圓錐曲線中直線過定點問題的求解方法

鄒素文

[摘? ?要]通過研究圓錐曲線中直線過定點問題的求解方法，不僅能簡化此類題型的運算，而且能提高學生的解題能力.

[關鍵詞]圓錐曲線;直線;定點

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）20-0021-02

圓錐曲線中直線過定點的問題在各地模擬考試以及高考中經常出現. 這一類問題，一般由過定點的幾條動直線與圓錐曲線相交，產生一條動直線，最后研究該動直線是否過定點.通常做法是把直線方程與圓錐曲線標準方程聯立，得到關于[x]（或[y]）的一元二次方程，直接求出交點橫坐標（或縱坐標），或運用根與系數的關系解決問題.這是解決圓錐曲線問題的通法，但計算繁雜，學生在有限的時間內很難得到正確結果.我們采用逆向思維，將圓錐曲線的標準方程代入直線方程，即將兩條直線的一般式方程[l1]：[A1x+B1y+C1=0]和[l2]：[A2x+B2y+C2=0]相乘得到[（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0]，將圓錐曲線的標準方程變形后代入上述直線系方程，消去[x2]（或[y2]項），采用因式分解的技巧得到所要求的直線方程，從而達到減少運算量的目的.

[例1]已知橢圓[x29+y2=1]的左頂點[A]，不過點[A]的直線[l：y=kx+m]與橢圓交于不同的兩點[P]、[Q]，當[AP?AQ=0]，求證：直線[l]過定點，并求定點坐標.

分析：這是一道典型的定點問題，常規處理思路：方程化、坐標化和函數化，得到[k]與[m]的等量關系，從而得出直線過定點的結論.

解法1：設[P（x1， y1）]，[Q（x2， y2）]，則直線[l]的方程與橢圓方程聯立得[（9k2+1）x2+18kmx+9m2-9=0]，

[Δ=（18km）2-4（1+9k2）（9m2-9）>0?m2<9k2+1].

[x1+x2=-18km1+9k2，x1x2=9m2-91+9k2.] ? ? ?①

由[AP?AQ=0]得

[x1x2+3（x1+x2）+y1y2=0]，即

[x1x2+3（x1+x2）+9+（kx1+m）（kx2+m）=0].整理得[（k2+1）x1x2+（km+3）（x1+x2）+m2+9=0].將①代入上式得[（m-3k）（5m-12k）=0].

（1）當[m=3k]時，直線[l：y=kx-3k]，過右頂點[（3， 0）]，不合題意.

（2）當[m=125k]時，直線[l：y=kx+125k].

因此直線[l]過定點[-125， 0].

點評：這一思路的獲得極為自然，但其運算量特別大，非常容易出錯.為了減少復雜的運算，能否不把直線與橢圓聯立，采用坐標化，函數化求解呢？由于直線[AP]和[AQ]的方程相乘后得到過點[A]、[P]、[Q]的直線系，把橢圓方程代入直線系后進行因式分解得到另外的兩條直線的方程即直線[PQ]和[x=-3]，從而減少運算量.

解法2：依題意，[AP]直線方程為[y=k1（x+3）]，即[k1（x+3）-y=0] ①，[AQ]直線方程為[y=k2（x+3）]，

即[k2（x+3）-y=0] ②.

將①與②左右兩邊分別相乘有[k1k2（x+3）2-（k1+k2）（x+3）y+y2=0] ③.

由于[y2=1-x29]及[k1k2=-1]，代入③，

化簡即有[k1-1k1y+109x+83=0] ④，

④式即為直線[l]的方程，從而直線[l]過定點[-125， 0].

點評：顯然，解法2的運算量比解法1的明顯減少.解題的思想是由一個過曲線頂點的兩條直線構成曲線系，通過把曲線方程代入直線方程后所得的式子進行因式分解得到另外兩條直線（本題有一條直線退化成曲線的切線）.若這種逆向代換的解題方法在另外一些題中若能應用自如，也能幫助我們開闊視野.

[例2]已知[A]，[B]分別為橢圓[E]：[x2a2+y2=1（a>1）]的左、右頂點，[G]為[E]上頂點，[AG?GB=8].[P]為直線[x=6]上的動點，[PA]與[E]的另一交點為[C]，[PB]與[E]的另一交點為[D].

（1）求[E]的方程;

（2）證明：直線[CD]過定點.

分析：本題屬于難題，主要考查轉化、化歸思想和學生的運算求解能力.若設點[P]，用點斜式寫出直線[AP]的方程，然后與橢圓方程聯立，通過根與系數關系求得點[C]的坐標，同理可得點[D]的坐標，于是可表示出直線[CD]的方程，解題思路自然，但計算繁雜.若觀察到線段[AB]是橢圓的中心弦，利用中心弦公式[kPA?kPB=-19]破題，也會給解題帶來方便.當然也可以用三點共線破題.但是三點共線兩個條件所得式子相除后得到一個非對稱的式子，也是學生處理的難點.上述處理策略遠沒有采用逆向代換的方法處理簡單.

解：（1）E的方程式為[x29+y2=1];

（2）設直線[AP]的方程為

[y=k1（x+3）]，即[k1（x+3）-y=0] ①，

設直線[PB]的方程為[y=k2（x-3）]，即

[k2（x-3）-y=0] ②，

將①與②左右兩邊分別相乘得

[k1k2x2-9-k1+k2x+3k1-k2y+y2=0]，

把[x2=9-9y2]代入上式，化簡得[y=0，] 或

[（1-k1k2）y-（k1+k2）x-3（k1-k2）=0] ③，

③式即為直線[CD]的方程.

又①與②式均過點[P]，則有[yP=9k1=3k2]，即

[k2=3k1]，代入③，得

[1-3k21y-4k1x-32=0].

所以直線[CD]過定點[32，0].

點評：此題通過妙用逆向代換，運算相當簡潔，達到了化繁為簡的目的，大大減少了運算量，令人驚嘆！

[例 3]如圖2所示，已知圓[G]：[（x-2）2+y2=49]是橢圓[T]：[x216+y2b2=1（0

圖2

（1）求橢圓[T]的標準方程;

（2）過點[M（0， 1）]分別作圓[G]的兩條切線交橢圓于[E，F]兩點，試判斷直線[EF]與圓[G]的位置關系，并說明理由.

分析：題中有多條直線與橢圓相交，我們抓住直線[ME]、[MF]與橢圓相交，通過逆向代換就會得到直線[EF]方程，從而采用圓心到直線的距離判斷直線與圓[G]的位置關系.

解： （1）可求得橢圓[T]的標準方程為[x216+y2=1]，過程略.

（2）設直線[ME]的方程為[y=k1x+1]，即[k1x+1-y=0] ①，

設直線[MF]的方程為[y=k2x+1]，即[k2x+1-y=0] ②，

將 ①與 ②左右兩邊相乘 有[k1k2x2+（k1+k2）x（1-y）+（1-y）2=0]，將[x2=16（1-y2）]代入上式，化簡即有[16k1k2（1+y）+（k1+k2）x+1-y=0]③，③式即為直線[EF]的方程.由題意知直線[ME]均與圓[G]相切，則[2k1+11+k21=23]，即[32k21+36k1+5=0].

同理有[32k22+36k2+5=0]，則[k1， k2]是方程[32k2+36k+5=0]的兩根，則[k1+k2=-98， k1k2=532]④，把④式代入③式得直線[EF]的直線方程[12y-9x+28=0]，則圓心[（2， 0）]到直線[EF]的距離為[d=-9×2+28122+92=23.]故直線[EF]與圓[G]相切.

點評：該題看上去并不是求直線過定點問題，逆向代換的方法主要是通過因式分解求出另外兩條直線，故可以用來解決直線過定點問題.該題用此法快速求出了直線[EF]的方程，本質上就是例1的一種變式.

從以上例題可以看出，在解決圓錐曲線直線過定點問題時，逆向代換的方法顯得特別有效，使煩瑣的運算變得簡單，從而提高解題效率.

但是逆向代換的方法嚴重依賴把圓錐曲線方程變形后代入兩條直線一般式方程相乘得到的關于[x，y]的二次方程，并能進行因式分解.而一般的二元二次方程的因式分解是困難的，因此要求直線過圓錐曲線上的特殊位置（一般是頂點）.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 王成杰，劉新春.解析幾何問題的創新解法從哪里來[J].數學通報， 2018（11）：57-61+63.

[2]? 李水艷.直線和圓的方程 [J] .數學教學通訊，2015（22）：89-96.

[3]? 楊旭.圓錐曲線的性質及推廣應用[J].科技資訊，2013.（25）：236-239.

（責任編輯 黃桂堅）