《用列舉法求概率（樹狀圖）》教學實錄與評析

張寶丹 劉小紅

用列舉法求概率（樹狀圖）是人教版數學九年級上冊第25章第2節第3課時內容.學生學習這一內容之前已經了解隨機事件、概率等概念，知道用列表法求概率.本節課學習用樹狀圖法求概率，教學伊始從學生熟悉的情景切入，然后引導學生自主探究、合作交流，讓學生掌握用樹狀圖求概率的方法，解決實際問題，培養學生分析問題和解決較復雜問題的能力.

一、創設情境，激發興趣

師：請同學們觀看小視頻.（播放動畫視頻：小丁和哥哥去上學，過馬路遇到紅綠燈，能夠做到遵守交通規則）看完視頻，你發現了什么？

生1：小丁和哥哥看見紅燈就停下，看見綠燈就向前走.

生2：小丁和哥哥遵守交通規則.

生3：小丁和哥哥上學要經過兩個十字路口，每個路口遇到紅燈和綠燈的機會相同，求小丁和哥哥上學時經過每個路口都是綠燈的概率.

師：同學們觀察得真仔細！那么，概率是多少呢？

生：[1/4].

師：你是怎么知道的？

生：用列表法計算.

師：你是怎么想到用列表法計算的呢？

生：當一次試驗涉及兩個因素，并且可能出現的結果數目較多時，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法.

師：說得好！你還想到求概率的其他方法嗎？

生：用樹狀圖法.

師：對。這節課我們學習用樹狀圖法求概率.

【評析】教師播放動畫視頻，激發了學生的探究興趣，同時引導學生回顧和梳理所學知識，為學習新知奠定基礎.

二、合作探究，發現新知

師：請同學們看導學案中的“探究一”.

課件演示：小丁上學要經過三個十字路口，每個路口遇到紅燈和綠燈的機會都相同，求小丁上學時經過每個十字路口都是綠燈的概率，能用列表法解決嗎？如果不能，你還有什么方法？

生分小組進行交流.

生：由題目可知，小丁上學要經過三個十字路口，經過每個十字路口都會遇到紅燈、綠燈這兩種情況，所以，共有八種情況，而每個十字路口遇到紅燈和綠燈的機會都相同，由圖1可知，他經過每個路口都是綠燈的情況占八種情況當中的一種，因此，概率是[1/8].

師：其余同學有補充嗎？

生：（補充）書寫格式不規范，首先要寫“解：依題意可知”，最后要寫“共有8種可能的結果”.

師：這名同學的建議非常好！解題格式要規范.這個小組先進行分類，然后通過圖形把所有可能的結果都表示出來，體現了數形結合的數學思想.仔細觀察圖形，你覺得它像什么？

生：像一棵倒著長的樹.

師：是的.這種解題的方法我們把它叫作樹狀圖法.那么，什么時候用樹狀圖法計算概率呢？

生：當一次實驗涉及三個或三個以上因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹狀圖法.

師：想一想，我們怎樣畫出樹狀圖？

生：實驗中涉及三個因素，第一個因素中有兩種可能的情況，第二個因素中各有兩種可能的情況，第三個因素中各有兩種可能的情況，這樣就可以畫出一棵倒著長的樹.

【評析】教師通過變式，把實驗中的兩個因素變為三個因素，學生發現用列表法難以解決這個問題，從而引發思考，在小組合作學習中尋找新的解決方法——樹狀圖法.

三、學以致用，深入理解

師：請同學們看導學案中的“探究二”.

課件演示：甲、乙、丙三個盒子中分別裝有大小、形狀相同的卡片若干.甲盒中裝有兩張卡片，分別寫有字母A、B;乙盒中裝有三張卡片，分別寫有字母C、D、E;丙盒中裝有兩張卡片，分別寫有字母H、I.要從三個盒子中各隨機取出一張卡片，求：（1）取出的三張卡片中恰好有一個，兩個，三個寫有元音字母的概率各是多少？（2）取出的三張卡片全是輔音字母的概率是多少？

生思考交流，師巡堂指導.

師：下面請小組來展示你們的學習成果.

生：二十六個英文字母中，元音字母有a、e、i、o、u，其余都是輔音字母.由題目可知，有甲、乙、丙三個盒子，也就是三個因素，可以用樹狀圖解決問題.甲盒中的兩張卡片分別寫著字母A、B，乙盒中的三張卡片分別寫著C、D、E，那么就有六種情況;丙盒中有兩張卡片，有可能抽到H，也有可能抽到I，加起來共有12種可能的結果.其中帶有一個元音字母的有ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以，取出帶有一個元音字母的概率是[5/12];依此類推，帶有兩個元音字母的概率是[4/12]，化簡后是[1/3];取出的卡片中有三個元音字母的概率是[1/12]（如圖2）.

生：（補充）三張卡片上全是輔音字母的有BCH、BDH兩種，全是輔音字母的概率是[2/12]，化簡后是[1/6].

師：這個小組在展示說明時思路清晰，語言流暢.同學們想一想，列表法和樹狀圖法的優點分別是什么？

生：用樹狀圖法或列表法計算概率，可以清晰地表示出某個事件發生的所有可能出現的結果，能夠比較方便地求出事件發生的概率，這是最直觀最常用的計算方法.

師：它們的區別又是什么呢？

生：當實驗包含兩個因素時，兩種方法都可以用，當實驗中涉及三個或三個以上因素時，用樹狀圖法比較方便.

【評析】抽卡片是學生熟悉的游戲，教師引導學生用樹狀圖法解決問題，能夠幫助學生更好地理解和掌握用樹狀圖求概率的方法.教師適時的追問，有利于學生明確這兩種求概率方法的優劣，在解決實際問題時選擇合適的方法.

四、鞏固提升，解決問題

師：學校要舉行元旦晚會.為了活躍氣氛，組織者設計了一個轉盤游戲，游戲中的兩個圓盤分別被等分成三個扇形和四個扇形（如圖3）.小明和小亮玩轉盤游戲，他們同時轉動兩個圓盤，指針停止后指向區域得到兩個數字.若兩個數的乘積為奇數，則小明勝;若兩個數的乘積為偶數，則小亮勝.你認為這個游戲公平嗎？請說明理由.

生1：這個游戲不公平。第一個轉盤有三個因素，第二個圓盤有四個因素，可以求出共有12種可能的結果，計算它們的乘積，兩數乘積為奇數一共有1，3，3，9四種可能，概率是[4/12]，化簡后是[1/3]，而兩數乘積為偶數一共有八種可能，概率是[8/12]，化簡后是[2/3]，所以，小亮獲勝的概率大于小明（如圖4）.

生2：我用列表法計算。根據題意，先把第一個轉盤的三個因素寫成一列1，2，3，第二個轉盤的四個因素寫成一行1，2，3，4，然后羅列出12種可能的結果（如圖5）.后面的做法和前面的同學一樣，小亮獲勝的概率大于小明.

師：這個小組做到了一題多解.游戲是否公平，關鍵要看什么？

生：看概率是否相等，如果概率相等，游戲是公平的，反之則不公平.

【評析】通過分析轉盤游戲公平與否的問題，學生想到了一題多解，無形中鞏固了列表法和樹狀圖法的知識，明確游戲是否公平與概率有關.

師：既然這個游戲不公平，你能為他們設計一款公平的游戲嗎？

生獨立思考后交流.

生1：若兩數之和為奇數，則小明勝;若兩數之和為偶數，則小亮勝.我用列表法展示給大家看.第一行分別是2，3，4，5，第二行分別是3，4，5，6，第三行分別是4，5，6，7，這些結果每一種出現的可能性都相等，所有的可能結果一共有12種，兩數之和為奇數的情況共有6種，所以，兩數之和為奇數的概率是[1/2].同理，兩數之和為偶數的概率也是[1/2]，二者的概率相等.因此，這樣設計游戲是公平的.

生2：若兩數乘積大于4，則小亮勝;若兩數乘積小于4，則小明勝.我用樹狀圖法解決這個問題（如圖6）.先求出每一種結果的兩數乘積，可以看出乘積大于4的有5種情況，概率為[5/12]，乘積小于4的概率也是[5/12]，所以，兩數乘積大于4和小于4的概率相等，因此，游戲是公平的.

生3：我還有一個方案，把第一個圓盤的數字看成十位數，把第二個圓盤上的數字看成個位數，由此組成兩位數，如果是奇數，則小明勝;如果是偶數，則小亮勝.把這些所有的可能列在一個表格當中，這些數分別是11，21，31，12，22，32，13，23，33，14，24，34，共有12種可能的結果.組成的兩位數為奇數的概率為[6/12]，即[1/2]，組成的兩位數為偶數的概率為[6/12]，化簡后是[1/2]，二者的概率相等，按照規則，游戲是公平的.

師：同學們設計了多種不同的方案，想法非常好！老師發現還有同學設計了不同的方案，因為時間有限，所以不能逐一展示，課后同學們可以相互交流你們的方案.

【評析】請學生設計游戲方案，為學生提供問題解決的平臺，這是教學的亮點.教師這樣做，有利于學生鞏固所學知識，開闊思路，體現了課堂教學的深度與廣度.

五、梳理反思，感悟收獲

師：我們來小結本節課學習的內容，說一說你有什么收獲？你會提出什么建議？你還有哪些困惑？

生1：列表法、樹狀圖法都適用于涉及兩個因素的試驗，但是實驗中涉及三個或三個以上因素時，用列表法不太方便，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹狀圖法.

生2：我學會了分類和數形結合的方法.

生3：我知道如何判斷游戲是否公平.

生4：如果實驗中的因素再多幾個，還能用樹狀圖法計算概率嗎？有沒有其他方法求概率？

師：求概率的方法有很多，上了高中還要學習，同學們有興趣的話繼續探究.

【評析】教師引導學生回顧和梳理學習內容，談收獲，有利于學生鞏固所學知識，掌握學習方法，將課內學習延伸至課外.

【總評】這是一節有梯度、有深度、有寬度的課，體現在三個方面：首先，教師從學生熟悉的紅綠燈、摸卡片、玩轉盤等情景切入教學，使學生積極投入學習活動當中，并在輕松愉悅的氛圍中暢所欲言，培養了學生學習的主動性和創造性.其次，學生自主探究、合作交流，大膽展示學習成果，分享自己的想法和感悟，教師及時反饋回應，適當引導，適時鼓勵，為學生順利完成探究任務注入了“潤滑劑”，課堂教學高潮迭起，精彩紛呈.最后，學生經歷了探究、發現、創造的過程，體現了知識的產生、發展和應用的過程，觸及數學知識的本質，體會到了數學中所蘊含的思想方法，是一節指向學科素養發展的課.

（本文所用課例獲2019年賀州市“一師一優課，一課一名師”活動優課一等獎）

（責編 歐孔群）