知：加入5%的隨機(jī)誤差時(shí)，理論Vi值和改正后的Vi值之間的誤差小于2.5%；加入10%的隨機(jī)誤差時(shí)，理論Vi值和改正后的Vi值之間的誤差小于2%；加入15%的隨機(jī)誤差時(shí)，理論Vi值和改正后的Vi值之間的誤差小于5%。加入隨機(jī)誤差(5%、10%、15%)時(shí)理論Vi值和改正后的Vi值之間的誤差均小于5%。因此，該改正方法是有效且穩(wěn)定的。

表1 理論Vi與改正后的Vi對(duì)比(加入5%隨機(jī)誤差)

表2 理論Vi與改正后的Vi對(duì)比(加入10%隨機(jī)誤差)

表3 理論Vi與改正后的Vi對(duì)比(加入15%隨機(jī)誤差)

4 用VRP代替Vi的誤差分析

驗(yàn)證用VRP代替Vi產(chǎn)生的誤差，步驟如下：

a.采用中心回線裝置，發(fā)射回線半徑56.7 m，接收回線半徑5.73 m，供電電流10 A，匹配電阻RP=100 Ω，接收線圈內(nèi)阻r=10 Ω，電感為L(zhǎng)=0.02 H，獲得觀測(cè)電位VRP。

c.將觀測(cè)時(shí)間t代入改正公式Vi的表達(dá)式算得改正后的電位Vi，并計(jì)算用VRP代替Vi的相對(duì)誤差，結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 用VRP代替Vi的相對(duì)誤差

由表4可知：觀測(cè)時(shí)間為159.0 μs時(shí)相對(duì)誤差為50.80%；1 216.0 μs之后誤差維持在50%左右；觀測(cè)時(shí)間為22 242.0 μs時(shí)誤差最大，為53.27%；243.0 μs誤差最小，為8.10%。由此表明，在觀測(cè)早期，觀測(cè)電位VRP與地質(zhì)體的感應(yīng)電位Vi差別很大，用VRP代替Vi導(dǎo)致了探測(cè)結(jié)果的不可靠。

5 結(jié)論

目前大多數(shù)TEM系統(tǒng)是使用匹配電阻兩端的電位作為觀測(cè)電位近似代替地質(zhì)體在接收線圈上的感應(yīng)電壓，這種方法在探測(cè)埋深較淺的地質(zhì)體時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的數(shù)據(jù)誤差，導(dǎo)致反演和推斷解釋結(jié)果不可靠。本文通過(guò)對(duì)瞬變電磁中心回線接收線圈等效電路的深入分析，將地質(zhì)體的感應(yīng)電位近似為接收線圈內(nèi)阻電位、接收線圈電感電位、接收線圈匹配電阻電位(觀測(cè)電位)之和。基于球狀地質(zhì)體中心回線瞬變電磁場(chǎng)表達(dá)式，通過(guò)公式推導(dǎo)，采用曲線擬合的方法，提出了球狀地質(zhì)體接收線圈觀測(cè)電位改正方法。經(jīng)驗(yàn)證，該方法有效且穩(wěn)定，改正后的電位與理論電位誤差小于5%。