基于非精確迪利克雷模型的有源配電網魯棒最優潮流

寧 楠，杜 林，劉興艷，姚 璐，劉友波

（1.貴州電網有限責任公司貴安供電局，貴陽 550031；2.四川大學電氣工程學院，成都 610065）

有源配電網作為電力系統中連接輸電主網與終端用戶的關鍵環節，如何制定其最優運行策略一直是重要的研究課題。然而，配電網系統內分布式能源、終端用戶的隨機需求所帶來的源-荷不確定性為配電網的最優運行策略帶來了新的挑戰。因此，對有源配電網進行能夠應對運行不確定性的相關研究尤為重要[1-3]。

文獻[4]指出有源配電網的最優運行問題本質是配電網最優潮流問題。配電網的拓撲結構相對于輸電網來說更加復雜多樣，例如其線路的電阻、電抗比值較高，有輻射狀、樹狀、環狀等結構，除了直流潮流外還應考慮交流潮流對電壓幅值的影響。交流潮流約束使有源配電網的最優潮流模型具有非凸非線性的特性，對其進行求解面臨較大挑戰。同時，運行不確定性的引入使該模型的求解難度進一步增加。

文獻[5-7]分別采用了進化算法、基因算法、粒子群算法等啟發式算法求解最優潮流模型，并指出這類算法簡單易行，同時能夠合理地處理非凸非線性模型。然而，文獻[8]指出啟發式算法具有不易收斂，訓練時間長，無法保證全局最優等缺點。相比之下，數學規劃方法能夠保證模型解全局最優，同時能保證較高的計算效率。因此，越來越多的學者開始探討運用數學規劃方法求解有源配電網最優潮流模型的可行性。文獻[9]針對主動配電網中的二次網絡約束引入了二階錐松弛技術，引入中間變量替換約束中的二次項，將等式約束松弛為不等式約束，將可行域非凸非線性的約束推導為可行域是二階錐空間的約束，最后得到了能夠直接求解的錐優化模型。文獻[9-11]采用了同樣的思路處理了主動配電網的最優潮流問題、有源配電網的儲能最優選址定容問題、主動配電網的最優協同規劃問題。上述文獻均證明，二階錐松弛具有合理性，能夠有效地應對配電網最優潮流問題中的非凸非線性難點。

除了非凸非線性特征的處理外，合理描述運行不確定性同樣能夠有效提高最優潮流方案的可行性。文獻[12]基于魯棒優化方法構建了具有良好普適性的經濟調度模型。該模型采用區間形式的不確定集刻畫分布式能源的隨機出力，采用松弛算法求解得到了能應對不確定集內最惡劣場景的最優調度計劃。文獻[13-15]采用同樣的優化思路解決了輸電網日內經濟調度、主動配電網電壓控制、微電網日前經濟調度等問題。上述文獻[12-15]均證明魯棒優化方法能夠安全可靠地處理運行不確定性。然而，文獻[16]發現傳統的魯棒優化存在保守性過高的缺點，因此在傳統魯棒優化框架內引入了調節保守度的預算參數，提出了可調魯棒優化，并通過算例指出該方法使系統決策部門能夠靈活調整最優方案的安全性與經濟性平衡。文獻[17]在可調魯棒優化的基礎上引入了非精確迪利克雷模型IDM（imprecise Dirichlet model）。基于概率統計學構建的IDM框架，能夠客觀地通過風電歷史數據驅動不確定集的建立，歷史數據越充足效果越好，進一步提升了優化方案的經濟性。

傳統的有源配電網最優魯棒潮流研究通常依賴于主觀設定的不確定集來描述運行不確定性。本文則引入IDM自適應地挖掘風電-負荷歷史數據構建數據驅動盒式不確定集，使不確定性的描述無需依賴主觀判斷，進一步建立以系統網損成本、購電成本總和最小為目標的最優潮流魯棒模型。針對模型中的非凸非線性項，采用二階錐松弛技術將其轉化成可行域為二階錐空間的變量，再基于對偶理論與大M 法將模型推導為能夠被直接求解混合整數二階錐規劃模型，通過求解該模型得到具有全局最優性的最優潮流方案。最后，基于改進的IEEE 33系統驗證了本文方法與模型的有效性。

1 有源配電網的魯棒最優潮流模型

1.1 目標函數

有源配電網最優潮流是以調度周期內的系統網損成本及主網購電成本之和最小為優化目標，其表達式為

1.2 網絡約束

有功約束、無功約束、相角差、電壓幅值約束、電流幅值約束可分別表示為

1.3 電儲能系統約束

有源配電網一般部署電儲能系統，能提供一定無功支撐。儲能的有功、無功功率約束，各時段荷電狀態，荷電狀態范圍約束，調度周期內的首、末時段荷電狀態的規定，有功、無功功率限制可分別表示為

1.4 模型緊湊型表達

式（1）～（13）為本文所提最優潮流模型，通過決策x使運行總成本最優，決策x可以表示為

魯棒模型式（16）的內層max 函數通過搜尋Ωz內的最惡劣場景z?使運行成本最高，外層min 函數通過決策x使最惡劣場景z?下的運行成本最小。由于隨機變量在各時段均處于最惡劣場景的概率極低，引入Γ來限制出現最惡劣場景的時段數，進而調控安全性與經濟性的平衡，即

由式（17）完成了魯棒最優潮流模型的構建。該模型采用盒式不確定集Ωz刻畫運行隨機變量，Ωz在很大程度上影響優化方案的經濟性。

2 基于IDM 的數據驅動盒式不確定集

人為設置的不確定集邊界過于主觀。采用文獻[17]中的IDM 挖掘風機出力、負荷需求歷史數據以構建不確定集。

2.1 運行不確定性事件的數學描述

2.2 求取DM 先驗分布

根據貝葉斯先驗分布分支理論[24]，構建確定性迪利克雷模型DM（Dirichlet model）的概率密度函數為

式中：G(?)為Gamma 函數；dk為ρk在DM 先驗分布下的先驗均值。

2.3 求取DM 后驗分布

根據現有的風電-負荷預測誤差樣本，根據貝葉斯學習機制對式（20）構建后驗DM的概率密度函數為

式中：S為樣本空間容量；sk為z?k出現的次數。

2.4 求取運行不確定性事件后驗概率的期望值邊界

得到先驗概率均值dk后，用期望值表示z?k發生的概率ρk為

2.5 構建運行不確定性事件CDF 的置信區間

由式（24）構建z?i,t的數據驅動CDF 置信區間[Prl(ρk),Pru(ρk)]可知，可用歷史數據量越大，區間精度越高。CDF 置信區間與樣本容量S的關系如圖1 所示。由圖1 可知，CDF 置信區間包絡的范圍會隨著樣本容量的遞增而收縮，逐漸逼近真實CDF曲線。

圖1 CDF 置信區間與歷史數據規模的關系Fig.1 Relationship between confidence interval of CDF and size of historical sample set

2.6 將CDF 置信區間轉化為盒式不確定集

綜上，IDM能在不對隨機變量做任何假設的前提下，通過挖掘客觀歷史數據構建包絡隨機變量實際值的區間。同時，可用歷史數據樣本越多，區間精度越高，不需要依賴于調度人員的主觀判斷。

3 求解方法

第2 節所提模型是難以直接求解的混合整數非線性規劃問題，本節將其松弛為二階錐規劃問題，然后利用強對偶理論將min-max 形式的目標函數推導為單層min形式。

3.1 模型的二階錐松弛及線性轉化

模型的非線性特性源于相乘的電壓、電流決策變量。借鑒文獻[10]的思路，引入中間變量Xn,t、Yn-m,t、Zn-m,t、In-m,t替代非線性項，即

式中：A、B、C、D均為系數矩陣；x′為包括可行域為二階錐空間的中間變量及儲能功率變量；Ωk為二階錐空間。

3.2 模型的對偶轉化

式（35）的min-max 形式使其仍無法直接求解，基于強對偶理論將式（35）推導至其對偶形式為

式中：M為取值100 000 的實數；α?為輔助變量；α?t

式中：α?+、α?-分別為α?的正值、負值向量，通過決策v控制。保守度調節參數Γ為調度人員設定的整數值。

至此，完成了數據驅動盒式不確定集的構建以及原最優潮流模型的二階錐松弛，得到可直接求解的混合整數二階錐規劃模型。

4 算例分析

4.1 基本參數介紹

基于如圖2 所示的IEEE 33 節點系統展開算例，R節點為連接上層主網的根節點，E節點為連接儲能系統，W 節點部署風機，其余參數設定見表1，儲能參數見表2，各時段電價見表3。風機出力、有功負荷需求的歷史數據取自西南地區某市配電網2019 年夏季的運行數據。不確定集置信度參數θ取95%，調度時段總數T為24，保守度調節參數Γ取12。其余未說明參數均參考文獻[10]。實驗平臺為MATLAB，并調用CPLEX12.7.5求解器進行求解，計算機配置為Win10系統，CPU為Intel（R）Core i7-5600系列，主頻2.60 GHz，內存8 GB。

表1 算例系統設定Tab.1 Setting of an example system

表2 儲能系統參數Tab.2 Parameters of energy-storage system

表3 各時段購電電價Tab.3 Electricity purchase price at each time interval

圖2 改進后的IEEE 33 節點系統拓撲結構Fig.2 Topology of modified IEEE 33-bus system

4.2 數據驅動效果分析

為了驗證IDM的數據驅動效果，選取包含100、1 000、2 000、5 000、20 000個歷史數據的樣本集，研究運行成本與樣本數量的關系，其結果如圖3所示。

圖3 不同樣本數量下的成本Fig.3 Costs under different numbers of samples

由圖3 可知，樣本數量增加會導致運行成本下降，其原因是樣本量增多會導致不確定集區間向真實值收斂，配電網面臨的不確定性降低，系統功率支撐需求比樣本較少時降低，網損有所降低，同時無需向主網購買過多電量滿足負荷。此外，成本隨樣本容量的下降趨勢并不均勻，若樣本數量超過5 000，成本趨于穩定。這是由于IDM無需假設風電-負荷具體概率分布，而是通過有限的歷史數據得到不確定集，能充分利用歷史數據保障系統的功率支撐。需要說明，模型的求解效率與歷史數據樣本容量并不相關，求解時間均集中于5.5 s左右。

文獻[18]提供了另一種數據驅動的方法。為驗證本文IDM 數據驅動方法的有效性，以單時段風電-負荷數據為例，與文獻[18]所提方法進行對比分析，結果如圖4所示。

圖4 不同樣本數量下兩種方法構造的置信區間Fig.4 Confidence intervals constructed using two methods under different numbers of samples

由圖4可見，隨著樣本數量從100增加20 000，本文所提CDF置信區間的寬度比文獻[18]置信區間的寬度更窄，并且隨著樣本數量的增加，區間都會向真實值收斂，轉換得到的不確定集合區間也不斷縮小，從而得到更具有經濟性的優化結果。隨著樣本數量趨于無限大，區間無限接近于真實值，優化結果的保守性也會得到消除，由此兼顧了運行方案的經濟性和魯棒性。

進一步分析本文不確定集的靈敏性，通過設置不同預測誤差CDF置信度，研究運行成本與置信度的關系，結果如圖5所示。

圖5 不同置信度下的成本Fig.5 Costs under different confidences

由圖5可見，置信度降低會導致各項運行成本出現一定程度縮減。這是因為置信度減小會導致風電-負荷預測誤差的CDF置信帶收縮，對于風電-負荷不確定性的描述也逐漸“放松”，預測誤差區間減小，因此主網購電成本和網損進一步降低。但置信度不得設置過低，這樣無法保證所得的運行方案滿足可能出現的風電-負荷出力極限場景。運行人員應根據配網系統的實際運行狀況和自身經驗，選擇合理的置信度參數，以尋求安全性和經濟型的平衡。

最后，進一步研究Γ對最優潮流方案制定的影響，選定樣本數量為20 000，置信度為95%，分別設置Γ為0、12、16 和24 進行實驗，得到不同Γ優化結果對比如表4所示。

表4 不同保守度可調參數優化結果對比Tab.4 Comparison among optimization results under different adjustable parameters＄

由表4 可以看出，當Γ為0 時，運行成本最低。隨著參數Γ逐漸增加到24，運行成本也在不斷增加。這是由于隨著保守度可調參數Γ的增大，在制定運行方案時將考慮更多的風電-負荷出力的不確定性，從而需要調度更多的資源以應對雙重不確定性。雖然此時方案的制定充分考慮了可能的最惡劣場景，優化方案具有很強的魯棒性和可靠性，但是運行成本的增加使得優化方案的經濟性變差。因此，運行人員在制定方案時，需要充分考慮系統的魯棒性和經濟性，選取合適的參數Γ。

4.3 方案有效性分析

設Γ=12，采用20 000 個歷史數據，分析運行計劃中儲能系統的作用，各時段購電計劃如圖6所示，儲能系統在各時段的荷電狀態如圖7所示。

圖6 各時段的購電計劃Fig.6 Plan of electricity purchase at each time interval

圖7 各時段的儲能狀態Fig.7 State of energy-storage at each time interval

儲能充放電狀態與購電電價密切相關。由圖7 可知，01:00—07:00 時段，由于處于谷時電價，通過購電滿足負荷，并存儲于儲能中，直到儲能為最大荷電狀態，以應對即將到來的第1 個峰時段；10:00—15:00，儲能持續釋放在前1 谷時段存儲的電能滿足負荷；第1個峰時段后儲能已處于最小荷電狀態，為迎接第2 個用電高峰時段20:00—22:00的到來，儲能在平時段15:00—19:00 向主網大幅購電，并于19:00—22:00 釋放。可以看出，由于儲能能夠平移能量，配電網從一個被動的“接受者”（無論購電價格多高昂，都必須向主網購買電量滿足負荷需求），變成了一個靈活的“變通器”（通過負荷的“谷充峰放”功能，將凈負荷低谷時便宜的電量“挪”到用電高峰時段使用）。

4.4 求解方法對比分析

為驗證本文所提方法的優越性，進一步與隨機優化模型、傳統魯棒模型和確定性模型進行對比分析，結果如表5所示。

表5 不同求解方法優化結果對比Tab.5 Comparison among optimization results solved using different methods＄

由表5 可知，數據驅動魯棒模型的總運行成本高于確定性模型，這是因為本文模型考慮了風電-負荷的不確定性，并且在實際運用中，面對確實存在的不確定風電出力和隨機負荷時，確定性規劃的效果難以保證，而本文方法能更好地克服不確定性影響，更有應用價值。

此外，本文模型的總運行成本高于隨機優化模型。但是隨機優化模型需要事先假設風電-負荷出力服從正態分布，而風電-負荷的真實分布不一定是所假設的概率分布。本文模型是基于最惡劣的風電-負荷場景進行優化，無需事先假設風電-負荷服從任何具體的概率分布，因此本文模型與隨機規劃模型相比更具有可靠性。

與傳統魯棒模型相比，本文所提模型的總運行成本較少。兩種方法均是基于各自不確定集合中最惡劣的出力場景進行優化，但是數據驅動的方法可以結合歷史數據，不斷縮小不確定集合區間，從而獲得比傳統魯棒方法更具有經濟性的優化結果，降低了優化方案的保守性。

4.5 二階錐松弛及對偶轉化合理性分析

文獻[10]定義二階錐松弛誤差度指標為

以不確定集Z內的上邊界取值為場景，求調度周期內所有支路的誤差度，結果如圖8所示。

圖8 各支路的二階錐松弛最大誤差Fig.8 Maximal error of second-order-cone-relaxation of each branch

由圖8 可知，誤差數量級均集中在10-5%，任意支路誤差均不超過7.8×10-5%，由此可判斷二階錐松弛合理。針對對偶轉化的合理性分析，基于拉丁超立法抽取100 個隨機場景比較原二階錐模型與對偶模型的結果，相對誤差均值、最大值、最小值分別為0.028%、0.046%、0.01%，均未超過萬分之五，可知所用的對偶轉化合理。

5 結 論

針對考慮風電-負荷不確定性的含儲能有源配電網最優潮流問題，建立了最優潮流魯棒模型，基于IDM構建盒式不確定集以描述風電-負荷不確定性。運用二階錐松弛技術、大M 法、強對偶理論推導，得到可直接求解的混合整數二階錐規劃模型，通過求解模型得到最優潮流運行方案。最后在IEEE 33節點系統中展開算例。基于實驗結果得出以下結論。

（1）數據驅動魯棒模型能夠適應配電網系統復雜多變的運行環境，相比于傳統魯棒優化中需要主觀地設定不確定集區間，IDM能基于歷史數據客觀地提升方案經濟性。當歷史數據較少時，由于不確定區間大，得到的運行方案較保守；當歷史數據充足時，由于不確定區間緊縮，求解結果的保守性降低。隨著樣本數量趨于無限大，求解結果的保守性也會得到消除，從而兼顧運行方案的經濟性和魯棒性。

（2）運行方案與置信度設定密切相關。決策人員可根據當地配電網系統的實際運行狀況和自身經驗，選擇合理的置信度參數，根據安全性和經濟性做出權衡。

（3）保守度可調參數的選取會對運行方案產生影響。決策人員在制定方案時，需要充分權衡系統對魯棒性和經濟性的需求，選取合適的保守度可調參數。

（4）儲能系統在運行階段受實時電價影響，表現出“谷充峰放”的特性，在緩解配電網運行壓力的同時提升其經濟性。

（5）數據驅動魯棒模型在實際應用中能有效應對不確定性帶來的風險。此外，與傳統魯棒模型和隨機優化模型相比，更能兼顧運行方案的經濟性和魯棒性。

（6）模型的二階錐松弛和強對偶轉化過程誤差細微，可用于模型的近似計算，提升求解效率。

下一步工作將在模型中進一步考慮電動汽車接入、需求側響應策略的動態特性，充分利用源-荷不確定性搭建更為細致的模型，并引入數據驅動隨機魯棒優化方法，進一步提高優化方案的經濟性。